2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 12.2 總體期望值和方差的估計(jì)教案.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 12.2 總體期望值和方差的估計(jì)教案 ●知識(shí)梳理 1.平均數(shù)的計(jì)算方法 （1）如果有n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，那么=（x1+x2+…+xn）叫做這n個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，讀作“x拔”. （2）當(dāng)一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的各個(gè)數(shù)值較大時(shí)，可將各數(shù)據(jù)同時(shí)減去一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)a，得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，…，xn′=xn－a，那么，= +a. （3）加權(quán)平均數(shù)：如果在n個(gè)數(shù)據(jù)中，x1出現(xiàn)f1次，x2出現(xiàn)f2次，…，xk出現(xiàn)fk次（f1+f2+…+fk=n），那么 =. 2.方差的計(jì)算方法 （1）對(duì)于一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，s2=［（x1－）2+（x2－）2+…+（xn－）2］叫做這組數(shù)據(jù)的方差，而s叫做標(biāo)準(zhǔn)差. （2）公式s2=［（x12+x22+…+xn2）－n2］. （3）當(dāng)一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn中的各數(shù)較大時(shí)，可以將各數(shù)據(jù)減去一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)a，得到x1′=x1－a，x2′=x2－a，…，xn′=xn－a. 則s2=［（x1′2+x2′2+…+xn′2）－n］. 3.總體平均值和方差的估計(jì) 人類(lèi)的長(zhǎng)期實(shí)踐和理論研究都充分證明了用樣本的平均數(shù)估計(jì)總體平均值，用樣本方差估計(jì)總體方差是可行的，而且樣本容量越大，估計(jì)就越準(zhǔn)確. ●點(diǎn)擊雙基 1.描述總體離散型程度或穩(wěn)定性的特征數(shù)是總體方差，以下統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體穩(wěn)定性的是 A.樣本均值 B.樣本方差 C.樣本最大值 D.樣本最小值 解析：統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本思想是用樣本來(lái)估計(jì)總體.因此選B. 答案：B 2.甲、乙兩人在相同的條件下，射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下： 甲：8，6，9，5，10，7，4，8，9，5； 乙：7，6，5，8，6，9，6，8，7，7. 根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)兩人的技術(shù)穩(wěn)定性，結(jié)論是 A.甲優(yōu)于乙 B.乙優(yōu)于甲 C.兩人沒(méi)區(qū)別 D.兩人區(qū)別不大 解析：x甲=（8+6+…+5）=7.1，x乙=（7+6+…+7）=6.9. s甲2=［（8－7.1）2+…+（5－7.1）2］=3.69， s乙2=［（7－6.9）2+…+（7－6.9）2］=1.29. ∴乙優(yōu)于甲. 答案：B 3.樣本a1，a2，a3，…，a10的平均數(shù)為，樣本b1，b2，b3，…，b10的平均數(shù)為，那么樣本a1，b1，a2，b2，…，a10，b10的平均數(shù)為 A.+ B.（+） C.2（+） D.（+） 解析：樣本a1，a2，a3，…，a10中ai的概率為Pi，樣本b1，b2，b3，…，b10中bi的概率為Pi′，樣本a1，b1，a2，b2，a3，b3，…，a10，b10中ai的概率為qi，bi的概率為qi′，則Pi=2qi，故樣本a1，b1，a2，b2，a3，b3，…，a10，b10的平均數(shù)為a1q1+b1q1′+a2q2+b2q2′+…+a10q10+b10q10′=（a1P1+…+a10P10）+（b1P1′+b2P2′+…+b10P10′）=（+）. 答案：B 4.電池廠從某日生產(chǎn)的電池中抽取10個(gè)進(jìn)行壽命測(cè)試，得到數(shù)據(jù)如下（單位：h）：30，35，25，25，30，34，26，25，29，21.則該電池的平均壽命估計(jì)為_(kāi)__________，方差估計(jì)為_(kāi)__________. 解析：=（30+35+25+25+30+34+26+25+29+21） =（0+5－5－5+0+4－4－5－1－9）+30=28， s2=［（30－28）2+（35－28）2+（25－28）2+（25－28）2+（30－28）2+（34－28）2+（26－28）2+（25－28）2+（29－28）2+（21－28）2］ =（4+49+9+9+4+36+4+9+1+49）=17.4. 答案：28 17.4 ●典例剖析 【例1】 是x1，x2，…，x100的平均數(shù)，a是x1，x2，…，x40的平均數(shù)，b是x41，x42，…，x100的平均數(shù)，則下列各式正確的是 A.= B.= C.=a+b D.= 剖析：這100個(gè)數(shù)的平均數(shù)是a+b還是（a+b），這都很容易讓人誤解.我們可以從概率及加權(quán)平均數(shù)的角度來(lái)思考. 設(shè)Pi是x1，x2，…，x100中xi被抽到的概率，qi是x1，x2，…，x40中xi被抽到的概率，ri是x41，x42，…，x100中xi被抽到的概率，則Pi=qi，Pi=ri.故x1，x2，…，x100的平均數(shù)=（x1q1+x2q2+…+x40q40）+（x41r41+…+x100r100）=a+b. 答案：A 評(píng)述：除上述解法外，你還有其他解法嗎？ 特別提示 除了上述方法外，我們還可以先分別求出x1+x2+…+x40=40a，x41+x42+…+x100=60b，再求. 【例2】 甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員參加某大型運(yùn)動(dòng)會(huì)的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績(jī)?nèi)缦卤恚▎挝唬涵h(huán)） 甲 10 8 9 9 9 乙 10 10 7 9 9 如果甲、乙兩人只有1人入選，則入選的應(yīng)是___________. 剖析：判斷誰(shuí)入選，首先應(yīng)考慮選手的成績(jī)是否穩(wěn)定.因此分別求其方差. 甲的平均數(shù)為1=（10+8+9+9+9）=9， 乙的平均數(shù)為2=（10+10+7+9+9）=9， 甲的方差為s甲=（10－9）2+（8－9）2=， 乙的方差為s乙=（10－9）22+（7－9）2=. s乙＞s甲，說(shuō)明乙的波動(dòng)性大，故甲入選. 答案：甲 評(píng)述：方差的大小可看出成績(jī)的穩(wěn)定性，平均數(shù)的大小可看出成績(jī)的高低. 【例3】 某班40人隨機(jī)分為兩組，第一組18人，第二組22人，兩組學(xué)生在某次數(shù)學(xué)檢測(cè)中的成績(jī)?nèi)缦卤恚? 分 組 平均成績(jī) 標(biāo)準(zhǔn)差 第一組 90 6 第二組 80 4 求全班的平均成績(jī)和標(biāo)準(zhǔn)差. 剖析：代入方差公式s2=［（x12+x22+…+xn2）－n2］即可求得. 解：設(shè)全班的平均成績(jī)?yōu)?，全班成?jī)的方差為s2， 則s12=［（x12+x22+…+x182）－18902］=36， s22=［（x192+x202+…+x402）－22802］=16. ∴=（9018+8022）==84.5， s2=［（x12+x22+…+x182）+（x192+x202+…+x402）－402］ =［18（36+8100）+22（16+6400）－40］ =（146448+141152－101692） =1990=49.75. ∴s=≈7.05. 評(píng)述：平均成績(jī)應(yīng)為總成績(jī)除以總?cè)藬?shù)，而總成績(jī)可由每組成績(jī)之和求得. 【例4】 已知c為常數(shù)，s2=［（x1－）2+（x2－）2+…+（xn－）2］，sc2=［（x1－c）2+（x2－c）2+…+（xn－c）2］.證明：s2≤sc2，當(dāng)且僅當(dāng)c=時(shí)，取“=”. 剖析：證明sc2≥s2，可證明sc2－s2≥0.因此應(yīng)用方差公式進(jìn)行變形即可. 證明：∵s2=［（x1－）2+…+（xn－）2］ =［（x12+x22+…+xn2）－n2］， sc2=［（x1－c）2+（x2－c）2+…+（xn－c）2］ =［（x12+x22+…+xn2）－2c（x1+x2+…+xn）+nc2］， ∴sc2－s2=2－（x1+x2+…+xn）+c2 =2－2c+c2=（－c）2≥0. ∴sc2≥s2，當(dāng)且僅當(dāng)=c時(shí)取“=”. 評(píng)述：作差是比較大小的常用手段. ●闖關(guān)訓(xùn)練 夯實(shí)基礎(chǔ) 1.一組數(shù)據(jù)的方差為s2，將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)都乘以2，所得到的一組新數(shù)據(jù)的方差是 A.s2 B.2s2 C.4s2 D.s2 解析：由方差公式易求得新數(shù)據(jù)的方差為4s2. 答案：C 2.某班有48名學(xué)生，在一次考試中統(tǒng)計(jì)出平均分為70分，方差為75，后來(lái)發(fā)現(xiàn)有2名同學(xué)的成績(jī)有誤，甲實(shí)得80分卻記為50分，乙實(shí)得70分卻記為100分，更正后平均分和方差分別是 A.70，25 B.70，50 C.70，1.04 D.65，25 解析：易得沒(méi)有改變，=70， 而s2=［（x12+x22+…+502+1002+…+x482）－482］=75， s′2=［（x12+x22+…+802+702+…+x482）－482］ =［（7548+482－12500+11300）－482］ =75－=75－25=50. 答案：B 3.甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm2）： 品種 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 其中產(chǎn)品比較穩(wěn)定的小麥品種是_______. 解析：甲=（9.8+9.9+10.1+10+10.2）=10， 乙=（9.4+10.3+10.8+9.7+9.8）=10， s甲2=［（9.8－10）2+（9.9－10）2+（10.1－10）2+（10－10）2+（10.2－10）2］=0.02， s乙2=［（9.4－10）2+（10.3－10）2+（10.8－10）2+（9.7－10）2+（9.8－10）2］=0.244. 所以，甲比乙穩(wěn)定. 答案：甲 4.為了科學(xué)地比較考試的成績(jī)，有些選拔性考試常常會(huì)將考試分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分，轉(zhuǎn)化關(guān)系式為Z=（其中x是某位學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)，是該次考試的平均分，s是該次考試的標(biāo)準(zhǔn)差，Z稱(chēng)為這位學(xué)生的標(biāo)準(zhǔn)分）.轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)分后可能出現(xiàn)小數(shù)和負(fù)值，因此，又常常再將Z分?jǐn)?shù)作線性變換轉(zhuǎn)化成其他分?jǐn)?shù).例如某次學(xué)生選拔考試采用的是T分?jǐn)?shù)，線性變換公式是T=40Z+60.已知在這次考試中某位考生的考試分?jǐn)?shù)是85分，這次考試的平均分是70分，標(biāo)準(zhǔn)差是25，則該考生的T分?jǐn)?shù)為_(kāi)__________. 解析：由已知Z==，∴T=40+60=24+60=84.故考生成績(jī)的T分?jǐn)?shù)為84. 答案：84 5.已知兩家工廠，一年四季上繳利稅情況如下（單位：萬(wàn)元）： 季 度 一 二 三 四 甲 廠 70 50 80 40 乙 廠 55 65 55 65 試分析兩廠上繳利稅的情況. 解：甲、乙兩廠上繳利稅的季平均值分別為 甲=（70+50+80+40）=60， 乙=（55+65+55+65）=60； 甲、乙兩廠上繳利稅的方差為 s甲2=［（70－60）2+（50－60）2+（80－60）2+（40－60）2］=250， s乙2=［（55－60）2+（65－60）2+（55－60）2+（65－60）2］=25. 經(jīng)上述結(jié)果分析，兩廠上繳利稅的季平均值相同，但甲廠比乙廠波動(dòng)大，導(dǎo)致它們生產(chǎn)出現(xiàn)的差異大，乙廠不同季節(jié)的繳稅量比較接近平均值，生產(chǎn)穩(wěn)定，而甲廠不穩(wěn)定. 培養(yǎng)能力 6.某校從甲、乙兩名優(yōu)秀選手中選拔1名參加全市中學(xué)生百米比賽，該校預(yù)先對(duì)這兩名選手測(cè)試了8次，成績(jī)?nèi)缦卤恚? 選手成績(jī)（s） 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2 乙 12 12.4 12.8 13 12.2 12.8 12.3 12.5 根據(jù)成績(jī)，請(qǐng)你作出判斷，派哪位選手參加更好，為什么？ 解：甲=12.4=乙，s甲2=0.12，s乙2≈0.10， ∴甲、乙兩人的平均成績(jī)相等，但乙的成績(jī)較穩(wěn)定，應(yīng)派乙選手參加比賽. 7.某農(nóng)場(chǎng)為了從三種不同的西紅柿品種中選取高產(chǎn)穩(wěn)定的西紅柿品種，分別在五塊試驗(yàn)田上試種，每塊試驗(yàn)田均為0.5公頃，產(chǎn)量情況如下： 品 種 產(chǎn)量（kg） 1 2 3 4 5 1 21.5 20.4 22.0 21.2 19.9 2 21.3 18.9 18.9 21.4 19.8 3 17.8 23.3 21.4 19.1 20.9 問(wèn)：哪一品種的西紅柿既高產(chǎn)又穩(wěn)定？ 解：1=（21.5+20.4+…+19.9）=21， 2=（21.3+18.9+…+19.8）=21， 3=（17.8+23.3+…+20.9）=20.5， s1=0.756， s2=1.104， s3=1.901. 由1=2>3，而s1下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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