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1、絕密★啟用前
2021年普通高等學校招生全國統一考試（理科乙卷）
數學
注意事項：
1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．
3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．設，則（ ）
A． B． C．
2、 D．
2．已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
3．已知命題，；命題，，則下列命題中為真命題的是（ ）
A． B． C． D．
4．設函數，則下列函數中為奇函數的是（ ）
A． B． C． D．
5．在正方體中，為的中點，則直線與所成的角為（ ）
A． B． C．
3、 D．
6．將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）
A．60種 B．120種 C．240種 D．480種
7．把函數圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖像，則（ ）
A． B． C． D．
8．在區(qū)間與中各隨機取1個數，則兩數之和大于的概率為（ ）
A．
4、B． C． D．
9．魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經》是關于測量的數學著作，其中第一題是測量海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”，則海島的高（ ）
A． B．
C． D．
10．設，若為函數的極大值點，則（ ）
A． B． C． D．
11．設是橢
5、圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
12．設，，．則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為_________．
14．已知向量，若，則__________．
15．記的內角的對邊分別為，面積為，，，則________．
16．以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選
6、側視圖和俯視圖的編號依次為___________（寫出符合要求的一組答案即可）．
三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．
（一）必考題：共60分．
17．（12分）
某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據如下：
舊設備
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新設備
10.1
10.4
7、10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為和，樣本方差分別記為和．
（1）求﹔
（2）判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果，則認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）．
18．（12分）
如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，M為的中點，且．
（1）求，
（2）求二面角的正弦值．
19．（12分）
記為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知．
（1）證明：數列是等差數列;
（2）求的通項公式．
20．（12
8、分）
設函數，已知是函數的極值點．
（1）求a；
（2）設函數．證明:．
21．（12分）
已知拋物線的焦點為F，且F與圓上點的距離的最小值為4．
（1）求p；
（2）若點P在M上，是C的兩條切線，是切點，求面積的最大值．
（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．
22．[選修4-4：坐標系與參數方程]（10分）
在直角坐標系中，的圓心為，半徑為1．
（1）寫出的一個參數方程；
（2）過點作的兩條切線．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線的極坐標方程．
23．[選修4-5：不等式選講]（10分）
已知函數．
（1）當時，求不等式的解集；
（2）若，求a的取值范圍．
2021年普通高等學校招生全國統一考試（理科·乙卷）數學
