北京交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)B(Ⅱ)期末考試試卷(B卷及其答案.doc
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北 方 交 通 大 學(xué) 1999-2000學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)B(Ⅱ)期末考試試卷(B卷)答案 一.填空題(本題滿(mǎn)分15分,每道小題3分),請(qǐng)將合適的答案填在空中. 1.函數(shù) 的定義域?yàn)?________________________. 2.設(shè)二元函數(shù)由方程所確定,則 _____________. 3.交換累次積分的順序_____________. 4.若,,則級(jí)數(shù)在 __________ 時(shí)發(fā)散. 5.設(shè)方程有特解,則它的通解為_(kāi)_______________. 答案: ⒈ ,; ⒉ ; ⒊ ; ⒋ ; ⒌ . 二.選擇填空題(本題滿(mǎn)分15分,共有5道小題,每道小題3分)。以下每道題有四個(gè)答案,其中只有一個(gè)答案是正確的,請(qǐng)選出合適的答案填在空中,多選無(wú)效. 1.曲線(xiàn): 在點(diǎn)處的切線(xiàn)一定平行于_____ . (A). 平面; (B). 平面; (C). 平面; (D).平面. 2.已知: 是一連接、兩點(diǎn)的有向光滑曲線(xiàn)段,其中始點(diǎn)為,終點(diǎn)為,則 _________ . (A).; (B).; (C).; (D).. 3.設(shè),則 ______________ . (A). ; (B). ; (C).; (D). . 4.函數(shù)在處的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式為_(kāi)__________ . (A). ; (B). ; (C). ; (D). . 5.設(shè)與是方程的_________,則(與為任意常數(shù))是該方程的通解. (A).兩個(gè)不同的解 ; (B).任意兩個(gè)解; (C).兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解 ; (D).兩個(gè)線(xiàn)性相關(guān)的解. 答案: ⒈ (D); ⒉ (D); ⒊ (B); ⒋ (C); ⒌ (C). 三.(本題滿(mǎn)分7分) 設(shè),其中函數(shù)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),求. 解: ……3 所以, ……7 四.(本題滿(mǎn)分7分) 計(jì)算 ,其中是由圓周及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域. 解: 作極坐標(biāo)變換 則有 ……2 ……5 ……7 五.(本題滿(mǎn)分8分) 證明:曲面(為常數(shù))上任意點(diǎn)處的切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所形成的四面體的體積為常數(shù) . 解: 令 ……2 則 , , 設(shè)為曲面上的任意一點(diǎn),則在該點(diǎn)處的切平面方程為 ……4 化為截距式,有 所以,所求四面體的體積為 ……8 即所求體積為常數(shù) . 六.(本題滿(mǎn)分8分) 求微分方程 的通解. 解: 原方程化為, 這是一個(gè)齊次方程,令,則,代入原方程,得 ……3 分離變量,得 積分,得, 即 ……6 代回原變量,得 , 因此所求通解為 ……8 七.(本題滿(mǎn)分8分) 求函數(shù) 的全微分,并研究在點(diǎn)處該函數(shù)的全微分是否存在? 解: 當(dāng)時(shí), ……3 ……3 在原點(diǎn)處, , 則有 , 令,則有 所以,函數(shù)在點(diǎn)處不可微. ……8 八.(本題滿(mǎn)分8分) 求三重積分 其中是由曲線(xiàn) 繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面與平面所圍成的立體. 解: 作柱坐標(biāo)變換, ……1 則有 ……4 ……8 九.(本題滿(mǎn)分8分) 求冪級(jí)數(shù)的收斂域(端點(diǎn)情形要討論). 解: 設(shè), 則 , 所以,收斂半徑為, ……4 當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)為 而 所以, 因此,級(jí)數(shù)發(fā)散. ……6 同理,當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)也發(fā)散. ……7 所以?xún)缂?jí)數(shù)的收斂區(qū)間為 . ……8 十.(本題滿(mǎn)分8分) 設(shè),試確定函數(shù),使得曲線(xiàn)積分 在或在的域內(nèi)與路徑無(wú)關(guān),并求由點(diǎn)到的上述積分 . 解: 因?yàn)椋? 由于曲線(xiàn)積分在或在的域內(nèi)與路徑無(wú)關(guān),因此 所以得微分方程 解此方程,得通解 ……4 代入,得 所以,所求函數(shù)為 ……5 又 ……8 十一.(本題滿(mǎn)分8分) 利用Gauss(高斯)公式計(jì)算曲面積分 , 其中為球面的外側(cè). 解: ,, 所以, 所以,由Gauss公式,得 其中為空間區(qū)域 ……4 而的重心為,又設(shè)的體積為,則 ,, 因此, . ……8 1999-2000學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試(B)卷答案-7- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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