四川省八年級數(shù)學下冊 第一章 三角形的證明 等腰與直角三角形課件（新版）北師大版.ppt

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等腰、直角三角形,基礎知識 自主學習,1．等腰三角形： (1)性質： 相等， 相等，底邊上的高線、中線、 頂角的角平分線“三線合一”； (2)判定：有兩邊相等、兩角相等或兩線合一的三角形是等腰 三角形． 2．等邊三角形： (1)性質： 相等，三內角都等于 ； (2)判定：三邊相等、三內角相等或有一個角是60的等腰三 角形是等邊三角形．,要點梳理,兩腰,兩底角,三邊,60,3．直角三角形：在△ABC中，∠C＝90. (1)性質：邊與邊的關系：(勾股定理)a2＋b2＝ ； (2)角與角的關系：∠A＋∠B＝ ； (3)邊與角的關系： 若∠A＝30，則a＝c，b＝c； 若a＝c，則∠A＝30； 若∠A＝45，則a＝b＝c； 若a＝c，則∠A＝45； 斜邊上的中線m＝c＝R.其中R為三角形外接圓的半徑． (4)判定：有一個角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形 的三邊長a、b、c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三 角形；如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么 這個三角形是直角三角形．,c2,90,[難點正本 疑點清源] 1．等腰三角形的特殊性 “等邊對等角”是今后我們證明角相等的又一個重要依據(jù)．“等 角對等邊”可以判定一個三角形是等腰三角形，同時也是今后證明 兩條線段相等的重要依據(jù)． 等邊三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等邊三角 形，等邊三角形擁有等腰三角形的所有性質，但不分頂角、底角、 腰、底邊．因為等邊三角形任何一個角都為60，任何一條邊都 可看做腰或底邊． 解答等腰三角形的有關問題時，常作輔助線，構造出“三線合 一”的基本圖形．在添加輔助線時，要根據(jù)具體情況而定，表達輔 助線的語句，不能限制條件過多，如一邊上的高并且要平分這條 邊；作一邊上的中線并且垂直平分這條邊；作一個角的平分線并 且垂直對邊等等，這些都是不正確的．,基礎自測,1．(2011濟寧)如果一個等腰三角形的兩邊長分別是5 cm和6 cm，那么此三角形的周長是( ) A．15 cm B．16 cm C．17 cm D．16 cm或17 cm 答案 D 解析 這個三角形的周長是5＋5＋6＝16或6＋6＋5＝17.,2．(2011銅仁)下列關于等腰三角形的性質敘述錯誤的是( ) A．等腰三角形兩底角相等 B．等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互 相重合 C．等腰三角形是中心對稱圖形 D．等腰三角形是軸對稱圖形 答案 C 解析 等腰三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．,3．(2011蕪湖)如圖，已知△ABC中，∠ABC＝45， F是高AD和BE的交點，CD＝4，則線段DF的長度為( ) A．2 B．4 C．3 D．4 答案 B 解析 在Rt△ABD中，∠ABD＝45，可得AD＝BD，易證△BDF≌△ADC，所以DF＝CD＝4.,5．(2011雞西)如圖，在Rt△ABC中，AB＝CB，BO⊥AC，把△ABC折疊，使AB落在AC上，點B與AC上的點E重合，展開后，折痕AD交BO于點F，連結DE、EF.下列結論： ①tan∠ADB＝2； ②圖中有4對全等三角形； ③若將△DEF沿EF折疊， 則點D不一定落在AC上； ④BD＝BF； ⑤S四邊形DFOE＝S△AOF， 上述結論中正確的個數(shù)是( ) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個,答案 C,題型分類 深度剖析,【例 1】 (1)方程x2－9x＋18＝0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個三角形的周長為( ) A．12 B．12或15 C．15 D．不能確定 答案 C 解析 解方程x2－9x＋18＝0，得x1＝3，x2＝6，周長為3＋6＋6＝15，應選C. (2)如果等腰三角形的一個內角是80，那么頂角是________度． 答案 80或20 解析 頂角是80，或當?shù)捉鞘?0時，頂角是180－280＝20. 探究提高 在等腰三角形中，如果沒有明確底邊和腰，某一邊可以是底， 也可以是腰．同樣，某一角可以是底角也可以是頂角，必須仔細分類討 論．,題型一 等腰三角形有關邊角的討論,知能遷移1 (1)(2011株洲)如圖， △ABC中，AB＝AC，∠A＝36，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接EC. ①求∠ECD的度數(shù)； ②若CE＝5，求BC長．,解 ①解法一： ∵DE垂直平分AC， ∴CE＝AE，∠ECD＝∠A＝36. 解法二： ∵DE垂直平分AC， ∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝90. 又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE，∠ECD＝∠A＝36.,②解法一： ∵AB＝AC，∠A＝36，∴∠B＝∠ACB＝72. ∵∠ECD＝∠A＝36， ∴∠BCE＝∠ACB－∠ECD＝36， ∴∠BEC＝180－36－72＝72＝∠B， ∴ BC＝EC＝5. 解法二： ∵AB＝AC，∠A＝36， ∴∠B＝∠ACB＝72， ∴∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72， ∴∠BEC＝∠B， ∴BC＝EC＝5.,(2)(2011煙臺)等腰三角形的周長為14，其一邊長為4，那么，它的底邊為___________________． 答案 4或6 解析 ①等腰三角形的底邊為4；②等腰三角形的兩腰為4時，則底邊等于14－4－4＝6.,題型二 等腰三角形的性質,【例 2】 如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90，點D是BC的中點，且AE＝BF，試判斷△DEF的形狀．,解題示范——規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！,解：連接AD，在等腰Rt△ABC中， ∵AD是中線， ∴AD⊥BC，∠DAE＝∠BAC＝45，AD＝BD. 又∵∠B＝∠C＝45， ∴∠B＝∠DAE.[2分] 在△BDF和△ADE中， ∴△BDF≌△ADE(SAS)．[4分] ∴DF＝DE，∠1＝∠2. 又∵∠3＋∠1＝90， ∴∠2＋∠3＝90，即∠EDF＝90. ∴△DEF也是等腰直角三角形．[6分],探究提高 作等腰三角形的底邊中線，構造等腰三角形“三線合一”的基本圖形，是常見的輔助線的作法之一．,知能遷移2 已知：如圖，D是等腰△ABC底邊BC上一點，它到兩腰AB、AC的距離分別為DE、DF.當D點在什么位置時，DE＝DF？并加以證明．,解 當點D在BC的中點時，DE＝DF. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90. ∵點D是BC的中點， ∴BD＝CD， ∴△BDE≌△CDF(AAS)， ∴DE＝DF.,題型三 等邊三角形,【例 3】 (1)已知：如圖，P、Q是△ABC邊BC上兩點，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的度數(shù)．,解 ∵AP＝PQ＝AQ，∴△APQ是等邊三角形． ∴∠PAQ＝60，∠APQ＝60. ∵AP＝BP，∴∠B＝∠BAP＝60＝30. 同理：∠C＝∠CAQ＝30， ∴∠BAC＝30＋60＋30＝120.,(2)(2012大興安嶺)如圖所示，已知△ABC和△DCE均是等邊 三角形，點B、C、E在同一條直線上，AE與BD交于點 O，AE與CD交于點G，AC與BD交于點F，連接OC、FG， 則下列結論： ①AE＝BD； ②AG＝BF； ③FG∥BE； ④∠BOC＝∠EOC. 其中正確結論的個數(shù)( ) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 答案 D,解析 由△BCD≌△ACE， 可得①AE＝BD成立； 由△ACG≌△BCF， 可得②AG＝BF成立； ∵△ACG≌△BCF， ∴CG＝CF， 又∠ACD＝60， ∴△FCG是等邊三角形， ∴∠CFG＝60＝∠ACB， ∴③FG∥BE成立； 過C畫CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分別是M、N， ∵△BCD≌△ACE， ∴CM＝CN， ∴點C在∠BOE的角平分線上，OC平分∠BOE， 即④∠BOC＝∠EOC成立．,探究提高 在解題的過程中要充分利用等邊三角形特有的性質，每個角都相等，每條邊都相等，這可以讓我們輕松找到證明全等所需的條件．,知能遷移3 如圖，在等邊△ABC中，點D、E分別在邊BC、AB上，且BD＝AE，AD與CE交于點F. (1)求證：AD＝CE； (2)求∠DFC的度數(shù)．,解 (1)在等邊△ABC中， AB＝AC，∠BAC＝∠CBA＝60， 又BD＝AE， ∴△ABD≌△CAE， ∴AD＝CE. (2)∵△ABD≌△CAE， ∴∠BAD＝∠ECA. ∵∠DFC是△AFC的外角， ∴∠DFC＝∠ECA＋∠DAC ＝∠BAD＋∠DAC ＝∠BAC＝60.,答題規(guī)范,考題再現(xiàn) 在△ABC中，高AD和高BE相交于H，且BH＝AC，求∠ABC的度數(shù)． 學生作答 解：如圖1， 在Rt△BHD和Rt△ACD中， ∠C＋∠CAD＝90， ∠C＋∠HBD＝90， ∴∠HBD＝∠CAD. 又∵BH＝AC，∴△BHD≌△ACD， ∴BD＝AD. ∵∠ADB＝90，∴∠ABC＝45.,9．三角形的高可能在形外,圖1,規(guī)范解答 解：這里的∠ABC有兩種情況，∠ABC是銳角(圖1)或 ∠ABC是鈍角(圖2)． 如圖2，在Rt△BHD和Rt△ACD中， 易得∠DCA＝∠DHB. 又∵AC＝BH， ∴△DHB≌△DCA， ∴AD＝DB， ∴∠DBA＝45， ∴∠ABC＝135. 綜上：∠ABC＝45或∠ABC＝135.,圖2,10．易出錯的等腰三角形問題,考題再現(xiàn) 已知△ABC是等腰三角形，由A所引BC邊上的高恰好等于BC邊長的一半，試求∠BAC的度數(shù)． 學生作答,圖3,規(guī)范解答 解：題目中并沒有指明BC是等腰△ABC的底或腰． 當BC為底時，可求得∠BAC＝90； 當BC為腰時，還應對∠B的大小進行討論：,圖4,圖5,