北京交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)B(Ⅱ)期末考試試卷(B卷及其答案.doc

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北 方 交 通 大 學(xué) 1999-2000學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)B（Ⅱ）期末考試試卷（B卷）答案 一．填空題（本題滿分15分，每道小題3分），請(qǐng)將合適的答案填在空中． 1．函數(shù) 的定義域?yàn)?________________________． 2．設(shè)二元函數(shù)由方程所確定，則 _____________． 3．交換累次積分的順序_____________． 4．若，，則級(jí)數(shù)在 __________ 時(shí)發(fā)散． 5．設(shè)方程有特解，則它的通解為_(kāi)_______________． 答案： ⒈ ，； ⒉ ； ⒊ ； ⒋ ； ⒌ ． 二．選擇填空題（本題滿分15分，共有5道小題，每道小題3分）。以下每道題有四個(gè)答案，其中只有一個(gè)答案是正確的，請(qǐng)選出合適的答案填在空中，多選無(wú)效． 1．曲線： 在點(diǎn)處的切線一定平行于_____ ． （A）． 平面； （B）． 平面； （C）． 平面； （D）．平面． 2．已知： 是一連接、兩點(diǎn)的有向光滑曲線段，其中始點(diǎn)為，終點(diǎn)為，則 _________ ． （A）．； （B）．； （C）．； （D）．． 3．設(shè)，則 ______________ ． （A）． ； （B）． ； （C）．； （D）． ． 4．函數(shù)在處的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式為_(kāi)__________ ． （A）． ； （B）． ； （C）． ； （D）． ． 5．設(shè)與是方程的_________，則（與為任意常數(shù)）是該方程的通解． （A）．兩個(gè)不同的解 ； （B）．任意兩個(gè)解； （C）．兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解 ； （D）．兩個(gè)線性相關(guān)的解． 答案： ⒈ （D）； ⒉ （D）； ⒊ （B）； ⒋ （C）； ⒌ （C）． 三．（本題滿分7分） 設(shè)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求． 解： ……3 所以， ……7 四．（本題滿分7分） 計(jì)算 ，其中是由圓周及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域． 解： 作極坐標(biāo)變換 則有 ……2 ……5 ……7 五．（本題滿分8分） 證明：曲面（為常數(shù)）上任意點(diǎn)處的切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所形成的四面體的體積為常數(shù) ． 解： 令 ……2 則 ， ， 設(shè)為曲面上的任意一點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切平面方程為 ……4 化為截距式，有 所以，所求四面體的體積為 ……8 即所求體積為常數(shù) ． 六．（本題滿分8分） 求微分方程 的通解． 解： 原方程化為， 這是一個(gè)齊次方程，令，則，代入原方程，得 ……3 分離變量，得 積分，得， 即 ……6 代回原變量，得 ， 因此所求通解為 ……8 七．（本題滿分8分） 求函數(shù) 的全微分，并研究在點(diǎn)處該函數(shù)的全微分是否存在？ 解： 當(dāng)時(shí)， ……3 ……3 在原點(diǎn)處， ， 則有 ， 令，則有 所以，函數(shù)在點(diǎn)處不可微． ……8 八．（本題滿分8分） 求三重積分 其中是由曲線 繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面與平面所圍成的立體． 解： 作柱坐標(biāo)變換， ……1 則有 ……4 ……8 九．（本題滿分8分） 求冪級(jí)數(shù)的收斂域（端點(diǎn)情形要討論）． 解： 設(shè)， 則 ， 所以，收斂半徑為， ……4 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為 而 所以， 因此，級(jí)數(shù)發(fā)散． ……6 同理，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)也發(fā)散． ……7 所以冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為 ． ……8 十．（本題滿分8分） 設(shè)，試確定函數(shù)，使得曲線積分 在或在的域內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，并求由點(diǎn)到的上述積分 ． 解： 因?yàn)椋? 由于曲線積分在或在的域內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，因此 所以得微分方程 解此方程，得通解 ……4 代入，得 所以，所求函數(shù)為 ……5 又 ……8 十一．（本題滿分8分） 利用Gauss（高斯）公式計(jì)算曲面積分 ， 其中為球面的外側(cè)． 解： ，， 所以， 所以，由Gauss公式，得 其中為空間區(qū)域 ……4 而的重心為，又設(shè)的體積為，則 ，， 因此， ． ……8 1999-2000學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試（B）卷答案-7