蘇教版高三數(shù)學復習課件幾何概型.ppt

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了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率/了解幾何概型的意義了解兩個互 斥事件的概率加法公式及對立事件的概率公式并能簡單應用．,第5課時 幾何概型、互斥事件,1．高考中對幾何概型、互斥事件的考查，一般多以填空題的形式出現(xiàn)，有時與 統(tǒng)計、幾何的知識結(jié)合起來，要求考生要有較扎實、全面的基礎知識． 2．對幾何概型的有關(guān)內(nèi)容在教材中是個難點，是高考試題中的新題型，在復習 中要適當增加針對性．,【命題預測】,3．有關(guān)互斥事件概率、等可能事件的題型有時也會以解答題的形式出現(xiàn)，在復 習中應注意加強互斥事件的定義以及應用加法公式的題目．對古典概型的有 關(guān)內(nèi)容在教材中是個難點，是高考試題中的新題型，在復習中要適當增加對 這部分知識的練習． 4．有關(guān)概率的題目多為應用題型，這些應用題的背景與實際生活密切相關(guān)，在 復習中要注意培養(yǎng)學數(shù)學用數(shù)學的意識和實踐能力．,1．從概率的幾何定義可知，在幾何概型中，“等可能”一詞應理解為對應于 每個試驗結(jié)果的點落入某區(qū)域內(nèi)的可能性大小與該區(qū)域的度量成正比，而與該區(qū)域的位置與形狀無關(guān)．對于一個具體問題能否應用幾何概型的概率計算公式，關(guān)鍵在于能否將問題幾何化．也可根據(jù)實際問題的具體情況，選擇適當?shù)膮?shù)，建立適當?shù)淖鴺讼?，在此基礎上，將試驗的每一個結(jié)果一一對應于該坐標系中的一點，使得全體結(jié)果構(gòu)成一個可度量的區(qū)域．,【應試對策】,2．幾何概型與古典概型的兩個特征要注意對比，以便準確地將實際問題轉(zhuǎn)化為相應的概率類型．即古典概型適用于計算所有試驗結(jié)果是有限個且結(jié)果是等可能出現(xiàn)的情況，而幾何概型則適用于試驗結(jié)果是無窮多的情形，但它們的解題思路是相同的，同屬于“比例解法”．在解答幾何概型時，要把基本事件和隨機事件與某一特定的幾何區(qū)域及其子區(qū)域?qū)饋?，其中基本事件中的每一個基本事件與這個特定的幾何區(qū)域中的點一一對應．幾何概型是區(qū)別于古典概型的又一概率模型，使用幾何概型的概率計算公式時，,一定要注意其適用條件：每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的度量成比例；試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個；每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．當子區(qū)域r和幾何區(qū)域R是一維區(qū)域時，它們的大小用它們的長度來表示；當子區(qū)域r和幾何區(qū)域R是二維區(qū)域時，它們的大小用它們的面積來表示．為定義統(tǒng)一，若幾何區(qū)域的大小我們稱為這個區(qū)域的“度量”，則P(A)＝子區(qū)域r的度量/區(qū)域R的度量．,3．了解互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，會用互斥事件的概率加法公式計算一些事件的概率，在解題過程中要注意運用符號語言、概率語言將題目轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．求復雜的互斥事件的概率，一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是間接求解法．先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P( )求出此事件的概率．特別是解決“至多”、“至少”型的題目，用方法二就顯得比較方便．,互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系 (1)互斥事件與對立事件都是兩個事件的關(guān)系，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩 個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有 一個發(fā)生．因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件． (2)從集合的角度去認識互斥事件和對立事件：①如果A、B是兩個互斥事件，反 映在集合上，是表示A、B這兩個事件所含結(jié)果組成的集合的交集為空集． ②如果A與B是兩個對立事件，則A∩B＝?，A∪B＝I(全集)．即 (A的對立事件) ＝?IA.,【知識拓展】,1．幾何概型的定義 對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的 地取一 點，該區(qū)域中每一點被取到的機會 ；而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到 上述區(qū)域內(nèi)的某個 ．這里的區(qū)域可以是 、 、 等．用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型．,區(qū)域內(nèi)隨機,均等,非空子集內(nèi),長度,面積,體積,2．概率計算公式 在幾何區(qū)域D中隨機地取一點，記事件“該點落在其內(nèi)部的一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率P(A)＝ . 3．求試驗中幾何概型的概率，關(guān)鍵是求得事件所占區(qū)域和整個區(qū)域Ω的幾何度量，然后代入公式即可求解． 思考：古典概型與幾何概型的區(qū)別． 提示：古典概型與幾何概型中基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限個，幾何概型要求基本事件有無限多個．,4．互斥事件 (1)不可能同時發(fā)生的兩個事件稱為 事件． (2)如果事件A1，A2，…，An中的任何兩個都是互斥事件，就說事件A1，A2，…，An 互斥． (3)設A，B為互斥事件，若事件A、B至少有一個發(fā)生，我們把這個事件記作 .,彼此,A＋B,互斥,5．互斥事件的概率加法公式 (1)如果事件A，B互斥，那么事件A＋B發(fā)生的概率，等于事件A，B分別發(fā)生 的概率的 ，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． (2)如果事件A1，A2，…，An兩兩互斥， 則P(A1＋A2＋…＋An)＝ ．,和,P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An),(1)兩個互斥事件 ，則稱這兩個事件為對立事件，事件A的對立事件記為 . (2)P(A)＋P( )＝ ，P( )＝1－ ． 思考：對立事件一定是互斥事件嗎？反之是否成立？ 提示：對立事件一定是互斥事件，但互斥事件并不一定是對立事件．,必有一個發(fā)生,1,P(A),6．對立事件,1．(2010栟茶中學學情分析)從集合{(x，y)|x2＋y2≤4，x∈R，y∈R}內(nèi)任選一個 元素(x，y)，則x，y滿足x＋y≥2的概率為________． 答案：,2．(2009蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)查) 已知如圖所示的矩形，長為12，寬為5，在矩形內(nèi)隨機地投擲1 000顆黃豆， 數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為600顆，則可以估計出陰影部分的面積約 為 . 解析：設所求的面積為S，由題意得： = ，∴S=36. 答案：36,3．某人隨機地在如右圖所示正三角形及其外接圓區(qū)域內(nèi)部投針(不包括三角形邊 界及圓的邊界)，則針扎到陰影區(qū)域(不包括邊界)的概率為________． 解析：設正三角形邊長為a，則外接圓半徑r＝ a ＝ . ∴概率P＝ ＝ . 答案：,4．(江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x－3(－5≤x≤5)，則 任取x，使得f(x)≤0的概率為________． 解析：由x2－2x－3≤0，得－1≤x≤3.又因為－5≤x≤5，所以由幾何概型 的概率，得P＝ ＝ .所以f(x)≤0的概率為 . 答案：,5．根據(jù)多年氣象統(tǒng)計，某地6月1日下雨的概率是0.45，陰天的概率為0.20，則 該日睛天的概率是________． 解析：所求概率P＝1－0.45－0.20＝0.35. 答案：0.35,1．如果試驗的結(jié)果構(gòu)成的幾何區(qū)域D的測度可用長度表示，則其概率的計算公 式為P(A)＝ . 2．將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每 一點被取到的機會都一樣，而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū) 域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解．,【例1】 有一段長為10米的木棍，現(xiàn)要截成兩段，每段不小于3米的概率有多大？ 思路點撥：從每一個位置剪斷都是一個基本事件，基本事件有無限多個．但 在每一處截斷的可能性相等，故是幾何概型． 解：記“截得兩段都不小于3米”為事件A，從木棍的兩端各度量出3米，這 樣中間就有10－3－3＝4(米)．在中間的4米長的木棍處截都能滿足條件，所 以P(A)＝ ＝ ＝0.4.,變式1：將本例中該木棍截成四段，且每段不少于2.5米的概率有多大？ 解：將長為10米的木棍四等分，記等分點依次為B、C、D，BC、CD的 中點分別為E、F，只要在BE段和FD段剪就滿足條件．∴P＝ ＝0.25.,1．如果試驗的結(jié)果構(gòu)成的幾何區(qū)域D的測度可用面積表示，則其概率的計算公 式為： P(A)＝ 2．“面積比”是求幾何概型的一種重要類型，也是在高考中常考的題型．,【例2】 甲、乙、丙三人做游戲，游戲規(guī)則如下：在不遠處有一小方塊，要將一枚銅板扔到這張方塊上，已知銅板的直徑是方塊邊長的 ，誰能將銅板整個扔到這張方塊上就可以進行下一輪游戲，甲一扔，銅板落到小方塊上，且沒有掉下來，問他能進入下一輪游戲的概率有多大？ 思路點撥：這是一道幾何概型問題．在幾何概型中，樣本空間是問題所涉及的整個幾何圖形．在本題中，樣本空間是小方塊的上表面面積．一個事件就是整個幾何圖形的一部分，這個事件發(fā)生的概率就是這兩部分的面積比．,解：不妨設小方塊的邊長為1，銅板落到小方塊上，也就是銅板的中心落到方塊上，而要求整個銅板落到小方塊上，也就是銅板中心落到方塊上表面內(nèi)的 的小正方形內(nèi)．整個方塊的面積為11＝1，而中央小正方形的面積為 ＝ .所以甲進入下一輪游戲的概率為P＝ ＝ .,變式2：(江蘇省高考名校聯(lián)考信息優(yōu)化卷)已知|x|≤2，|y|≤2，點P的坐標為(x，y)．當x，y∈R時，點P滿足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率為________． 解析：如圖，點P所在的區(qū)域為正方形ABCD的內(nèi)部(含邊界)， 滿足(x－2)2＋(y－2)2≤4的點的區(qū)域為以(2,2)為圓心， 2為半徑的圓的內(nèi)部(含邊界)． 所求的概率P1＝ ＝ . 答案：,如果試驗的結(jié)果所構(gòu)成的幾何區(qū)域D的測度可用體積表示，則其概率的計算公式 為P(A)＝ .,【例3】在1升高產(chǎn)小麥種子中混入一粒帶麥銹病的種子，從中隨機取出10毫升，含有麥銹病種子的概率是多少？從中隨機取出30毫升，含有麥銹病種子的概率是多少？ 思路點撥：由于帶麥銹病的種子所在位置是隨機的，所以取這粒種子的概率只與所取的種子的體積有關(guān)，這符合幾何概型條件．,解：1升＝1 000毫升，記事件A：“取出10毫升種子含有這粒帶麥銹病的種子”． 則P(A)＝ ＝0.01，即取出10毫升種子含有這粒帶麥銹病的種子的概率為0.01. 記事件B：“取30毫升種子含有帶麥銹病的種子”． 則P(B)＝ ＝0.03，即取出30毫升種子含有帶麥銹病的種子的概率為 0.03.,變式3：已知半徑為 的球內(nèi)有一內(nèi)接正方體．若在球內(nèi)任取一點，則這一點在正方體內(nèi)的概率是多少？ 解：球的直徑就是正方體的體對角線長，為 ，設正方體的棱長為x，則3x2＝(4 )2，∴x＝4. 正方體的體積V1＝43＝64，球的體積為V＝ πR3＝ π(2 )3＝32 π. 記事件A：“這一點在正方體內(nèi)”，利用幾何概型求概率P(A)＝ ＝ . 即在球內(nèi)任取一點在正方體內(nèi)的概率為 .,求復雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的求和公式計算．二是間接求法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P( )， 即運用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”，“至少”型題目，用間接求法就顯得較簡便．,【例4】 國家射擊隊的隊員為在2009年世界射擊錦標賽上取得優(yōu)異成績，正在加緊備戰(zhàn)，經(jīng)過近期訓練，某隊員射擊一次，命中7～10環(huán)的概率如下表所示： 求該射擊隊員射擊一次： (1)射中9環(huán)或10環(huán)的概率；(2)至少命中8環(huán)的概率；(3)命中不足8環(huán)的概率．,思路點撥：該射擊隊員在一次射擊中，命中幾環(huán)不可能同時發(fā)生，故是彼此互斥事件，利用互斥事件求概率的公式求其概率．另外，當直接求解不容易時，可先求其對立事件的概率． 解：設事件“射擊一次，命中k環(huán)”為Ak(k∈N，k≤10)，則事件Ak彼此互斥． (1)記“射擊一次，射中9環(huán)或10環(huán)”為事件A，那么當A9，A10之一發(fā)生時，事件 A發(fā)生，由互斥事件的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.32＋0.28＝0.60.,(2)設“射擊一次，至少命中8環(huán)”的事件為B，那么當A8，A9，A10之一發(fā)生時，事件B發(fā)生．由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78. (3)由于事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”是事件B：“射擊一次，至少命中8環(huán)”的對立事件：即 表示事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”，根據(jù)對立事件的概率公式得P( )＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.,變式4：(2010東北師大附中高三測試)某射手在一次射擊中命中9環(huán)的概率是0.28，命中8環(huán)的概率是0.19，不夠8環(huán)的概率是0.29.計算這個射手在一次射擊中命中9環(huán)或10環(huán)的概率．,解：設這個射手在一次射擊中命中10環(huán)或9環(huán)為事件A，命中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)以及不夠8環(huán)的事件分別記為A1，A2，A3，A4.∵A2，A3，A4彼此互斥， ∴P(A2＋A3＋A4)＝P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝0.28＋0.19＋0.29＝0.76. 又∵A1＝ ，∴P(A1)＝1－P(A2＋A3＋A4)＝1－0.76＝0.24. ∵A1與A2互斥，∴P(A)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝0.24＋0.28＝0.52. 故這個射手在一次射擊中命中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.52.,1．幾何概型與古典概型，二者的共同點是基本事件是等可能的，不同點是基本 事件數(shù)一個是有限的，一個是無限的．基本事件可以抽象為點，對于幾何概 型，這些點盡管是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域是有限的，根據(jù)等可能性，這個點落在區(qū)域內(nèi)的概率與該區(qū)域的測度成正比，而與該區(qū)域的位置和形狀無關(guān)，因此我們采用幾何的辦法求它的概率，因此這種概型叫做幾何概型． 2．求幾何概型的概率，最關(guān)鍵的一步是求事件A所包含的基本事件所占據(jù)的區(qū)域的測度，這里需要解析幾何的知識，而最困難的地方是找出基本事件的約束條件，找出約束條件后，就像線性規(guī)劃求可行域一樣求其測度就不困難了．,【規(guī)律方法總結(jié) 】,3．對互斥事件的理解，可以從集合的角度去加以認識 如果A、B是兩個互斥事件，反映在集合上，是表示A、B這兩個事件所含結(jié)果組成的集合的交集為空集．,4．要注意互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系 互斥事件與對立事件都是兩個事件的關(guān)系，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者必須有一個發(fā)生．因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件． 5．應用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先確定各個事件是否彼此互 斥，然后求出各事件分別發(fā)生的概率，再求和．求復雜事件的概率通常有兩種 方法：一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和；二是先求其對立事件的概 率，然后再應用公式求解.,【例5】 (2009福建卷)點A為周長等于3的圓周上的一個定點．若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧 的長度小于1的概率為________． 分析：畫出圖形，找到隨機事件“劣弧的長度 小于1”所對應的圓上的弧長，根據(jù)幾何概型的概率計算公式進行計算． 規(guī)范解答：如圖所示，可設 ＝1， ＝1，根據(jù)題意只要點B在 優(yōu)弧 上，劣弧 的長度就小于1，由于點B在圓周上的任意性，故這個概率是優(yōu)弧 的長度與圓的周長之比，即這個概率是 . 故填 . 答案：,【高考真題 】,本題把直線上的幾何概型的計算方法應用于圓上，設計了一道考查考生對幾何概型和分類整合思想的掌握程度的試題，試題不落俗套，值得賞析． 幾何概型適用于有無限多結(jié)果而又有某種等可能的試驗．其中事件A的概率定義為P(A)＝,【命題探究】,【知識鏈接】,【全解密】,幾何概型運用的幾個方面：直線上的幾何概型的概率表現(xiàn)為線的長度之比；平面上的是區(qū)域面積之比；空間中的就是體積之比等．解答幾何概型試題，要善于根據(jù)這些特點尋找基本事件所在的線、面、體，以及隨機事件所在的線、面、體，把幾何概型轉(zhuǎn)化為相應的長度、面積和體積的比值． 本題容易只看到點B在點A的一側(cè)，而將這個概率值求為 ，也有可能把圓的周長是3當成了半徑是3而出錯,【方法探究】,【誤點警示】,1．向面積為S的△ABC內(nèi)任投一點P，求△PBC的面積小于 的概率． 分析：由于是向△ABC內(nèi)任投一點P，故總的基本事件空間對應于點P的個數(shù)，可用△ABC的面積來度量，然后分析滿足條件的事件A即三角形△ABC中的點P分布的區(qū)域．,解：如右圖，據(jù)題意知，若△PBC的面積小于 ，則點P可分布在如圖所示的過三角形的高的中點且與底邊BC平行的梯形BCFE內(nèi)，故滿足條件的概率 P(A)＝ ＝ .,2．(1)從含有兩件正品a1、a2和一件次品b1的3件產(chǎn)品中每次任取1件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率． (2)在(1)題中，把“每次取出后不放回”這一條件換成“每次取出后放回”，其余不變，求取出的兩件中恰好有一件次品的概率．,解：(1)每次取一個，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果為(a1，a2)， (a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，其中小括號內(nèi)左邊的字母表示 第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品．由6個基本事件組成，而 且可以認為這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“取出的兩件中，恰好有 一件次品”這一事件，則A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}， 事件A由4個基本事件組成．因而P(A)＝ ＝ .,(2)有放回地連續(xù)取出兩件，其一切可能的結(jié)果為(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)， (a2，a1)(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)由9個基本事件組成．由 于每一件產(chǎn)品被取出的機會均等，因此可以認為這些基本事件的出現(xiàn)是等可 能的．用B表示“恰有一件次品”這一事件， 則B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．事件B由4個基本事件組成，因而 P(B)＝ .,