2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 2.1 函數(shù) 2.1.3 函數(shù)的單調(diào)性教案 新人教B版必修1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 2.1 函數(shù) 2.1.3 函數(shù)的單調(diào)性教案 新人教B版必修1 教學(xué)分析　　　　　 在研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，單調(diào)性是一個(gè)重要內(nèi)容．實(shí)際上，在初中學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，已經(jīng)重點(diǎn)研究了一些函數(shù)的增減性，只是當(dāng)時(shí)的研究較為粗略，未明確給出有關(guān)函數(shù)增減性的定義，對(duì)于函數(shù)增減性的判斷也主要根據(jù)觀察圖象得出．而本節(jié)內(nèi)容，正是初中有關(guān)內(nèi)容的深化和提高．給出函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)的定義，明確指出函數(shù)的增減性是相對(duì)于某個(gè)區(qū)間來(lái)說(shuō)的，還說(shuō)明判斷函數(shù)的增減性既有從圖象上進(jìn)行觀察的較為粗略的方法，又有根據(jù)定義進(jìn)行證明的較為嚴(yán)格的方法，最好根據(jù)圖象觀察得出猜想，用推理證明猜想的正確性，這樣就將以上兩種方法統(tǒng)一起來(lái)了． 由于函數(shù)圖象是發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)的直觀載體，因此，在本節(jié)教學(xué)時(shí)可以充分使用信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，以利于學(xué)生作函數(shù)圖象，有更多的時(shí)間用于思考、探究函數(shù)的單調(diào)性．還要特別重視讓學(xué)生經(jīng)歷這些概念的形成過(guò)程，以便加深對(duì)單調(diào)性的理解． 三維目標(biāo)　　　　　 1．函數(shù)單調(diào)性的研究經(jīng)歷了從直觀到抽象，以圖識(shí)數(shù)的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，讓學(xué)生通過(guò)自主探究活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程的真諦，學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)． 2．理解并掌握函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義，掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，提高應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力． 3．能夠用函數(shù)的性質(zhì)解決日常生活中的簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的必要性與重要性，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的緊迫感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性． 重點(diǎn)難點(diǎn)　　　　　 教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性． 教學(xué)難點(diǎn)：增函數(shù)、減函數(shù)形式化定義的形成． 課時(shí)安排　　　　　 1課時(shí) 導(dǎo)入新課　　　　　 思路1.德國(guó)有一位著名的心理學(xué)家名叫艾賓浩斯(Hermann Ebbinghaus,1850～1909)，他以自己為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，共做了163次實(shí)驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)連續(xù)要做兩次無(wú)誤的背誦．經(jīng)過(guò)一定時(shí)間后再重學(xué)一次，達(dá)到與第一次學(xué)會(huì)的同樣的標(biāo)準(zhǔn)．他經(jīng)過(guò)對(duì)自己的測(cè)試，得到了一些數(shù)據(jù)． 時(shí)間間隔t 0分鐘 20分鐘 60分鐘 8～9小時(shí) 1天 2天 6天 一個(gè)月 記憶量y(百分比) 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% 觀察這些數(shù)據(jù)，可以看出：記憶量y是時(shí)間間隔t的函數(shù)．當(dāng)自變量(時(shí)間間隔t)逐漸增大時(shí)，你能看出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值(記憶量y)有什么變化趨勢(shì)嗎？描出這個(gè)函數(shù)圖象的草圖(這就是著名的艾賓浩斯曲線)．從左向右看，圖象是上升的還是下降的？你能用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)刻畫嗎？通過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)，你打算以后如何對(duì)待剛學(xué)過(guò)的知識(shí)？(可以借助信息技術(shù)畫圖象) 學(xué)生：先思考或討論，回答：記憶量y隨時(shí)間間隔t的增大而增大；以時(shí)間間隔t為橫軸，以記憶量y為縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，描點(diǎn)連線得函數(shù)的草圖——艾賓浩斯遺忘曲線如下圖所示． 遺忘曲線是一條衰減曲線，它表明了遺忘的規(guī)律．隨著時(shí)間的推移，記憶保持量在遞減，剛開始遺忘速度最快，我們應(yīng)利用這一規(guī)律，在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)一定要及時(shí)復(fù)習(xí)鞏固，加深理解和記憶．教師提示、點(diǎn)撥，并引出本節(jié)課題． 思路2.在第23屆奧運(yùn)會(huì)上，中國(guó)首次參加就獲15枚金牌；在第24屆奧運(yùn)會(huì)上，中國(guó)獲5枚金牌；在第25屆奧運(yùn)會(huì)上，中國(guó)獲16枚金牌；在第26屆奧運(yùn)會(huì)上，中國(guó)獲16枚金牌；在第27屆奧運(yùn)會(huì)上，中國(guó)獲28枚金牌；在第28屆奧運(yùn)會(huì)上，中國(guó)獲32枚金牌．按這個(gè)變化趨勢(shì)，xx年，在北京舉行的第29屆奧運(yùn)會(huì)上，請(qǐng)你預(yù)測(cè)一下中國(guó)能獲得多少枚金牌？ 學(xué)生回答(只要大于32就可以算準(zhǔn)確)，教師：提示、點(diǎn)撥，并引出本節(jié)課題． 推進(jìn)新課　　　　　 ①如下圖所示的函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝－x2的圖象，它們的圖象有什么變化規(guī)律？這反映了相應(yīng)的函數(shù)值的哪些變化規(guī)律？ ②函數(shù)圖象上任意點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)有什么意義？ ③如何理解圖象是上升的？ ④對(duì)于函數(shù)y＝x2，列出x，y的對(duì)應(yīng)值表(如下表)．完成下表并體會(huì)圖象在y軸右側(cè)上升． x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … f(x)＝x2 … … ⑤在數(shù)學(xué)上規(guī)定：函數(shù)y＝x2在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù).誰(shuí)能給出增函數(shù)的定義？ ⑥增函數(shù)的幾何意義是什么？ ⑦類比增函數(shù)的定義，請(qǐng)給出減函數(shù)的定義及其幾何意義？ ⑧函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性，說(shuō)明了函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上的圖象有什么 變化趨勢(shì)？ 討論結(jié)果：①函數(shù)y＝x的圖象，從左向右看是上升的；函數(shù)y＝x2的圖象在y軸左側(cè)是下降的，在y軸右側(cè)是上升的；函數(shù)y＝－x2的圖象在y軸左側(cè)是上升的，在y軸右側(cè)是下降的． ②函數(shù)圖象上任意點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)的意義：橫坐標(biāo)x是自變量的取值，縱坐標(biāo)y是自變量為x時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的大?。? ③按從左向右的方向看函數(shù)的圖象，意味著圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐漸增大即函數(shù)的自變量逐漸增大．圖象是上升的意味著圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)逐漸變大，也就是對(duì)應(yīng)的函數(shù)值隨著逐漸增大．也就是說(shuō)從左向右看圖象上升，反映了函數(shù)值隨著自變量的增大而增大． ④在區(qū)間(0，＋∞)上，任取x1、x2，且x1＜x2，那么就有y1＜y2，也就是有f(x1)＜f(x2)．這樣可以體會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)刻畫圖象上升． ⑤在函數(shù)y＝f(x)的圖象上任取兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，記Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)＝y(tǒng)2－y1. Δx表示自變量x的改變量，Δy表示因變量y的改變量，其中“Δ”為希臘字母，讀作“delta”． 一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，區(qū)間MA. 如果取區(qū)間M中的任意兩個(gè)值x1，x2，改變量Δx＝x2－x1＞0，則當(dāng)Δy＝f(x2)－f(x1)＞0時(shí)，就稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間M上是增函數(shù)． 如下圖(1)所示． ⑥從左向右看，圖象是上升的． ⑦在函數(shù)y＝f(x)的圖象上任取兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，記Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)＝y(tǒng)2－y1. Δx表示自變量x的改變量，Δy表示因變量y的改變量，其中“Δ”為希臘字母，讀作“delta”． 一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，區(qū)間MA. 如果取區(qū)間M中的任意兩個(gè)值x1，x2，改變量Δx＝x2－x1＞0，則當(dāng)Δy＝f(x2)－f(x1)＜0時(shí)，就稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間M上是減函數(shù)，如下圖(2)所示． 幾何意義：從左向右看，圖象是下降的． 如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間M上是增函數(shù)或是減函數(shù)，就說(shuō)這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間M上具有單調(diào)性．(區(qū)間M稱為單調(diào)區(qū)間) ⑧函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上，函數(shù)值的變化趨勢(shì)是隨自變量的增大而增大(減小)，幾何意義：從左向右看，圖象是上升(下降)的． 思路1 例1說(shuō)出函數(shù)f(x)＝的單調(diào)區(qū)間，并指明在該區(qū)間上的單調(diào)性． 活動(dòng)：學(xué)生思考函數(shù)單調(diào)性的幾何意義，由圖象得單調(diào)區(qū)間． 解：(－∞，0)和(0，＋∞)都是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在這兩個(gè)區(qū)間上函數(shù)f(x)＝都是單調(diào)遞減的． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的幾何意義，以及圖象法判斷函數(shù)單調(diào)性．圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性適合于選擇題和填空題．如果解答題中給出了函數(shù)的圖象，通常用圖象法判斷單調(diào)性．函數(shù)的圖象類似于人的照片，我們能根據(jù)人的照片來(lái)估計(jì)其身高，同樣我們根據(jù)函數(shù)的圖象可以分析出函數(shù)值的變化趨勢(shì)即單調(diào)性． 圖象法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是：第一步，畫函數(shù)的圖象；第二步，觀察圖象，利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間. 變式訓(xùn)練 　下圖是定義在區(qū)間[－5,5]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象，根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？ 活動(dòng)：教師提示利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義．學(xué)生先思考或討論后再回答，教師點(diǎn)撥、提示并及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生．圖象上升則在此區(qū)間上是增函數(shù)，圖象下降則在此區(qū)間上是減函數(shù)． 解：函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間是[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]．其中函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－5，－2)，[1,3)上是減函數(shù)，在區(qū)間[－2,1)，[3,5]上是增函數(shù). 例2證明函數(shù)f(x)＝2x＋1，在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)． 分析：畫出這個(gè)一次函數(shù)的圖象如下圖，直觀上很容易看出函數(shù)值隨著自變量增大而增大．下面根據(jù)定義進(jìn)行證明．同學(xué)們可以根據(jù)圖象理解每一步證明的幾何意義． 證明：設(shè)x1，x2是任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且x1＜x2，則 Δx＝x2－x1＞0， Δy＝f(x2)－f(x1)＝2x2＋1－(2x1＋1)＝2(x2－x1)＝2Δx＞0， 所以函數(shù)f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，以及定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性． 定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：第一步，在所給的區(qū)間上任取兩個(gè)自變量x1和x2，通常令x1＜x2；第二步，比較f(x1)和f(x2)的大小，通常是用作差比較法比較大小，此時(shí)比較它們大小的步驟是作差、變形、看符號(hào)；第三步，再歸納結(jié)論．定義法的步驟可以總結(jié)為：一“取(去)”、二“比”、三“再(賽)”，因此簡(jiǎn)稱為“去比賽”. 變式訓(xùn)練 　證明函數(shù)f(x)＝＋2在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上分別是減函數(shù)． 證明：設(shè)x1，x2是(－∞，0)內(nèi)的任意兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)，且x1＜x2，則 Δx＝x2－x1＞0， Δy＝f(x2)－f(x1)＝＋2－－2＝. 因?yàn)閤1－x2＝－Δx＜0，x1x2＞0，所以Δy＜0. 因此f(x)＝＋2在區(qū)間(－∞，0)上是減函數(shù)． 同理，對(duì)區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)的任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x1，x2，且x1＜x2，同樣有Δy＝f(x2)－f(x1)＜0. 所以f(x)＝＋2在區(qū)間(0，＋∞)上也是減函數(shù)． 思路2 例1 (1)畫出函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋3的圖象； (2)證明函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋3在區(qū)間(－∞，1]上是增函數(shù)； (3)當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，m]上是增函數(shù)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解：(1)函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋3的圖象如下圖所示． (2)設(shè)x1、x2∈(－∞，1]，且x1＜x2，則有 f(x1)－f(x2)＝(－x＋2x1＋3)－(－x＋2x2＋3) ＝(x－x)＋2(x1－x2) ＝(x1－x2)(2－x1－x2)． ∵x1、x2∈(－∞，1]，且x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＜2. ∴2－x1－x2＞0.∴f(x1)－f(x2)＜0.∴f(x1)＜f(x2)． ∴函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋3在區(qū)間(－∞，1]上是增函數(shù)． (3)函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋3的對(duì)稱軸是直線x＝1，在對(duì)稱軸的左側(cè)是增函數(shù)，那么當(dāng)區(qū)間(－∞，m]位于對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)滿足題意，則有m≤1，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，1]． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的圖象、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用．討論有關(guān)二次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，常用數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)來(lái)分析；二次函數(shù)在對(duì)稱軸兩側(cè)的單調(diào)性相反；二次函數(shù)在區(qū)間D上是單調(diào)函數(shù)，那么二次函數(shù)的對(duì)稱軸不在區(qū)間D內(nèi)． 判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí)，通常先畫出其圖象，由圖象觀察出單調(diào)區(qū)間，最后用單調(diào)性的定義證明． 判斷函數(shù)單調(diào)性的三部曲： 第一步，畫出函數(shù)的圖象，觀察圖象，描述函數(shù)值的變化趨勢(shì)； 第二步，結(jié)合圖象來(lái)發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 第三步，用數(shù)學(xué)符號(hào)即函數(shù)單調(diào)性的定義來(lái)證明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論． 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，是高考的必考內(nèi)容之一．因此應(yīng)理解單調(diào)函數(shù)及其幾何意義，會(huì)根據(jù)定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，能綜合運(yùn)用單調(diào)性解決一些問(wèn)題，會(huì)判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的值域、不等式等知識(shí)聯(lián)系極為密切，是高考命題的熱點(diǎn)題型. 變式訓(xùn)練 　已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，設(shè)F(x)＝f(x)－f(a－x)． (1)用函數(shù)單調(diào)性定義證明F(x)是R上的增函數(shù)； (2)證明函數(shù)y＝F(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)成中心對(duì)稱圖形． 分析：(1)本題中的函數(shù)解析式不明確即為抽象函數(shù)，用定義法證明；(2)證明函數(shù)y＝F(x)的圖象上的任意點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(，0)的對(duì)稱點(diǎn)還是在函數(shù)y＝F(x)的圖象上即可． 證明：(1)設(shè)x1、x2∈R，且x1＜x2.則 F(x1)－F(x2)＝[f(x1)－f(a－x1)]－[f(x2)－f(a－x2)] ＝[f(x1)－f(x2)]＋[f(a－x2)－f(a－x1)]． 又∵函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，x1＜x2，∴a－x2＜a－x1. ∴f(x1)＜f(x2)，f(a－x2)＜f(a－x1)． ∴[f(x1)－f(x2)]＋[f(a－x2)－f(a－x1)]＜0. ∴F(x1)＜F(x2)．∴F(x)是R上的增函數(shù)． (2)設(shè)點(diǎn)M(x0，F(xiàn)(x0))是函數(shù)F(x)圖象上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)M(x0，F(xiàn)(x0))關(guān)于點(diǎn)(，0)的對(duì)稱點(diǎn)M′(a－x0，－F(x0))． 又∵F(a－x0)＝f(a－x0)－f(a－(a－x0)) ＝f(a－x0)－f(x0)＝－[f(x0)－f(a－x0)]＝－F(x0)， ∴點(diǎn)M′(a－x0，－F(x0))也在函數(shù)F(x)圖象上． 又∵點(diǎn)M(x0，F(xiàn)(x0))是函數(shù)F(x)圖象上任意一點(diǎn)， ∴函數(shù)y＝F(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)成中心對(duì)稱圖形. 例2 (1)寫出函數(shù)y＝x2－2x的單調(diào)區(qū)間及其圖象的對(duì)稱軸，觀察：在函數(shù)圖象對(duì)稱軸兩側(cè)的單調(diào)性有什么特點(diǎn)？ (2)寫出函數(shù)y＝|x|的單調(diào)區(qū)間及其圖象的對(duì)稱軸，觀察：在函數(shù)圖象對(duì)稱軸兩側(cè)的單調(diào)性有什么特點(diǎn)？ (3)定義在[－4,8]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，y＝f(x)的部分圖象如下圖所示，請(qǐng)補(bǔ)全函數(shù)y＝f(x)的圖象，并寫出其單調(diào)區(qū)間，觀察：在函數(shù)圖象對(duì)稱軸兩側(cè)的單調(diào)性有什么特點(diǎn)？ (4)由以上你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？試加以證明． 分析：(1)畫出二次函數(shù)y＝x2－2x的圖象，借助于圖象解決；(2)類似于(1)；(3)根據(jù)軸對(duì)稱的含義補(bǔ)全函數(shù)的圖象，也是借助于圖象寫出單調(diào)區(qū)間；(4)歸納函數(shù)對(duì)稱軸兩側(cè)對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性的異同來(lái)發(fā)現(xiàn)結(jié)論，利用軸對(duì)稱的定義證明． 解：(1)函數(shù)y＝x2－2x的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞)；對(duì)稱軸是直線x＝1；區(qū)間(－∞，1)和區(qū)間(1，＋∞)關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，而單調(diào)性相反． (2)函數(shù)y＝|x|的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)，單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)；對(duì)稱軸是y軸即直線x＝0；區(qū)間(－∞，0)和區(qū)間(0，＋∞)關(guān)于直線x＝0對(duì)稱，而單調(diào)性相反． (3)函數(shù)y＝f(x)，x∈[－4,8]的圖象如下圖． 函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[－4，－1]，[2,5]；單調(diào)遞減區(qū)間是[5,8]，[－1,2]；區(qū)間[－4，－1]和區(qū)間[5,8]關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，而單調(diào)性相反，區(qū)間[－1,2]和區(qū)間[2,5]關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，而單調(diào)性相反． (4)可以發(fā)現(xiàn)結(jié)論：如果函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝m對(duì)稱，那么函數(shù)y＝f(x)在直線x＝m兩側(cè)對(duì)稱單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性．證明如下： 不妨設(shè)函數(shù)y＝f(x)在對(duì)稱軸直線x＝m的右側(cè)一個(gè)區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，區(qū)間[a，b]關(guān)于直線x＝m的對(duì)稱區(qū)間是[2m－b,2m－a]． 由于函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝m對(duì)稱，則f(x)＝f(2m－x)． 設(shè)2m－b≤x1＜x2≤2m－a，則b≥2m－x1＞2m－x2≥a， f(x1)－f(x2)＝f(2m－x1)－f(2m－x2)． 又∵函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，∴f(2m－x1)－f(2m－x2)＞0. ∴f(x1)－f(x2)＞0.∴f(x1)＞f(x2)． ∴函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[2m－b,2m－a]上是減函數(shù)． ∴當(dāng)函數(shù)y＝f(x)在對(duì)稱軸直線x＝m的右側(cè)一個(gè)區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)時(shí)，其在[a，b]關(guān)于直線x＝m的對(duì)稱區(qū)間[2m－b,2m－a]上是減函數(shù)，即單調(diào)性相反． 因此有結(jié)論：如果函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝m對(duì)稱，那么函數(shù)y＝f(x)在對(duì)稱軸兩側(cè)的對(duì)稱單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性． 點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)歸納——猜想——證明得到了正確的結(jié)論，這是我們認(rèn)識(shí)世界發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的主要方法，這種方法的難點(diǎn)是猜想，突破路徑是尋找共同的特征．本題作為結(jié)論記住，可以提高解題速度．圖象類似于人的照片，看見(jiàn)人的照片就能估計(jì)這個(gè)人的身高、五官等特點(diǎn)，同樣根據(jù)函數(shù)的圖象也能觀察出函數(shù)的性質(zhì)特征．這需要有細(xì)致的觀察能力. 變式訓(xùn)練 　函數(shù)y＝f(x)滿足以下條件： ①定義域是R；②圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱；③在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)．試寫出函數(shù)y＝f(x)的一個(gè)解析式f(x)＝__________(只需寫出一個(gè)即可，不必考慮所有情況)． 分析：根據(jù)這三個(gè)條件，畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象簡(jiǎn)圖(只要能體現(xiàn)這三個(gè)條件即可)，再根據(jù)圖象簡(jiǎn)圖，聯(lián)系猜想基本初等函數(shù)及其圖象和已有的解題經(jīng)驗(yàn)寫出． 解：定義域是R的函數(shù)解析式通常不含分式或根式，常是整式；圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的函數(shù)解析式滿足：f(x)＝f(2－x)，基本初等函數(shù)中有對(duì)稱軸的僅有二次函數(shù)，則由①②想到了二次函數(shù)；結(jié)合二次函數(shù)的圖象，在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)說(shuō)明開口必定向上，且正好滿足二次函數(shù)的對(duì)稱軸直線x＝1不在區(qū)間[2，＋∞)內(nèi)，故函數(shù)的解析式可能是y＝a(x－1)2＋b(a＞0)． 結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可知這三條都可滿足開口向上的拋物線，故有：形如y＝a(x－1)2＋b(a＞0)，或?yàn)閥＝a|x－1|＋b(a＞0)等都可以，答案不唯一. 1．利用圖象法寫出基本初等函數(shù)的單調(diào)性． 解：①正比例函數(shù)：y＝kx(k≠0) 當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)y＝kx在定義域R上是增函數(shù)；當(dāng)k＜0時(shí)，函數(shù)y＝kx在定義域R上是減函數(shù)． ②反比例函數(shù)：y＝(k≠0) 當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)y＝的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)，(0，＋∞)，不存在單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)k＜0時(shí)，函數(shù)y＝的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0)，(0，＋∞)，不存在單調(diào)遞減區(qū)間． ③一次函數(shù)：y＝kx＋b(k≠0) 當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)y＝kx＋b在定義域R上是增函數(shù)；當(dāng)k＜0時(shí)，函數(shù)y＝kx＋b在定義域R上是減函數(shù)． ④二次函數(shù)：y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－]，單調(diào)遞增區(qū)間是[－，＋∞)； 當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的單調(diào)遞減區(qū)間是[－，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－]． 點(diǎn)評(píng)：以上基本初等函數(shù)的單調(diào)性作為結(jié)論記住，可以提高解題速度． 2．已知函數(shù)y＝kx＋2在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 答案：k∈(0，＋∞)． 3．二次函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋m在(－∞，2)上是減函數(shù)，在(2，＋∞)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值． 答案：a＝2. 4．已知f(x)是定義在(0，＋∞)上的減函數(shù)，若f(a＋1)＜f(－4a＋1)成立，則a的取值范圍是__________． 解析：∵f(x)的定義域是(0，＋∞)，∴ 解得－1＜a＜. ∵f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴a＋1＞－4a＋1.∴a＞0. ∴0＜a＜，即a的取值范圍是(0，)． 答案：(0，) 點(diǎn)評(píng)：本題實(shí)質(zhì)是解不等式，但是這是一個(gè)不具體的不等式，是抽象不等式．解與函數(shù)有關(guān)的抽象不等式時(shí)，常用的技巧是利用函數(shù)的單調(diào)性“剝掉外衣”，轉(zhuǎn)化為整式不等式． 問(wèn)題：1.畫出函數(shù)y＝的圖象，結(jié)合圖象探討下列說(shuō)法是否正確？ (1)函數(shù)y＝是減函數(shù)；(2)函數(shù)y＝的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 2．對(duì)函數(shù)y＝，取x1＝－1＜x2＝2，則f(x1)＝－1＜f(x2)＝，滿足當(dāng)x1＜x2時(shí)f(x1)＜f(x2)，說(shuō)函數(shù)y＝在定義域上是增函數(shù)對(duì)嗎？為什么？ 3．通過(guò)上面兩道題，你對(duì)函數(shù)的單調(diào)性定義有什么新的理解？ 解答：1.(1)是錯(cuò)誤的，從左向右看，函數(shù)y＝的圖象不是下降的． (2)是錯(cuò)誤的，函數(shù)y＝的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)，(0，＋∞)．在定義域(－∞，0)∪(0，＋∞)上函數(shù)y＝的圖象，從左向右看不是下降的，因此這是錯(cuò)誤的． 2．不對(duì)．這個(gè)過(guò)程看似是定義法，實(shí)質(zhì)上不是．定義中x1、x2是在某區(qū)間內(nèi)任意取的兩個(gè)值，不能用特殊值來(lái)代替． 3．函數(shù)單調(diào)性定義中的x1、x2必須是任意的，應(yīng)用單調(diào)性定義解決問(wèn)題時(shí)，要注意保持其任意性． 點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)在其定義域的子集上的性質(zhì)，是函數(shù)的“局部性質(zhì)”；函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)和(b，c)上均是增(減)函數(shù)，那么在區(qū)間(a，b)∪(b，c)上的單調(diào)性不能確定． 本節(jié)學(xué)習(xí)了：①函數(shù)的單調(diào)性；②判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：定義法和圖象法． 課本本節(jié)練習(xí)B　1、2. “函數(shù)單調(diào)性”是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念，以往的教學(xué)方法一般是由教師講解為主，在單調(diào)性的定義教學(xué)中，往往缺少?gòu)亩ㄐ缘拿枋龅蕉勘硎镜乃季S過(guò)程，即缺少“意義建構(gòu)”．本設(shè)計(jì)致力于展示概念是如何生成的．在概念的發(fā)生、發(fā)展中，通過(guò)層層設(shè)問(wèn)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，突出培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，體現(xiàn)了教師是用教材教，而不是教教材． 本節(jié)課采用教師啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法，通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)探究，師生交流，最終形成概念，獲得方法．本節(jié)課使用了多媒體投影和計(jì)算機(jī)來(lái)輔助教學(xué)，為學(xué)生提供直觀感性的材料，有助于學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解和認(rèn)識(shí)．考慮到部分學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的特點(diǎn)，對(duì)判斷方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)难诱?，加深?duì)定義的理解，同時(shí)也為用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆． 判斷下列說(shuō)法是否正確： ①已知f(x)＝，因?yàn)閒(－1)＜f(2)，所以函數(shù)f(x)是增函數(shù)． ②若函數(shù)f(x)滿足f(2)＜f(3)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,3]上為增函數(shù)． ③若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2]和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù)． ④因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上都是減函數(shù)，所以f(x)＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是減函數(shù)． 活動(dòng)：教師強(qiáng)調(diào)以下三點(diǎn)后，讓學(xué)生判斷． ①單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性． ②有的函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)(如一次函數(shù))，有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)(如二次函數(shù))，有的函數(shù)根本沒(méi)有單調(diào)區(qū)間(如常函數(shù))． ③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A、B上都是增(或減)函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在A∪B上是增(或減)函數(shù)． 答案：這四個(gè)判斷都是錯(cuò)誤的． 思考：如何說(shuō)明一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)？ 解答：證明一個(gè)命題成立時(shí)，需要有嚴(yán)格的邏輯推理過(guò)程，而否定一個(gè)命題只需舉一個(gè)反例即可．也就是說(shuō)，只要找到兩個(gè)特殊的自變量不符合定義就行．