高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題檢測(cè)（十八） 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 理（普通生含解析）（選修4-4）-人教版高三選修4-4數(shù)學(xué)試題

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1、專題檢測(cè)（十八） 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ，θ∈. (1)求半圓C的參數(shù)方程； (2)若半圓C與圓D：(x－5)2＋(y－)2＝m(m是常數(shù)，m＞0)相切，試求切點(diǎn)的直角 坐標(biāo)． 解：(1)半圓C的普通方程為(x－2)2＋y2＝4(0≤y≤2)， 則半圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0≤t≤π)． (2)C，D的圓心坐標(biāo)分別為(2,0)，(5，)， 于是直線CD的斜率k＝＝. 由于切點(diǎn)必在兩個(gè)圓心的連線上， 故切點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)t滿足tan t＝，t＝， 所以切點(diǎn)的直角

2、坐標(biāo)為，即(2＋，1)． 2．(2018·貴陽摸底考試)曲線C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝. (1)寫出C的普通方程，并用(α為直線的傾斜角，t為參數(shù))的形式寫出直線l的一個(gè)參數(shù)方程； (2)l與C是否相交？若相交，求出兩交點(diǎn)的距離，若不相交，請(qǐng)說明理由． 解：(1)C的普通方程為＋y2＝1， 由ρcos＝得x－y－2＝0， 則直線l的傾斜角為， 又直線l過點(diǎn)(2,0)， 得直線l的一個(gè)參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (2)將l的參數(shù)方程代入C的普通方程得 5t2＋4t＝0，解得t1＝0，t2＝－，

3、顯然l與C有兩個(gè)交點(diǎn)， 分別記為A，B，且|AB|＝|t1－t2|＝. 3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos＝3. (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程． (2)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)． 解：(1)曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，普通方程為x2＋＝1， 曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos＝3， 即ρcos θ＋ρsin θ－6＝0，直角坐標(biāo)方程為x＋y－6＝0. (2)設(shè)P(cos α，sin α)，則|PQ|的最小

4、值為P到x＋y－6＝0距離， 即＝， 當(dāng)且僅當(dāng)α＝2kπ＋(k∈Z)時(shí)，|PQ|取得最小值2， 此時(shí)P. 4．(2018·貴陽適應(yīng)性考試)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：(α為參數(shù))，在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為 ρcos＝－1. (1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)過點(diǎn)M(－1,0)且與直線l平行的直線l1交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之和． 解：(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1， 由ρcos＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2， 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋2＝0

5、. (2)直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，將其代入＋y2＝1中，化簡(jiǎn)得2t2－t－2＝0， 設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2， 則t1＋t2＝，t1t2＝－1， 所以|MA|＋|MB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝＝＝. 5．(2018·福州四校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，直線C2的方程為y＝x.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程； (2)若直線C2與曲線C1交于A，B兩點(diǎn)，求＋. 解：(1)由曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，得曲線C1的普通方程為 (x－2)2

6、＋(y－2)2＝1， 則C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0， 由于直線C2過原點(diǎn)，且傾斜角為，故其極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)(tan θ＝)． (2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0， 設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，則ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7， ∴＋＝＝＝. 6．極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長(zhǎng)度單位，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ，曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0≤α＜π)，射線θ＝φ，θ＝φ＋，θ＝φ－與曲線C1交于(不包括極點(diǎn)O)三點(diǎn)A，B，C. (1)求證：|OB|＋

7、|OC|＝|OA|； (2)當(dāng)φ＝時(shí)，B，C兩點(diǎn)在曲線C2上，求m與α的值． 解：(1)證明：設(shè)點(diǎn)A，B，C的極坐標(biāo)分別為(ρ1，φ)，，， 因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C在曲線C1上， 所以ρ1＝4cos φ，ρ2＝4cos，ρ3＝4cos， 所以|OB|＋|OC|＝ρ2＋ρ3＝4cos＋4cos＝4cos φ＝ρ1， 故|OB|＋|OC|＝|OA|. (2)由曲線C2的方程知曲線C2是經(jīng)過定點(diǎn)(m,0)且傾斜角為α的直線． 當(dāng)φ＝時(shí)，B，C兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，， 化為直角坐標(biāo)為B(1，)，C(3，－)， 所以tan α＝＝－，又0≤α＜π，所以α＝. 故曲線C2的方程為y＝－(x－

8、2)，易知曲線C2恒過點(diǎn)(2,0)，即m＝2. 7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，其中0≤α＜π，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C1：ρ＝4cos θ.直線l與曲線C1相切． (1)將曲線C1的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并求α的值． (2)已知點(diǎn)Q(2,0)，直線l與曲線C2：x2＋＝1交于A，B兩點(diǎn)，求△ABQ的面積． 解：(1)曲線C1：ρ＝4cos θ，即ρ2＝4ρcos θ，化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4x，即C1：(x－2)2＋y2＝4，可得圓心(2,0)，半徑r＝2， 直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，其中0≤α＜π，由題

9、意l與C1相切，可得普通方程為y－＝k(x－1)，k＝tan α，0≤α＜π且α≠， 因?yàn)橹本€l與曲線C1相切，所以＝2， 所以k＝，所以α＝. (2)直線l的方程為y＝x＋， 代入曲線C2：x2＋＝1，整理可得10x2＋4x－5＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1·x2＝－， 所以|AB|＝·＝， Q到直線的距離d＝＝2， 所以△ABQ的面積S＝××2＝. 8．已知直線L的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝. (1)求直線L的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與直線L夾角為的直線l，設(shè)直線l與直線L的交點(diǎn)為A，求|PA|的最大值． 解：(1)由(t為參數(shù))，得L的普通方程為2x＋y－6＝0， 令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 得直線L的極坐標(biāo)方程為2ρcos θ＋ρsin θ－6＝0， 由曲線C的極坐標(biāo)方程，知ρ2＋3ρ2cos2θ＝4， 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋＝1. (2)由(1)，知直線L的普通方程為2x＋y－6＝0， 設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(cos α，2sin α)， 則點(diǎn)P到直線L的距離d＝. 由題意得|PA|＝＝， 所以當(dāng)sin＝－1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為.