《機械工程測試技術(shù)》緒言第一章

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1、1 機 械 工 程 測 試 技 術(shù)Mechanical Engineering Measurement and Test Technology 2 教 材 ： 機 械 工 程 測 試 技 術(shù) 基 礎 熊 詩 波 黃 長 藝 主 編 機 械 工 業(yè) 出 版 社參 考 書 ： 機 械 工 程 測 量 與 試 驗 技 術(shù) 黃 長 藝 盧 文 祥 主 編 機 械 工 業(yè) 出 版 社 總 學 時 ： 40= 授 課 34 + 實 驗 6成 績 ： 平 時 （ 出 勤 ， 作 業(yè) ） 20%， 考 試 80%，實 驗 （ 出 勤 ， 報 告 ） 一 票 否 決授 課 教 師 ： 吉 野 辰 萌 ， y_教

2、 室 ： 第 1-9周 ， 周 一 5,6節(jié) ， 一 教 #222 周 四 3,4節(jié) ， 逸 夫 樓 #A206 3 緒 言 （ 教 材 1-9頁 ） 一 、 測 試 技 術(shù) 的 重 要 性 測 量 以 確 定 被 測 物 屬 性 量 值 為 目 的 的 全 部 操 作 。測 試 是 具 有 試 驗 性 質(zhì) 的 測 量 ， 可 理 解 為 測 量 與 試 驗 的 結(jié) 合 。測 試 基 本 任 務 獲 取 有 用 信 號 。 4 二 、 測 試 過 程 和 測 試 系 統(tǒng) 的 一 般 組 成 傳感器 信號調(diào)理 傳輸 信號處理 顯示記錄 激 勵 裝 置 反 饋 、 控 制 觀 察 者被 測對 象傳

3、 感 器 直 接 作 用 于 被 測 量 ， 按 一 定 規(guī) 律 將 被 測 量 轉(zhuǎn) 換 成 同樣 或 別 種 量 輸 出 （ 通 常 是 電 信 號 ） 的 器 件 。信 號 調(diào) 理 把 來 自 傳 感 器 的 信 號 進 一 步 轉(zhuǎn) 換 成 更 適 合 傳 輸 和 處理 的 形 式 。 如 幅 值 放 大 、 阻 抗 轉(zhuǎn) 換 成 電 壓 、 頻 率 等 。信 號 處 理 進 行 各 種 運 算 、 濾 波 分 析 、 結(jié) 果 輸 出 、 記 錄 和 控 制系 統(tǒng) 。 5 激 勵 裝 置 有 些 信 息 來 自 可 檢 測 信 號 ， 用 激 勵 裝 置 使 其 處 于 充 分顯 示 這 些

4、 參 量 特 性 的 狀 態(tài) 中 ， 以 有 效 檢 測 載 有 這 些 消息 的 信 號 。消 息 隱 含 于 按 一 定 規(guī) 則 組 織 起 來 的 約 定 “ 符 號 ” 中 的 信 息 。信 號 把 消 息 轉(zhuǎn) 換 成 更 便 于 傳 輸 和 處 理 的 信 息 。 信 號 是 消 息的 載 體 ， 是 消 息 的 一 種 表 現(xiàn) 形 式 。信 號 分 類 電 信 號 、 光 信 號 、 力 信 號 、 磁 信 號 等 。傳感器 信號調(diào)理 傳輸 信號處理 顯示記錄 激 勵 裝 置 反 饋 、 控 制 觀 察 者被 測對 象 6 三 、 課 程 研 究 內(nèi) 容 和 性 質(zhì)教 學 目 的

5、：對 現(xiàn) 代 動 態(tài) 測 試 工 作 有 一 個 較 完 整 的 概念 ， 并 運 用 于 機 械 工 程 中 某 些 參 數(shù)的 測 試 。 能 夠 確 定 檢 測 機 械 工 程 中各 種 物 理 量 的 測 試 方 法 ， 設 計 合 理的 測 試 系 統(tǒng) ， 初 步 掌 握 測 試 信 號 的分 析 與 處 理 方 法 。 7 學 習 內(nèi) 容 ：（ 1） 信 號 時 域 和 頻 域 描 述 方 法 ， 建 立 信 號 頻譜 結(jié) 構(gòu) 的 概 念 ， 掌 握 頻 譜 分 析 和 相 關(guān) 分 析的 基 本 原 理 和 方 法 。（ 2） 掌 握 測 量 裝 置 基 本 特 性 的 評 價 方

6、法 和 不失 真 測 試 條 件 ， 掌 握 一 階 、 二 階 線 性 系 統(tǒng)動 態(tài) 特 性 及 其 測 定 方 法 。（ 3） 了 解 常 用 傳 感 器 ， 常 用 信 號 調(diào) 理 工 作 原理 和 性 能 ， 較 合 理 運 用 。 數(shù) 字 信 號 處 理 初步 。 8 四 、 測 試 技 術(shù) 的 概 況 與 發(fā) 展 （ 自 學 第 一 節(jié) ）1、 電 路 改 進 采 用 放 大 電 路 和 集 成 電 路 ， 提 高 其 性 能 。 2、 新 型 傳 感 器 應 用 （ 1） 物 性 型 傳 感 器 開 發(fā) （ 2） 集 成 、 智 能 化 傳 感 器 的 開 發(fā) （ a） 變 參

7、量 測 量 化 傳 感 器 （ b） 傳 感 器 與 放 大 、 運 算 、 補 償 電 路 一 體 化 。 （ 3） 化 學 傳 感 器 開 發(fā)3、 廣 泛 應 用 信 息 技 術(shù)4、 多 變 量 測 量 系 統(tǒng) 的 開 發(fā) 9 1 0 1 1 五 、 測 量 的 基 礎 知 識 （ 自 學 第 二 節(jié) 一 至 八 ） 一 、 量 與 量 綱量 值 ： 用 數(shù) 值 和 計 量 單 位 的 乘 積 來 表 示 ， 用 于 定 量 地表 達 被 測 對 象 相 應 屬 性 的 大 小 (如 3.4m； 15kg；40 ) 量 綱 ： 代 表 一 個 實 體 （ 被 測 量 ） 的 確 定 特 征

8、 ， 而 量 綱單 位 則 是 該 實 體 的 量 化 基 礎 。如 長 度 是 一 個 量 綱 ， 而 厘 米 則 是 長 度 的 一 個 單位 。 一 個 量 綱 是 惟 一 的 ， 然 而 一 種 特 定 的 量 綱則 可 用 不 同 的 單 位 來 測 量 。 1 2 二 、 法 定 計 量 單 位1） 基 本 單 位 和 單 位 代 碼 ： 國 際 單 位 制 (SI) 長 度 米 (Metre) 米 (m) 質(zhì) 量 千 克 (Kilogram) 千 克 (kg) 時 間 秒 (Second) 秒 (s) 溫 度 開 爾 文 (Kelvn) 開 (K) 電 流 安 培 (Ampere

9、) 安 (A) 發(fā) 光 強 度 坎 德 拉 (Candela) 坎 (cd) 物 質(zhì) 的 量 摩 爾 (Mol) 摩 (mol) 1 3 2） 輔 助 單 位 弧 度 （ rad） ： 是 一 個 圓 內(nèi) 兩 條 半 徑 在 圓 周 上 所 截 取 的 弧 長 與 半 徑 相 等 時 ， 它 們 所 夾 的 平 面 角的 大 小 。球 面 度 （ sr） ： 是 一 個 立 體 角 ， 其 頂 點 位 于球 心 ， 而 它 在 球 面 上 所 截 取 的 面 積 等 于 以 球半 徑 為 邊 長 的 正 方 形 面 積 。3） 導 出 單 位在 基 本 單 位 和 輔 助 單 位 選 定 后

10、， 按 物 理 量 之間 的 關(guān) 系 ， 由 基 本 單 位 和 輔 助 單 位 以 相 乘 或相 除 所 構(gòu) 成 的 單 位 。 1 4 三 、 測 量 方 法直 接 測 量 ： 無 需 經(jīng) 過 函 數(shù) 關(guān) 系 計 算 ， 直 接 通 過 測 量儀 器 得 到 被 測 值 的 測 量 。 如 測 溫 度 、 測 尺 寸 。 可 分為 等 精 度 (等 權(quán) )直 接 測 量 ； 不 等 精 度 (不 等 權(quán) ) 直接 測 量 。間 接 測 量 ： 指 在 直 接 測 量 的 基 礎 上 ， 根 據(jù) 已 知 函 數(shù)關(guān) 系 ， 計 算 出 被 測 量 的 量 值 的 測 量 。組 合 測 量 ：

11、將 直 接 測 量 或 間 接 測 量 與 被 測 量 值 之 間按 已 知 關(guān) 系 組 成 一 組 方 程 (函 數(shù) 關(guān) 系 )， 通 過 解 方 程組 得 到 被 測 值 的 方 法 。 1 5 四 、 基 準 和 標 準基 準 ： 是 用 來 保 存 、 復 現(xiàn) 計 量 單 位 的 計 量 器 具 。國 家 基 準 ： 在 特 定 計 量 領(lǐng) 域 內(nèi) ， 用 來 保 存 和 復 現(xiàn)該 領(lǐng) 域 計 量 單 位 并 具 有 最 高 的 計 量 特性 ， 經(jīng) 國 家 鑒 定 、 批 準 作 為 統(tǒng) 一 全 國量 值 最 高 依 據(jù) 的 計 量 器 具 。副 基 準 ： 通 過 與 國 家 基

12、準 對 比 或 校 準 來 確 定 其量 值 ， 并 經(jīng) 國 家 鑒 定 、 批 準 的 計 量 器具 ， 副 基 準 的 位 置 僅 低 于 國 家 基 準 。工 作 基 準 ： 通 過 與 國 家 基 準 或 副 基 準 對 比 或 校 準 ，用 來 檢 定 計 量 標 準 的 計 量 器 具 。 1 6 五 、 測 量 誤 差1) 誤 差 定 義 ： 測 量 誤 差 =測 量 結(jié) 果 -真 值 (0-1)2) 誤 差 分 類 ： 系 統(tǒng) 誤 差 對 同 一 被 測 量 進 行 多 次 測 量 過 程 中 ， 出 現(xiàn) 某種 保 持 恒 定 或 按 照 確 定 的 方 式 變 化 的 誤 差

13、 。 隨 機 誤 差 對 同 一 被 測 量 進 行 多 次 測 量 中 ， 誤 差 的 正 負號 和 絕 對 值 以 不 可 預 知 的 方 式 變 化 。 粗 大 誤 差 是 一 種 明 顯 超 出 規(guī) 定 條 件 下 預 期 誤 差 范 圍 的誤 差 。3) 誤 差 表 示 ： 絕 對 誤 差 ， 用 (0-1)公 式 計 算 相 對 誤 差 =絕 對 誤 差 真 值 1 7 第 一 章 信 號 及 其 描 述 第 一 節(jié) 信 號 分 類 與 描 述 一 、 信 號 的 分 類 信 號分 類 確 定 性 信 號隨 機 信 號 連 續(xù) 信 號離 散 信 號 能 量 信 號功 率 信 號 周

14、 期 信 號非 周 期 信 號 準 周 期 信 號 瞬 變 非 周 期 信 號 1 8 （ 一 ） 確 定 性 信 號 與 隨 機 信 號 1、 確 定 性 信 號 可 表 示 為 一 個 確 定 的 時 間 函數(shù) ， 因 而 可 確 定 其 任 何 時 刻 的 量 值 。2、 隨 機 信 號 一 種 不 能 準 確 預 測 其 未 來 瞬 時值 ， 也 無 法 用 數(shù) 學 關(guān) 系 描 述 ， 它 具 有 某 些統(tǒng) 計 特 征 ， 由 概 率 統(tǒng) 計 來 估 計 其 未 來 。 1 9 1、 確 定 性 信 號(1)周 期 信 號 按 一 定 時 間 間 隔 而 復 始 重 復 出 現(xiàn) ， 無

15、始 無 終 的 信 號 ， 可 表 示 為 ： x(t)=x(t+nT0 ) (n=1,2,3, ) (1-1)式 中 T0 周 期 Ax (t)km)sin()( 00 tmkxtx （ 1-2） 如 單 自 由 度 無 阻 尼 振 動 系 統(tǒng)x0, 0取 決 于 初 始 條 件 的 常 數(shù)m 質(zhì) 量 k 彈 簧 剛 度t 時 間 mkT 20 mkT 00 2 2 0 (2)非 周 期 信 號 確 定 性 信 號 中 那 些 不 具 有 周 期 重 復 性 的 信 號 。 (a)準 周 期 信 號 由 兩 種 以 上 周 期 信 號 合 成 ， 但 其組 成 分 量 間 無 法 找 到 公

16、 共 周 期 （ 但 有 離 散 頻 譜 ） 。 (b)瞬 變 非 周 期 信 號 在 一 定 時 間 區(qū) 間 內(nèi) 存 在 ， 且隨 時 間 增 長 而 衰 減 至 零 的 信 號 。 )sin()( 000 textx at (1-3) 衰 減 振 蕩 信 號 如 單 質(zhì) 點 自 由 度 加 阻 尼 振 動 ，其 質(zhì) 點 位 移 x(t )可 表 示 為 ： 2 1連 續(xù) 信 號x(t) t0 離 散 信 號x(t) t0 （ 二 ） 連 續(xù) 信 號 與 離 散 信 號連 續(xù) 信 號 信 號 數(shù) 學 表 達 式 中 的 獨 立 變 量 取 值 是 連 續(xù) 的 則 稱 為 連 續(xù) 信 號 。離

17、 散 信 號 若 獨 立 變 量 取 離 散 值 ， 則 稱 為 離 散 信 號 。 2 2 （ 三 ） 能 量 信 號 和 功 率 信 號 x(t)電 壓 信 號 ， 加 到 電 阻 R上 ， 其 瞬 間 功 率 為 ： RtxtP )()( 2 若 R = 1 時 )()( 2 txtP 信 號 的 能 量 為 當 x(t)滿 足 dttx )(2 dttx )(2 (1-4) 則 認 為 信 號 的 能 量 是 有 限 的 ， 并 稱 之 為 能 量 有 限信 號 ， 簡 稱 能 量 信 號 。 2 3這 種 信 號 稱 為 功 率 有 限 信 號 或 功 率 信 號 。 而 在 有 限

18、 區(qū) 間 （ t1,t2） 的 平 均 功 率 是 有 限 的 ， 即 若 信 號 在 區(qū) 間 （ - ， + ） 的 能 量 是 無 限 的 ， 即 21 )(1 212 tt dttxtt 2( )x t dt （ 1-5） （ 1-6） 2 4 二 、 信 號 的 時 域 描 述 和 頻 域 描 述時 域 描 述 ： 直 接 觀 測 或 測 量 的 信 號 ， 一 般 以 時 間 為 獨 立 變 量 描 述 。 特 點 ： 直 接 反 映 信 號 幅 值 隨 時 間 變 化 的 關(guān) 系 。 頻 域 描 述 ： 把 時 域 描 述 信 號 經(jīng) 適 當 方 法 變 換 ， 以 頻 率 為 獨

19、 立 變 量 來 表 示 的 信 號 。 特 點 ： 分 解 信 號 頻 率 結(jié) 構(gòu) ， 呈 現(xiàn) 頻 率 與 幅 值 、 頻 率 與 相 位 的 關(guān) 系 。 2 50() sinx t t 2 60 01() sin sin33x t t t 2 70 0 01 1() sin sin3 sin53 5x t t t t 2 80 0 0 01 1 1() sin sin3 sin5 sin73 5 7x t t t t t 2 90 0 0 0 01 1 1 1() sin sin3 sin5 sin7 sin93 5 7 9x t t t t t t 3 0 第 二 節(jié) 周 期 信 號 與

20、 離 散 頻 譜 一 、 傅 里 葉 級 數(shù) (Fourier series)的 三 角 函 數(shù) 展 開 式 在 有 限 區(qū) 間 上 ,凡 滿 足 狄 里 赫 利 條 件 的 周 期 信 號 x(t),均 可展 開 成 傅 里 葉 級 數(shù) 1 000 )sincos()( n nn tnbtnaatx （ 1-7） 2200 00 )(1 TT dttxTa dttntxTa TTn 22 00 00 cos)(2 dttntxTb TTn 22 00 00 sin)(2 常 值 分 量 余 弦 分 量 正 弦 分 量 其 中 T0 x(t)的 周 期 0=2 /T0（ 圓 頻 率 ） n=1

21、,2,3,（ 1-8） 3 1 將 式 （ 1-7） 改 寫 成 1 000 )sincos()( n nn tnbtnaatx 2 20 0 02 2 2 21() ( cos sin )n nn nn n n n na bx t a a b n t n ta b a b 2 20 0 0 1( ) (sin cos cos sin )n n n nnx t a a b n t n t 0 01( ) sin( )n nnx t a A n t （ 1-9） （ 頻 域 描 述 ） 式 中 22 nnn baA b n a n22 nn ba n nnn batan 3 2的 關(guān) 系 為 幅

22、 頻 譜 ， 的 關(guān) 系 為 相 頻 譜 。 可 見 ， 周 期 信 號 是 由 無 數(shù) 多 個 不 同 頻 率 的諧 波 疊 加 而 成 的 。 各 頻 率 成 分 是 0的 整 數(shù)倍 ， 相 鄰 頻 率 間 隔 為 0 =0 =2 /0 ， 0 基 頻 ， 稱 為 n 次 諧 波 。)sin( 0 nn tnA - nA -n 二 、 周 期 信 號 的 幅 頻 譜 和 相 頻 譜 0 An 0 20幅 頻 譜 和 相 頻 譜 示 意 圖30 40 0 n 0 30 A1 A2 A3 A4a0 1 2 3 4 20 40 3 3)5sin513sin31(sin4)( 000 tttAtx

23、 式 中 00 2T 將 該 周 期 方 波 應 用 傅 里 葉 級 數(shù) 展 開 ， 可 得 例 ： 一 個 周 期 方 波 的 一 種 時 域 描 述 形 式 表 示 為 ： -T0 T0周 期 方 波-AA-T0/2 T0/2 t0 x (t)x(t)=x(t+nT0)A 0tT0/2x(t） = -A -T0/2t0b n0a n0b n0a n0b n0 a n020 n n2 02- n2- n 4 1nnn n nnab tnAAtx tan )cos()( 1 00同 理 ， 可 展 成 余 弦 函 數(shù) 1 000 )sincos()( n nn tnbtnaatx 4 2 二

24、、 傅 里 葉 級 數(shù) 的 復 指 數(shù) 函 數(shù) 展 開 式根 據(jù) 毆 拉 公 式 tjte tjte tjtj sincos sincos )(21cos tjtj eet )(2sin tjtj eejt （ 1-10） （ 1-11） （ 1-12） 0 Re Im tje t t- tje )cos( t )cos( t )sin( tj )sin( tj 4 3 將 （ 1-11） （ 1-12） 兩 式 代 入 （ 1-7） 式 ， 得 1 000 )sincos()( n nn tnbtnaatx )(2)(21)( 000010 tjntjnntjntjnn n eejbeeaa

25、tx )(21)(21)( 0010 tjnnn ntjnnn ejbaejbaatx (1-13) 令 00 ca )(21 nnn jbac )(21 nnn jbac (1-14a) (1-14b) (1-14c) （ 1-7） 4 4 則 10 )()( 00n tjnntjnn ececctx 或 n tjnnectx 0)( ( 0, 1, 2, )n 將 式 （ 1-8） 代 入 式 （ 1-14b） 和 （ 1-14c） 得 sin)(cos)(221)(21 2/ 2/ 02/ 2/ 00 0000 dttntxjdttntxTjbac TTTTnnn sin(cos)(1

26、02/ 2/ 00 00 dtt)njtntxT TT ( 0,+1,+2, )n 4 5 dtetxTc TT tjnn 2/ 2/0 00 0)(1 同 理 dtetxTc TT tjnn 2/ 2/0 0 0 0)(1 合 并 為 dtetxTc T T tjnn 2/ 2/0 00 0)(1 ),2,1,0( n (1-16) (n=0,+1,+2,）(n=0,+1,+2,） n tjnnectx 0)( ( 0, 1, 2, )n 0 00/2m 0 /21 ( )T jm tTc x t e dtT (m=-1,-2,） 4 6 說 明 ： njnnInRn ecjccc （ 1-

27、17） 式 中 22 nInRn ccc （ 1-18） nRnIn ccarctg （ 1-19） nc 與 nc 共 軛 ， 即 nn cc n n ;2 頻 譜 圖(Spectrum map) nInRnnccc 作 幅 頻 譜 圖 （ 偶 函 數(shù) ）作 相 頻 譜 圖 （ 奇 函 數(shù) ）作 實 頻 譜 圖作 虛 頻 譜 圖 1 表 示 方 法 一 般 情 況 下 ， cn 是 復 數(shù) ， 可 以 寫 成的 關(guān) 系 ？） 中 的（或 中 的（和這 里 的 nn nnn tncos )tnsin0 0 4 7 3 比 較復 指 數(shù) 形 式 雙 邊 譜三 角 函 數(shù) 形 式 單 邊 譜 )(

28、 )0( 00 21ac Ac nn 4 負 頻 率 當 n 取 負 值 時 ， 諧 波 頻 率 為 “ 負 頻 率 ” ， 實 際 上角 速 度 按 其 旋 轉(zhuǎn) 方 向 可 以 有正 有 負 。0n 0 A/2 ReIm A 0 - 0 - 4 8 0 1 0 0( ) ( cos sin )nn nx t a a n t b n t )(21 nnn jbac )(21 nnn jbac 00 ca 0( ) jn tnnx t c e 1 000 sincos)( n tntnatx ncnc ) ( ncnc )j( 4 9 周 期 信 號 頻 譜 具 有 三 個 特 點 ：（ 1）

29、周 期 信 號 的 頻 譜 是 離 散 的 。（ 2） 每 條 譜 線 只 出 現(xiàn) 在 基 波 頻 率 的 整 數(shù) 倍上 ， 基 波 頻 率 是 諸 分 量 頻 率 的 公 約 數(shù) 。（ 3） 各 頻 率 分 量 的 譜 線 高 度 表 示 該 諧 波 的幅 值 或 相 位 角 。 5 0 三 、 周 期 信 號 的 強 度 表 示 （ 詳 見 圖 1-10）峰 值 xp： 信 號 可 能 出 現(xiàn) 的 最 大 瞬 時 值 。 (1-20) 峰 -峰 值 xp-p： 在 一 個 周 期 中 最 大 瞬 時 值 與 最 小 瞬 時 值 之 差 。周 期 信 號 的 均 值 ： (常 值 分 量 )

30、周 期 信 號 的 絕 對 均 值 ：(全 波 整 流 )有 效 值 ：(信 號 的 均 方 根 值 )有 效 值 的 平 方 ：(信 號 的 平 均 功 率 ) max|)(| txxp 000 )(1 Tx dttxT 000| |)(|1 Tx dttxT 00 20rms )(1 T dttxTx 00 20av )(1 T dttxTP (1-21)(1-22)(1-23)(1-24) 5 1 5 2 第 三 節(jié) 瞬 變 非 周 期 信 號 與 連 續(xù) 頻 譜 衰 減 振 蕩 函 數(shù)t指 數(shù) 衰 減 函 數(shù)x(t)0t矩 形 脈 沖 函 數(shù)x(t)0 單 一 脈 沖 函 數(shù)tx(t)

31、0 tx(t)0一 傅 里 葉 變 換 (Fourier transform) 周 期 為 T0 的 信 號 其 頻 譜 是 離 散 的 ， 當 時 ， 頻 率 間 隔 無 窮 小 ， 譜 線 無 限 靠 近 ，最 后 演 變 成 一 條 連 續(xù) 曲 線 。 所 以 非 周 期 信 號 的 頻 譜是 連 續(xù) 的 ， 可 理 解 為 將 非 周 期 信 號 由 無 限 多 個 頻 率無 限 接 近 的 頻 率 成 分 所 組 成 的 。)(tx 0T 00 2T 5 3 設 有 一 個 周 期 信 號 在 )2,2( 00 TT 區(qū) 間 以 傅 里 葉 級 數(shù) 表 示 為 tjnn nectx

32、0)( 式 中 0 00/20 /21 ( )T jn tn Tc x t e dtT 代 入 上 式 0 0 0 0/20 /21( ) ( ( ) )T jn t jn tTx t x t e dt eT 0T 當 d 2210 dT 0n tjtj edtetxdtx )(2)( 1( ) ( ( ) )2 j t j tx t x t e dt e d (1-25) 著 名 的 付 里 葉 積 分 0 0 02 1 2T T ， 5 4 上 式 圓 括 號 中 積 分 后 為 的 函 數(shù) ，dtetxX tj )(21)( deXtx tj )()( 傅 立 葉 變 換 （ 1-26）

33、傅 立 葉 逆 變 換 （ 1-27）兩 者 為 付 里 葉 變 換 對 ， 可 記 為 )()( Xtx 把 =2f 代 入 (1-25)中 ， 則 (1-26)(1-27)變 為dtetxfX ftj 2)()( dfefXtx ftj 2)()( （ 1-28） （ 1-29） 二 者 關(guān) 系 為 )(2)( XfX (1-30) 記 為 X( ) 5 5 式 中 為 信 號 的 連 續(xù) 幅 頻 譜 ， 為 連 續(xù) 相 頻 譜 。 )(fX )(tx )(f一 般 是 實 變 量 f 的 復 函 數(shù) ， 可 以 寫 成 )(fX )()()( fjefXfX （ 1-31） 注 意 ：

34、非 周 期 信 號 的 幅 頻 譜 和 周 期 信 號 幅 頻 譜 )( fX nc很 相 似 ， 但 兩 者 是 差 別 的 ， 表 現(xiàn) 在 量 綱 上 。 )(fX 的 量 綱 與 信 號 幅 值 量 綱 不 一 樣 ， 它 是 單 位 頻寬 上 的 幅 值 ， 更 確 切 地 說 是 頻 譜 密 度函 數(shù) 。 )(fX 量 綱 與 信 號 幅 值 的 量 綱 一 樣 。 nc 5 6 例 1-3 求 矩 形 窗 函 數(shù) w(t) 的 頻 譜 定 義 ： 01)(tw 22TTtt （ 1-32） 解 ： )(21)()( 2 2 22 fTjfTjTT ftjftj eefjdtedte

35、twfW 根 據(jù) 歐 拉 公 式 )(21)sin( fTjfTj eejfT 代 入 上 式 )(sinsinsin)( fTcTfTfTTffTfW （ 1-33） 式 中 T窗 寬 5 7 上 式 中 定 義 sinsin c圖 形 見 右 圖 1 3 4- 0 2sinc 函 數(shù) 只 有 實 部 ， 沒 有 虛 部 。 其 幅 頻 譜 為 )(fW )(sin)( fTcTfW （ 1-34） 其 相 位 頻 譜 視 的 符 號 而 定 ， 當 為 正 值 時 相 角 為 零 ， 為 負 值 時 相 角 為 )(sin fTc )(sin fTc 5 8 1-T/2 T/2 t0w(t

36、)IeRe0Re -4/T -3/T -2/T 1/T 1/T 2/T 3/T 4/T f-3/T-2/T f3/T2/T-1/T 1/T0TW(f) (f)0圖 1-12 5 9 二 傅 里 葉 變 換 的 主 要 性 質(zhì) 傅 里 葉 變 換 把 信 號 的 時 域 與 頻 域 描 述 建 立 對 應 關(guān) 系 )()( Xtx （ 一 ） 奇 偶 虛 實 性一 般 X(f)是 實 變 量 f的 復 變 函 數(shù) ， 由 歐 拉 公 式 可 寫 成 )()()2sin2)(cos()()( 2 fXjIfXRdtftjfttxdtetxfX meftj （ 1-35） 式 中 ftdttxfXR

37、e 2cos)()( （ 1-36） ftdttxfXI m 2sin)()( （ 1-37） 6 0 x(t)為 實 函 數(shù) )(fX 實 部 為 偶 函 數(shù) ( ) ( )e eRX f RX f )(fX 虛 部 為 奇 函 數(shù) )()( fXIfXI mm x(t)為 實 偶 函 數(shù) 0)( fXIm )(fX 為 實 偶 函 數(shù) ， )()()( fXfXRfX e x(t)為 實 奇 函 數(shù) 0)( fXRe )(fX 為 虛 奇 函 數(shù) ， () () ( )mXf jIXf X f x(t)為 虛 偶 函 數(shù) 0)( fXI m )(fX 為 虛 偶 函 數(shù) ， ( ) ( )

38、 ( )eX f jRX f X f x(t)為 虛 奇 函 數(shù) 0)( fXRe 為 實 奇 函 數(shù) ， )(fX )()()( fXfXIfX m 此 性 質(zhì) 有 助 于 估 計 傅 立 葉 變 換 對 的 響 應 圖 形 性 質(zhì) ， 減 少 計 算 。 由 式 （ 1-36） 和 （ 1-37） 知 6 1 （ 二 ） 對 稱 性 若 )()( fXtx )()( fxtX 證 明 :由 dfefXtx ftj 2)()(令 ut dfefXux fuj 2)()(u和 f對 換 dueuXfx fuj 2)()(令 u=t 2( ) () j ftx f X t e dt 所 以 )(

39、)( fxtX 證 畢 0A-T/2 T/2t0 x(t) -3/T-2/T f3/T2/T-1/T 1/T0ATX(f)x(f)-f0/2 fA f0/2-2/f0 t2/f0-1/f0 1/f00Af0X(t) 6 2 （ 三 ） 時 間 尺 度 改 變 特 性 若 )()( fXtx )0( k證 明 ： )(1)(1)( )(22 kfXkdktektxkdtektx ktkfjftj (1)當 時 間 尺 度 壓 縮 (k1)時 ， 圖 c其 頻 譜 的 頻 帶 加 寬 ， 幅 值 降 低 。 (2)當 時 間 尺 度 擴 展 (k1)時 ， 圖 a其 頻 譜 的 頻 帶 邊 窄 ，

40、 幅 值 增 高 。(3)壓 縮 時 間 尺 度 ,提 高 處 理 信 號 效 率 ,后 續(xù) 處 理 頻 帶 加 寬 ,容 易 失 真 。 (4)擴 展 時 間 尺 度 ， 處 理 后 續(xù) 信 號 容 易 ， 但 效 率 太 低 。 0 X(f)-1/2T 1/2TX(f/2)/200-2/T 2/T-1/T 1/TAT/22ATAT 2X(2f) fffA x(2t)-T/2 0 T/2-T T t tt-T/4 0 T/4x(t)0AA x(t/2) 擴 展k=0.5正 常k=1壓 縮k=2 a)b)c) )(1)( kfXkktx 6 3 (四 ) 時 移 和 頻 移 特 性 1 若 )

41、()( fXtx 020( ) ( ) j ftx t t X f e （ 1-40） 證 明 ： dtetxfX ftj 2)()(令 t =t-t0 代 入 上 式 02 ( )0( ) ( ) j f t tX f x t t e dt dteettxfX ftjftj 0220)()( dtettxfXe ftjftj 202 )()( 0所 以 020 )()( ftjefXttx （ 時 移 特 性 ） 6 4 00 tt 0 0 0 0 0 01 3 1 5 1 7 1 9( ) sin( ) sin(3 ) sin(5 ) sin(7 ) sin(9 )2 3 2 5 2 7

42、2 9 2x t t t t t t t 00 0 02(- ) (- ) (- ) (- )4 4 2Tx t t x t x t x t ()x t 6 5 式 (1-40)說 明 將 信 號 時 域 中 平 移 ， 其 幅 頻 譜 不 變 ，而 相 位 譜 中 相 角 的 改 變 量 與 頻 率 f 成 正 比 ，即 。 02 ft 三 次 諧 波 的 頻 率 為 3f 0 ，則 相 移 為 00 32 3 ( )4 2Tf 以 教 科 書 21頁 表 1-1的 方 波 相 頻 譜 為 例 ，其 中 ， 則 基 波 頻 率 為 ，相 移 為 00 1Tf 002 ( )4 2Tf 400

43、 Tt 6 6 2 如 )()( fXtx 02 0() ( )j f tx t e X f f （ 1-41） 證 明 ： dfefXtx ftj 2)()( 令 0fff dfeeffXdfeffXtx tfjftjtffj 00 220)(20 )()()( dfeffXetx ftjtfj 202 )()( 0所 以 02 0( ) ( )j f tx t e X f f 由 歐 拉 公 式 知 式 （ 1-41） 左 側(cè) 是 時 域 信 號 x(t)與頻 率 為 f0 的 正 、 余 弦 信 號 之 和 的 乘 積 。 （ 頻 移 特 性 ） 0 0 0( ) cos2 sin2 (

44、 )x t f t j f t X f f 6 7 1 2 1 2() () ( ) ( )defx t x t x x t d 若 )()( )()( 22 11 fXtx fXtx 則 )()()()( 2121 fXfXtxtx （ 1-42） 證 明 ： 2 21 1 212 2 ( ) ( ) ( ) ( ) j ftj ftF x t x t x x t d e dtx x t e d dt 交 換 積 分 順 序 ddtetxx ftj )()( 221根 據(jù) 時 移 特 性 21 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )j fx X f e d X f X f （ 五 ） 卷

45、積 定 理 1 時 域 卷 積 )(1 tx )(2 tx和 卷 積 定 義 為 ： 6 8 （ 五 ） 卷 積 定 理 2 頻 域 卷 積 若 )()( )()( 22 11 fXtx fXtx 則 )()()()( 2121 fXfXtxtx （ 1-43） 證 明 ： 2 1 2 ( ) ( ) j ftX X f d e df 交 換 積 分 順 序 21 2( ) ( ) j ftX X f e df d 根 據(jù) 頻 移 特 性 21 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )j tX x t e d x t x t 證 畢 )(*)( 211 fXfXF 6 9 （ 六 ） 微 分

46、和 積 分 特 性 由 于 dfefXtx ftj 2)()( （ 1-29） 對 式 (1-29)中 t 進 行 微 分 2( )( 2( ) ) j ftdx t eX f dfdt j f )()2()( fXfjdttdx 同 理 )()2()( fXfjdt txd nnn （ 1-44） 7 0 對 式 (1-28)中 f 進 行 微 分 2( )( ) 2 ) j ftx t jdX f e dtdf t )()2()( txtjdf fdX 同 理 )()2()( txtjdf fXd nnn （ 1-45） 同 樣 可 證 明 )(21)( fXfjdttxt （ 1-46）

47、 dtetxfX ftj 2)()( （ 1-28） 7 1 三 、 幾 種 典 型 信 號 的 頻 譜（ 一 ） 矩 形 窗 函 數(shù) 的 頻 譜 從 上 例 1-3中 看 出 ：（ 1） 一 個 時 域 有 限 區(qū) 間 內(nèi) 的 信 號 ， 其 頻 譜 卻 延 伸 至 無 限 頻 率 。（ 2） 在 f=0 1/T之 間 的 譜 峰 ， 幅 值 最 大 ， 稱 為 主 瓣 ， 兩 側(cè) 峰值 稱 為 旁 瓣 。（ 3） 主 瓣 寬 度 為 2/T與 時 域 窗 寬 度 T成 反 比 ， T 截 取 時 間 長 ，主 瓣 寬 度 小 。 （ 4） 在 時 域 中 截 取 信 號 一 段 記 錄 相

48、 當 w(t)x(t) W(f)*X(f) 1 -T/2 T/2 t0 x(t)IeRe0Re -4/T -3/T -2/T 1/T 1/T;2/T; 3/T;4/T f-3/T-2/T f3/T2/T-1/T 1/T0TW(f) (f)0 7 2 （ 二 ） 函 數(shù) 及 其 頻 譜 1 函 數(shù) 的 定 義 在 時 間 內(nèi) 激 發(fā) 一 個 矩 形 脈 沖 （ 或 三角 脈 沖 、 雙 邊 指 數(shù) 脈 沖 、 鐘 形 脈 沖 等 ),其 面 積 為 1。 )(tS當 時 ， 有 0 0lim ( ) ( )S t t 0)(t 00tt （ 1-47） 從 面 積 (通 常 稱 其 為 函 數(shù)

49、的 強 度 )的 角 度 看0( ) lim ( ) 1t dt S t dt （ 1-48） t矩 形 脈 沖- /2 0 /21/ S (t)01 (t) t 函 數(shù) 7 3 2 函 數(shù) 的 采 樣 性 質(zhì)由 (t)函 數(shù) 性 質(zhì) )()0()()( tfttf 強 度 為 f(0)的 (t)函 數(shù) 從 數(shù) 值 上 看 )()0( tf 從 面 積 （ 強 度 ） 看 則 為 f(0)， 即 )0()()0()()0()()( fdttftfttf (1-49)對 于 延 時 函 數(shù) (t-t0),它 與 f(t)乘 積 只 在 t=t0時 刻 不 等 于 零即 )()()()( 000

50、tttftttf 積 分 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f t t t dt f t t t dtf t t t dt f t (1-50) 7 4 從 式 （ 1-49） 和 （ 1-50） 表 明 :（ 1） 任 意 函 數(shù) f(t) 與 (t-t0) 的 乘 積 是 一 個 強度 為 f(t0) 的 函 數(shù) (t-t0)。（ 2） 該 乘 積 在 有 限 區(qū) 間 的 積 分 是 f(t) 在 t=t0的 值 f(t0)（ 3） 此 性 質(zhì) 對 連 續(xù) 信 號 的 離 散 采 樣 是 十 分 重要 的 。 7 5 3 函 數(shù) 與 其 它 函 數(shù)

51、的 卷 積 x(t)與 函 數(shù) 的 卷 積 為 dtxttx )()()()(由 于 函 數(shù) 為 偶 函 數(shù) dtxttx )()()()(所 以 )()()( txttx （ 1-51） 同 理 當 函 數(shù) 為 (t t0)時 dttxtttx )()()()( 00 0( ) ( )x t t d )()()( 00 ttxtttx 可 見 ,函 數(shù) x(t)與 函 數(shù) 的 卷 積 結(jié) 果 就 是 發(fā) 生 在 函 數(shù) 坐 標位 置 上 (坐 標 原 點 )簡 單 將 函 數(shù) 重 構(gòu) 圖 。 A 0 tx(t)* (t)0 tAx(t)01 t (t) -t0 0 t0 tx(t)* (t+

52、t0) x(t)* (t-t0)x(t)* (t t0)0 tx(t) t-t0 0 t0 (t+t0) (t-t0) (t t0) 7 6 4 (t )的 頻 譜 密 度 1)()( 02 edtetf ftj (1-53) 其 逆 變 換 為 dfet ftj 21)( (1-54) f01 (f)t01 (t) 函 數(shù) 具 有 無 限 寬 頻 譜 ， 而 且 是 等 強 度 的 ， 也 稱 為 “ 均 勻 譜 ” 。根 據(jù) 付 里 葉 變 換 的 對 稱 性 質(zhì) 、 時 移 性 質(zhì) 和 頻 移 性 質(zhì) ， 可 得 到 以下 付 里 葉 變 換 對 時 域 頻 域 (t ) 1 （ 單 位

53、 瞬 時 脈 沖 ） （ 均 勻 頻 譜 密 度 函 數(shù) ） 1 (f) （ 幅 值 為 1的 直 流 量 ） （ 在 f = 0處 有 脈 沖 譜 線 ） (t -t0) e-j2 ft0 （ 函 數(shù) 時 移 t0） (各 頻 率 成 分 分 別 相 移 -2 ft0) ej2 f0 t (f -f0) (復 數(shù) 指 數(shù) 函 數(shù) ) （ 將 （ f） 頻 移 到 f0） (1-55) 7 7 （ 三 ） 正 、 余 弦 函 數(shù) 的 頻 譜 密 度 函 數(shù) 據(jù) 歐 拉 公 式 可 推 出 )(22sin 00 220 tfjtfj eejtf )(212cos 00 220 tfjtfj ee

54、tf 用 式 (1-55)傅 里 葉 變 換 對 )()(22sin 000 ffffjtf )()(212cos 000 fffftf (1-56) (1-57) 看 出 ： 正 、 余 弦 函 數(shù) 是 把 頻 域 中 兩 個 函 數(shù) 向 不 同 方 向 頻移 后 的 差 或 和 的 付 里 葉 逆 變 換 ， 參 見 函 數(shù) 和 頻 譜 圖 。 1/21/2-f 0 f0-f0 f0-1/21/2 00 ffImX(f)x(t)=cos2 f0tx(t)=sin2 f0t00 tt ReX(f) 頻 譜 密 度 7 8 （ 四 ） 周 期 單 位 脈 沖 序 列 的 頻 譜 密 度此 序

55、列 常 稱 為 梳 狀 函 數(shù) ， 并 用 comb(t,Ts)表 示 ( , ) ( )defs sncomb t T t nT （ 1-58） 式 中 Ts周 期 n = 1, 2,因 此 ， 此 函 數(shù) 是 周 期 函 數(shù) 。 表 示 為 復 指 數(shù) 函 數(shù) 形 式 k tkfjks seCTtcomb 2),( （ 1-59） 式 中 fs=1/Ts， 系 數(shù) Ck為 22 2),(1 ss sTT tkfjssk dteTtcombTC 因 為 在 區(qū) 間 內(nèi) ， 式 （ 1-58） 中 只 有 一 個 函 數(shù) (t )，且 ),( 22 ss TT 2 00 1| sj kf t

56、te e 所 以 22 2 1),(1 ss sTT stkfjssk TdteTtcombTC 7 9 式 （ 1-59） 變 成 21( , ) sj kf ts kscomb t T eT 根 據(jù) 式 （ 1-55） tkfj se 2 )( skff 可 得 comb(t,Ts)函 數(shù) 頻 譜 comb(f,fs)也 是 梳 狀 函 數(shù) k k sssss TkfTkffTffcomb )(1)(1),( (1-60) 由 圖 可 見 時 域 周 期 單 位 脈 沖 序 列 的 頻 譜 也 是 周 期 脈 沖 序 列 。時 域 周 期 為 Ts， 脈 沖 強 度 為 1， 頻 譜 周

57、期 為 1/Ts， 強 度 為 1/Ts。 -3/Ts -1/Ts 0 1/Ts 3/Ts-2Ts -Ts 0 Ts 2Ts ft 1/Ts1 Comb(f,fs)Comb(t,Ts) 圖 1-20 周 期 單 位 脈 沖 序 列 及 其 頻 譜 8 0 第 一 章 作 業(yè)教 科 書 4 0 -4 1 頁 ， 思 考 題 與 習 題1 -31 -51 -6下 次 課 交 作 業(yè) 結(jié) 束 8 1 ( ) 幅 頻 譜 7 05 03 0 0A( ) 相 頻 譜7 05 03 0 0 tA -Ax(t) T0/2-T0/2 T0T0/3T0/54A/ 4A/34A/54A/7 T0/7 8 2 狄

58、里 赫 利 條 件 ：（ 1） 在 一 個 周 期 內(nèi) 只 有 有 限 個 不 連 續(xù) 點 。 （ 2） 在 一 個 周 期 內(nèi) 只 有 有 限 個 極 大 值 和 極 小 值 。 存 在22 )(TT dttf（ 3） 8 3 證 明 (t)函 數(shù) 為 偶 函 數(shù) 由 ( ) ( ) (0) ( ) (0) ( ) (0)x t t dt x t dt x t dt x (A)令 t = -t 代 入( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) (0)x t t dt x t t d tx t t dt x t t dt x ( ) ( ) (0)x t t dt x

59、 (B)比 較 (A)和 (B)兩 式 ， 有 () ( )t t 得 到 ( ) ( ) ?x t t d t 8 4 卷 積 積 分 的 圖 解 計 算 方 法 與 步 驟 反 轉(zhuǎn) ： 將 x2()以 縱 軸 為 對 稱 軸 反 轉(zhuǎn) 得 到 x2(-) 平 移 ： 將 x2(-)隨 參 變 量 t 平 移 ， 得 到 x2(-+t ) 定 上 下 限 :根 據(jù) x1()和 x2(t-)相 乘 公 共 區(qū) 域 定 積 分 上 下 限 積 分 ： x1()和 x2(t-)乘 積 曲 線 下 的 面 積 即 為 t 時 刻 的 卷 積 值1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )d e fx

60、t x t x x t d 兩 個 函 數(shù) 和 卷 積 定 義 為 )(1 tx )(2 tx例 ： 已 知 函 數(shù)求 y(t)=x 1()*x2(t-) ,1,01 )( TtT ttx 其 它 0,02 )( Ttt ttx 其 它 0 x2()T T0 x1()T-T 1t-Tx2(-)x2(-+t)x2(-+t) 8 50 x1() T-T 1 x2(t-) t2Ttt-Te) 0 x1()T-T 1x2(t-) t-Ttt-T a) 0 x1()T-T 1x2(t-) 0tT tt-Tc)0 x1()T-T 1x2(t-)-Tt0tt-T b)a)和 e)兩 種 情 況 下x1()和 x2(t-)無 重疊 部 分 ， 乘 積 為零 ， 所 以 y(t)=0 22 221 21 2121 21)( )()( )()()( |TTtt tdt dtxx txtxty t TtTtT 2)( )()( )()()( 221 21 Tdt dtxx txtxty t Ttt Tt 2)( )()( )()()( 221 21 tTtdt dtxx txtxty TTtTTt 0 x1() T-T 1 x2(t-) Tt2Ttt-Td)