空間圖形的基本關系與公理[習題與答案]

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1、 空間圖形的基本關系與公理　課后作業(yè) 一、選擇題 1．下列四個命題： ①分別在兩個平面內的兩條直線是異面直線 ②和兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條 ③和兩條異面直線都相交的兩條直線必異面 ④若a與b是異面直線，b與c是異面直線，則a與c也是異面直線 其中是真命題的個數(shù)為(　　) A．3　　　　B．2　　　　C．1　　　　D．0 2．以下命題中：①點A，B，C∈直線a，A，B∈平面α，則C∈α；②點A∈直線a，a?平面α，則A∈α；③α，β是不同的平面，a?α，b?β，則a，b異面；④三條直線兩兩相交，則這三條直線共面；⑤空間有四點不共面，則這四點中無三點共線．

2、真命題的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 3．對于空間三條直線，有下列四個條件： ①三條直線兩兩相交且不共點；②三條直線兩兩平行； ③三條直線共點；④有兩條直線平行，第三條直線和這兩條直線都相交． 其中，使三條直線共面的充分條件有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點，則A1B與D1E所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 5．已知正四棱錐S－ABCD的側棱長

3、與底面邊長都相等，E是SB的中點，則AE，SD所成的角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 二、填空題 6．空間內五個點中的任意三點都不共線，由這五個點為頂點只構造出四個三棱錐，則這五個點最多可以確定________個平面． 7．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，經過其對角線BD1的平面分別與棱AA1、CC1相交于E，F(xiàn)兩點，則四邊形EBFD1的形狀為________． 8．P是直線a外一定點，經過P且與直線a成30角的直線有________條． 三、解答題 9.如右圖所示，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB

4、，BC，CD，DA的中點． (1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形； (2)若AC＝BD，求證：四邊形EFGH是菱形； (3)當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是正方形． 10.如右圖所示，已知四邊形ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90，PA⊥平面AC，且PA＝AD＝AB＝1，BC＝2. (1)求PC的長； (2)求異面直線PC與BD所成角的余弦值的大?。? 參考答案 1．D 2．解析：只有①⑤為真命題． 答案：C 3．B 4．解析：連結D1C，EC，用余弦定理解三角形可以求得答案． 答案：B 5．

5、解析：連接AC、BD交于O，連接OE，因OE∥SD.所以∠AEO為所求．設側棱長與底面邊長都等于2，則在△AEO中，OE＝1，AO＝，AE＝＝， 于是cos∠AEO＝＝＝. 答案：C 6．7　7.平行四邊形 8．解析：無數(shù)條，它們組成一個以P為頂點的圓錐面． 答案：無數(shù) 9．解析：(1)證明：在△ABC中，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC中點，所以EF∥AC，且EF＝AC，同理有GH∥AC，且GH＝AC， ∴EF∥GH且EF＝GH，故四邊形EFGH是平行四邊形； (2)證明：仿(1)中分析，EH∥BD且EH＝BD，若AC＝BD，則有EH＝EF，又因為四邊形EFGH是平行四邊形， ∴四

6、邊形EFGH是菱形． (3)由(2)知，AC＝BD(四邊形EFGH是菱形，欲使EFGH是正方形，還要得到∠EFG＝90，而∠EFG與異面直線AC，BD所成的角有關，故還要加上條件AC⊥BD.∴當AC＝BD且AC⊥BD時，四邊形EFGH是正方形． 10．解析：(1)因為PA⊥平面AC，AB⊥BC，∴PB⊥BC，即∠PBC＝90，由勾股定理得PB＝＝. ∴PC＝＝. (2) 如右圖所示，過點C作CE∥BD交AD的延長線于E，連結PE，則∠PCE為異面直線PC與BD所成的角或它的補角． ∵CE＝BD＝，且PE＝＝. ∴由余弦定理得cos∠PCE＝＝－. ∴PC與BD所成角的余弦值為. 2