《數(shù)字濾波器設(shè)計》PPT課件.ppt

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第7章數(shù)字濾波器設(shè)計,7.1數(shù)字濾波器的分類7.2數(shù)字濾波器的設(shè)計原理7.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計7.4FIR數(shù)字濾波器設(shè)計7.5IIR與FIR數(shù)字濾波器的比較本章內(nèi)容參考：鄭君里等《信號與系統(tǒng)（第二版）》下冊第十章模擬與數(shù)字濾波器MATLAB:SignalProcessingToolbox,7.1數(shù)字濾波器的分類,數(shù)字濾波器是具有一定選擇特性的數(shù)字信號處理系統(tǒng)（物理裝置或軟件算法）。按照不同的分類方法，可以對數(shù)字濾波器進行多種分類。此處首先介紹一種最重要的分類方法，所得到的概念不僅是數(shù)字濾波器的最基本和最重要的概念，而且是數(shù)字濾波器設(shè)計的理論基礎(chǔ)。數(shù)字濾波器是離散時間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)（或稱為傳遞函數(shù)）一般可以表示為有理函數(shù)的形式：,此處不失一般性，令a0=1，稱為歸一化。,（1）FIR數(shù)字濾波器,如果其余系數(shù)ai全為零，則此時數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：對此式作z反變換，可得相應的單位脈沖響應函數(shù)h(n)為有限長度的脈沖序列：稱此類數(shù)字濾波器為有限脈沖響應數(shù)字濾波器（FiniteImpulseResponseDigitalFilter），簡稱FIR數(shù)字濾波器。,（2）IIR數(shù)字濾波器,如果其余系數(shù)ai不全為零，此處以最簡單的情況為例，設(shè)a1=-1，且設(shè)b0=1，其余系數(shù)ai和bi全為零，則此時數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：對此式作z反變換，可得相應的單位脈沖響應函數(shù)h(n)為無限長度的脈沖序列：稱此類數(shù)字濾波器為無限脈沖響應數(shù)字濾波器（InfiniteImpulseResponseDigitalFilter），簡稱IIR數(shù)字濾波器。,例1：已知某數(shù)字濾波器的差分方程為,即該離散時間系統(tǒng)的輸出序列y(n)是當前時刻的輸入序列x(n)與前一時刻的輸入序列x(n-1)的兩點加權(quán)平均值（也稱為輸入序列的兩點移動加權(quán)平均值），其中b0和b1為加權(quán)平均系數(shù)。試求該系統(tǒng)的單位脈沖響應序列h(n)。解：對差分方程的兩邊?。▎芜叄﹝變換，得,進而得數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)為,對上式取z反變換，可得該數(shù)字濾波器的單位脈沖響應序列h(n)為,顯然，此h(n)為有限長序列，此系統(tǒng)為FIR系統(tǒng)。,該FIR系統(tǒng)的頻率特性（頻率響應）：,b0=0.5;b1=0.5;num=[b0b1];den=1;freqz(num,den);,由圖可見：（1）該系統(tǒng)的幅頻特性具有低通濾波的特性。（2）該系統(tǒng)沒有極點，或者可以認為極點在原點處，所以系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。（3）當b0=0.5，b1=0.5時，具有線性相位。,該FIR系統(tǒng)的實現(xiàn)：非遞歸（開環(huán)，無反饋）。從該FIR系統(tǒng)的差分方程為可知，這種濾波器的輸出y(n)只與當前時刻的輸入x(n)以及過去時刻的輸入x(n-1)有關(guān)，而與過去時刻的輸出無關(guān)。所以，該FIR系統(tǒng)通常采用非遞歸的結(jié)構(gòu)形式來實現(xiàn)。,可以證明，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器具有嚴格線性相位的充要條件是其單位脈沖響應序列h(n)為偶對稱，即h(n)=h(N-1-n)，即n=(N–1)/2是h(n)的偶對稱中心。,例2：已知某數(shù)字濾波器的差分方程為,即該離散時間系統(tǒng)的輸出序列y(n)不僅與當前時刻的輸入序列x(n)有關(guān)，而且與前一時刻的輸出序列y(n-1)也有關(guān)，其中a和b為系數(shù)。試求該系統(tǒng)的單位脈沖響應序列h(n)。解：對差分方程的兩邊?。▎芜叄﹝變換，得,進而得數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)為,對上式取z反變換，可得該數(shù)字濾波器的單位脈沖響應序列h(n)為,顯然，此h(n)為無限長序列，此系統(tǒng)為IIR系統(tǒng)。,該IIR系統(tǒng)的頻率特性（頻率響應）：,b=0.5;a=0.5;num=b;den=[1-a];freqz(num,den);,由圖可見：（1）該系統(tǒng)的幅頻特性具有低通濾波的特性。（2）當a<1時，極點z=a位于單位圓以內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）穩(wěn)定的系統(tǒng)具有非線性相位。,該IIR系統(tǒng)的實現(xiàn)：遞歸（閉環(huán)，有反饋）。從該IIR系統(tǒng)的差分方程為可知，這種濾波器的輸出y(n)不僅與當前時刻的輸入x(n)有關(guān)，而且與前一時刻的輸出y(n-1)也有關(guān)。所以，該IIR系統(tǒng)通常采用遞歸的結(jié)構(gòu)形式來實現(xiàn)。,7.2數(shù)字濾波器的設(shè)計原理,數(shù)字濾波器是一種具有頻率選擇性的離散時間線性時不變系統(tǒng)，即選頻濾波器。許多信息處理過程，例如信號的過濾、檢測、預測等都要用到濾波器。數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理中使用得最廣泛的一種線性系統(tǒng)，是數(shù)字信號處理的重要基礎(chǔ)。數(shù)字濾波器的功能（本質(zhì)）是，將一組輸入的數(shù)字序列，通過一定的運算后，轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪唤M輸出的數(shù)字序列。實現(xiàn)方法主要有兩種：數(shù)字信號處理硬件和計算機軟件。數(shù)字濾波器的設(shè)計，就是確定其系統(tǒng)函數(shù)（傳遞函數(shù)）并實現(xiàn)的過程。,7.2.1數(shù)字濾波器的基本設(shè)計步驟,（1）按照實際需要確定濾波器的性能指標。（2）用一個因果穩(wěn)定的離散線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求，求出H(z)或h(n)。根據(jù)不同要求，可以用IIR系統(tǒng)函數(shù)，也可以用FIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近。（3）利用有限精度算法來實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)。這里包括選擇運算結(jié)構(gòu)（例如級聯(lián)型、并聯(lián)型等），選擇合適的字長（包括系數(shù)的量化，輸入變量、中間變量和輸出變量的量化），以及選擇有效數(shù)字的處理方法（舍入、截尾）等。（4）采用適當?shù)能浖陀布夹g(shù)來實現(xiàn)。包括可以采用通用計算機軟件或數(shù)字濾波器硬件來實現(xiàn)，或者采用二者結(jié)合的方法來實現(xiàn)。,7.2.2數(shù)字濾波器的基本設(shè)計思想,（1）確定數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z)的過程，稱為數(shù)字濾波器設(shè)計。（2）在大多數(shù)應用中，關(guān)鍵的問題是用一個可實現(xiàn)的傳遞函數(shù)去逼近給定的濾波器幅度響應指標，而濾波器的相位響應可以通過級聯(lián)全通濾波器來校正。（3）在設(shè)計數(shù)字傳遞函數(shù)H(z)之前，有兩個關(guān)鍵的問題需要考慮：①分析使用數(shù)字濾波器的整個系統(tǒng)的需求，確定合理的濾波器頻率響應指標。②確定所設(shè)計的濾波器是FIR數(shù)字濾波器，還是IIR數(shù)字濾波器。,7.2.3數(shù)字濾波器的基本性能指標,符號規(guī)則說明：在數(shù)字信號處理中，為了書寫方便起見，原來用大寫希臘字母表示的數(shù)字頻率Ω，現(xiàn)在用小寫希臘字母ω來表示。而模擬頻率卻用大寫希臘字母Ω表示。（1）理想濾波器的幅頻響應理想濾波器的單位脈沖響應是非因果、無限長序列，在物理上無法實現(xiàn)?，F(xiàn)實中，需要指定可接受的誤差容限，并且在通帶和阻帶之間指定一個過渡帶。,說明：①前面已經(jīng)證明，數(shù)字頻率ω具有周期性，且最小周期為2π。②數(shù)字濾波器與模擬濾波器相似，根據(jù)幅頻響應的特性也可以分為低通、高通、帶通、帶阻等類型。③與模擬濾波器不同之處是，數(shù)字濾波器是離散系統(tǒng)，其幅頻特性|H(ejω)|是以2π為周期的周期函數(shù)。因為實數(shù)序列的離散時間傅里葉變換為偶函數(shù)，所以數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻等幅頻特性都是指數(shù)字角頻率在ω=0~π的頻率范圍之內(nèi)而言的。在一般情況下，ω=0為最低數(shù)字角頻率，ω=π為最高數(shù)字角頻率。,（2）實際低通數(shù)字濾波器的典型幅頻響應性能指標,數(shù)字濾波器指標：,通帶：0??????p,阻帶：?s??????,?p:通帶截止頻率(passbandedgefrequency)?s:阻帶截止頻率(stopbandedgefrequency)?p:通帶波紋(peakripplevalueinthepassband)?s:阻帶波紋(peakripplevalueinthestopband),?p:峰值通帶波紋（Peakpassbandripple）,?s:最小阻帶衰減（Minimumstopbandattenuation）,損益函數(shù)（lossfunction）：,（3）歸一化的（normalizedform）低通數(shù)字濾波器的典型幅頻響應性能指標,通帶幅度的最大值設(shè)定為1。最大通帶波紋(maximumpassbanddeviation):最大阻帶波紋(maximumstopbandmagnitude):最大通帶衰減(maximumpassbandattenuation):,數(shù)字濾波器設(shè)計，需要將以Hz為單位的截止頻率，按歸一化角頻率來設(shè)計，需要做如下計算：設(shè)FT為采樣頻率（Hz），F(xiàn)p和Fs分別為通帶和阻帶的截止頻率（Hz），則歸一化截止角頻率為：,例：設(shè)FT=25kHz,Fp=7kHz,Fs=3kHz,則歸一化截止角頻率為（rad）：,7.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計,IIR數(shù)字濾波器的基本設(shè)計思想：將IIR數(shù)字濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標，設(shè)計出該模擬濾波器，然后再將其轉(zhuǎn)換成IIR數(shù)字濾波器。,7.3.1IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計原理,7.3.1.1IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟（1）按照實際需要確定濾波器的性能要求。（2）用一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)的H(z)或h(n)去逼近這個性能要求。（3）用一個有限精度的運算去實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)。,7.3.1.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法（1）先設(shè)計一個合適的模擬濾波器，然后變換成滿足預定指標的數(shù)字濾波器。（2）由于模擬濾波器的設(shè)計理論已經(jīng)發(fā)展得很成熟，模擬濾波器有簡單而嚴格的設(shè)計公式，設(shè)計起來方便、準確，可以將這些理論推廣到數(shù)字濾波器的設(shè)計，作為設(shè)計數(shù)字濾波器的工具。（3）因為數(shù)字濾波器在很多場合所要完成的任務(wù)與模擬濾波器相同，這時數(shù)字濾波也可看作是“模仿”模擬濾波器。在IIR濾波器設(shè)計中，采用這種設(shè)計方法目前最普遍。,7.3.1.2根據(jù)模擬濾波器設(shè)計IIR濾波器的原則利用模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)H(s)出發(fā)，設(shè)計數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z)，這歸根到底是一個由s平面到z平面的映射，這種映射應當遵循兩個基本原則：（1）H(z)的頻響要能模仿H(s)的頻響，即s平面的虛軸應當映射到z平面的單位圓上。（2）H(s)的因果性和穩(wěn)定性應當在映射成H(z)之后保持不變，即s平面的左半平面Re{s}＜0應當映射到z平面的單位圓以內(nèi)|z|<1。,下面介紹IIR數(shù)字濾波器設(shè)計的兩種常用的映射方法：（1）脈沖響應不變法(ImpulseInvarianceMethod)（2）雙線性變換法(BilinearTransformMethodorTustinsMethod)所對應的MATLABFunction分別為：（1）Function:impinvarDescription:Impulseinvariancemethodforanalog-to-digitalfilterconversion.（2）Function:bilinearDescription:Bilineartransformmethodforanalog-to-digitalfilterconversion.具體使用方法參見：MATLABSignalProcessingToolboxFilterDiscretization,7.3.2脈沖響應不變法,采用模擬濾波器的理論設(shè)計數(shù)字濾波器，就是使數(shù)字濾波器能夠“模仿”模擬濾波器的特性。這種“模仿”可從不同的角度出發(fā)。脈沖響應不變法就是從濾波器的單位脈沖響應出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應序列h(n)正好等于模擬濾波器的單位脈沖響應h(t)的采樣值，即h(n)=h(t)|t=nT，其中T為采樣周期。下圖為脈沖響應不變法的原理圖。以H(s)和H(z)分別表示h(t)的拉氏變換和h(n)的z變換，即H(s)=L[h(t)]，H(z)=Z[h(n)]，下面舉例說明如何從H(s)推導和計算出H(z)。,脈沖響應不變法的原理：數(shù)字濾波器的單位脈沖響應序列是模擬濾波器的單位脈沖響應函數(shù)的采樣值。(ILT)(Sample)(ZT)H(s)→→→h(t)→→→h(n)→→→H(z),不失一般性，設(shè)具有單極點的模擬濾波器的傳遞函數(shù)H(s)為,顯然此H(s)的極點為s=-a。下面推導脈沖響應不變法的映射規(guī)律。對H(s)進行拉氏反變換，得模擬濾波器的單位脈沖響應函數(shù)為,以采樣間隔T對h(t)進行等間隔采樣，得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應序列h(n)為,顯然此H(z)的極點為z=e-aT?？疾霩(s)的極點與H(z)的極點的映射關(guān)系，可得脈沖響應不變法的映射規(guī)律，就是將s平面的極點s=-a映射到z平面的極點z=e-aT。該映射關(guān)系就是從拉氏變換到z變換的映射關(guān)系：z=esT本例中的極點：,對h(n)進行z變換，得數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z)為,說明1：從上述的推導過程可以看到，s平面的極點s=-a映射到z平面的極點是z=e-aT，而H(s)與H(z)中的部分分式所對應的分子部分的系數(shù)不變。但應當注意，只有將H(s)表示為部分分式形式時，這種從H(s)到H(z)的對應變換關(guān)系才成立。說明2：穩(wěn)定性分析。如果模擬濾波器H(s)是穩(wěn)定的，則所有極點p都應當在s平面的左半平面，即Re[p]<0，進而可得|epT|1，即將s平面的右半平面映射到z平面的單位圓外。穩(wěn)定性分析：因為s平面的左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi)，s平面的右半平面映射到z平面的單位圓外，所以，穩(wěn)定的模擬濾波器H(s)通過雙線性變換后，所得到的數(shù)字濾波器H(z)也是穩(wěn)定的。,（3）當σ=0時，可得r=1，即將s平面的虛軸映射到z平面的單位圓上。將此條件代入上式，還還可以得到，從模擬頻率Ω到數(shù)字頻率ω的映射變換關(guān)系為正切函數(shù)變換，如下所示。,正切變換是非線性的單值映射或一一映射關(guān)系，將模擬頻率Ω的無限定義域壓縮到了數(shù)字頻率ω的有限定義域上，s平面的整個虛軸對應于z平面單位圓的一周。因此，雙線性變換法使數(shù)字濾波器H(z)的頻率特性避免發(fā)生頻譜混疊的現(xiàn)象。這是雙線性變換法的最大優(yōu)點。,雙線性變換法使得s平面與z平面是單值的一一對應關(guān)系。但數(shù)字頻率和模擬頻率卻是非線性關(guān)系。,雙線性變換法的頻率非線性關(guān)系。從圖中還可以看到，在零頻率附近，Ω～ω接近于線性關(guān)系。當Ω進一步增加時，ω增長變得緩慢。當Ω為無窮大時，ω終止于折疊頻率π處。所以雙線性變換法不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混疊到低頻部分的現(xiàn)象。,雙線性變換法的主要缺點就是Ω與ω的非線性關(guān)系，會導致下列問題：（1）線性相位模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后，得到的數(shù)字濾波器為非線性相位。（2）數(shù)字濾波器的幅頻響應相對于模擬濾波器的幅頻響應有畸變，使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應與頻率的對應關(guān)系上發(fā)生畸變。例如一個模擬微分器，其幅度與頻率是直線關(guān)系，但通過雙線性變換后，就不可能得到數(shù)字微分器,雖然雙線性變換有這樣的缺點，但它目前仍是使用得最普遍、最有效的一種設(shè)計工具。這是因為大多數(shù)濾波器都具有分段常數(shù)的頻響特性，如低通、高通、帶通和帶阻等，它們在通帶內(nèi)要求逼近一個衰減為零的常數(shù)特性，在阻帶部分要求逼近一個衰減為∞的常數(shù)特性，這種特性的濾波器通過雙線性變換后，雖然頻率發(fā)生了非線性變化，但其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特性。,雙線性變換法的頻率變換是非線性變換，所存在頻率軸的非線性畸變可以通過預畸來解決。例如，一個考爾型的模擬濾波器H(s)，雙線性變換后，得到的H(z)在通帶與阻帶內(nèi)都仍保持與原模擬濾波器相同的等起伏特性，只是通帶截止頻率、過渡帶的邊緣頻率，以及起伏的峰點、谷點頻率等臨界頻率點發(fā)生了非線性變化，即畸變。這種頻率點的畸變可以通過預畸來加以校正。,預畸變：將模擬濾波器的臨界頻率事先加以畸變，然后通過雙線性變換后，正好映射到所需要的頻率上。利用關(guān)系式：,將所要設(shè)計的數(shù)字濾波器臨界頻率點ωi，變換成對應的模擬頻率Ωi，利用此Ωi設(shè)計模擬濾波器，再通過雙線性變換，即可得到所需的數(shù)字濾波器，其臨界頻率正是ωi，如下圖所示。,雙線性變換法的頻率預畸變,雙線性變換法克服了脈沖響應不變法存在的頻譜混疊問題，其幅度逼近程度好，可以應用于高通和帶阻等各種濾波器的設(shè)計。因為雙線性變換法的s與z之間有比較簡單的代數(shù)關(guān)系，所以濾波器設(shè)計的運算過程更加直接和簡單，從模擬濾波器的傳遞函數(shù)和頻率特性，可直接通過代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)和頻率特性。,脈沖響應不變法與雙線性變換法的比較和選擇：雙線性變換法的代數(shù)置換比脈沖響應不變法的部分分式分解便捷得多。因此，在IIR數(shù)字濾波器設(shè)計中，在一般情況下，采用雙線性變換法較多。只有強調(diào)濾波器的時域瞬態(tài)響應時，采用脈沖響應不變法較好。,例4：采用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字濾波器H(z)，已知所對應的模擬低通濾波器的傳遞函數(shù)H(s)為,解：將傳遞函數(shù)H(s)分解為部分分式之和，然后進行“雙線性”變量代換，即可得到H(z)。,例5：采用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字濾波器H(z)，已知所對應的模擬低通濾波器的傳遞函數(shù)H(s)為一階慣性環(huán)節(jié),設(shè)模擬低通濾波器在-3dB處的頻率為Ωp1=2000弧度/秒（即fp1=318.31Hz），并且設(shè)采樣頻率為fs=1500Hz（即采樣間隔為1/1500s）。,解：Ωp1=2000弧度/秒，fp1=Ωp1/2π=318.31Hz,頻率響應之間的差異見上圖。數(shù)字濾波器的滾降比模擬濾波器要陡，而且?guī)捯膊煌?。這種誤差是由于雙線性變換的扭曲造成的。扭曲誤差可以通過對-3dB頻率的預扭曲來克服。,已知采樣頻率為fs=1500Hz，則數(shù)字濾波器的歸一化截止角頻率ω’p1為,則模擬濾波器在-3dB處的預扭曲模擬頻率Ω’p1為,采用預扭曲技術(shù)，得模擬濾波器的傳遞函數(shù)H’(s)和數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H’(z)分別為,,7.4FIR數(shù)字濾波器設(shè)計,可以證明，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器具有嚴格線性相位的充要條件是其有限長的單位脈沖響應序列h(n)為偶對稱，即h(n)=h(N-1-n)，即n=(N–1)/2是h(n)的偶對稱中心。,序列的偶對稱概念,FIR與IIR數(shù)字濾波器比較，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的主要特點如下。FIR數(shù)字濾波器的優(yōu)點：（1）容易獲得嚴格的線性相位，避免被處理信號產(chǎn)生相位失真。這一特點在寬頻帶信號處理、陣列信號處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要。（2）可以得到多帶幅頻特性。（3）極點全部在原點（永遠穩(wěn)定），無穩(wěn)定性問題。（4）任何一個非因果的有限長序列，總可以通過一定的延時，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄?，所以因果性總是滿足。（5）無反饋運算，運算誤差小。,FIR數(shù)字濾波器的缺點：（1）因為無極點，所以，如果要獲得好的過渡帶特性，需要以較高的階數(shù)為代價。（2）無法利用模擬濾波器的設(shè)計結(jié)果，一般無解析設(shè)計公式，需要借助計算機輔助設(shè)計程序才能完成。,7.4.1FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計原理,如果希望得到的數(shù)字濾波器的理想頻率特性為Hd(ejω)，那么FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計就在于尋找一個傳遞函數(shù)去逼近Hd(ejω)，其中h(n)為有限長序列。逼近方法或設(shè)計原理一般有兩種：（1）時域窗口設(shè)計法（時域逼近），簡稱窗函數(shù)法。（2）頻率采樣法（頻域逼近）。,FIR數(shù)字濾波器設(shè)計常用的MATLABFunction為：（1）Function:fir1Purpose:Designawindow-basedfiniteimpulseresponsefilterDescription:fir1implementstheclassicalmethodofwindowedlinear-phaseFIRdigitalfilterdesign.Itdesignsfiltersinstandardlowpass,highpass,bandpass,andbandstopconfigurations.Bydefaultthefilterisnormalizedsothatthemagnituderesponseofthefilteratthecenterfrequencyofthepassbandis0dB.Syntax:b=fir1(n,Wn)b=fir1(n,Wn,ftype)b=fir1(n,Wn,window)b=fir1(n,Wn,ftype,window)b=fir1(...,normalization),（2）Function:fir2Purpose:Designafrequencysampling-basedfiniteimpulseresponsefilterDescription:fir2designsfrequencysampling-baseddigitalFIRfilterswitharbitrarilyshapedfrequencyresponse.Syntax:b=fir2(n,f,m)b=fir2(n,f,m,window)b=fir2(n,f,m,npt)b=fir2(n,f,m,npt,window)b=fir2(n,f,m,npt,lap)b=fir2(n,f,m,npt,lap,window)有關(guān)fir1與fir2的具體使用方法參見：MATLABSignalProcessingToolbox,7.4.2窗函數(shù)法,時域窗口設(shè)計法，就是從有限長的單位脈沖響應序列h(n)著手，使h(n)逼近理想的單位脈沖響應序列hd(n)。而hd(n)可以從數(shù)字濾波器的理想頻率特性Hd(ejω)通過離散時間傅里葉變換(DTFT)的反變換(IDTFT)來獲得：,回顧第2章的離散時間非周期信號的DTFT：,在一般情況下，數(shù)字濾波器的理想頻率特性Hd(ejω)是分段恒定的，即在邊界頻率處有間斷點或突變點。所以，在這種情況下，所得到的理想單位脈沖響應序列hd(n)往往都是無限長序列，而且是非因果的。但是FIR數(shù)字濾波器的h(n)是有限長序列?，F(xiàn)在的問題是，怎樣用一個有限長序列h(n)去近似一個無限長序列hd(n)。最簡單的辦法是直接從hd(n)中截取一段來作為h(n)，即hd(n)的近似。這種截取可以形象地想象為h(n)是通過一個“時間窗口”所看到的一段hd(n)。因此，h(n)可以表示為hd(n)和一個“時間窗口函數(shù)序列w(n)”的乘積，即h(n)=hd(n)w(n)。,此處的“時間窗口函數(shù)序列w(n)”可以是矩形脈沖函數(shù)序列。為了改善濾波器的頻率特性，窗函數(shù)還可以有其它的形式，相當于在矩形窗內(nèi)對hd(n)進行了一定的加權(quán)處理。采用窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的過程：,窗函數(shù)的頻率特性的主要參數(shù)：（1）主瓣寬度(mainlobewidth)：主瓣兩邊最近過零點的距離，與窗長有關(guān)。主瓣寬度決定了濾波器的過渡帶寬度。（2）相對旁瓣水平(relativesidelobelevel)：最大旁瓣與主瓣之間的dB差別，與窗長無關(guān)，只與窗的類型有關(guān)。相對旁瓣水平?jīng)Q定了濾波器的波紋。窗長：窗函數(shù)的時域參數(shù)，指時間長度。窗的類型：窗函數(shù)的不同類型。,窗函數(shù)的形狀及長度的選擇很關(guān)鍵，一般希望窗函數(shù)滿足兩項要求：（1）窗譜主瓣盡可能地窄，以便能夠獲取較陡的過渡帶。（2）盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對幅度，也就是將能量盡量集中于主瓣，這樣使得肩峰和波紋減小，就可以增大阻帶的衰減。,常用的窗函數(shù)：（1）矩形窗(rectangularwindow)（2）漢寧窗(Hanningwindow)：升余弦窗（3）漢明窗(Hammingwindow)：改進的升余弦窗（4）布萊克曼窗(Blackmanwindow)：二階升余弦窗,（1）矩形窗(rectangularwindow),（2）漢寧窗(Hanningwindow),（3）漢明窗(Hammingwindow),（4）布萊克曼窗(Blackmanwindow),四種窗函數(shù)的比較：窗函數(shù)的頻譜N=51，A=20lg|W(ω)/W(0)|,(1)RectangularWindow,(2)HanningWindow,四種窗函數(shù)的比較：序列及其頻譜,(4)BlackmanWindow,(3)HammingWindow,四種窗函數(shù)的比較：序列及其頻譜,FIR數(shù)字濾波器及窗函數(shù)的頻率特性,說明：（1）窗函數(shù)的性能主要取決于它的兩個參數(shù)，即主瓣寬度和相對旁瓣級。（2）相對旁瓣級是最大旁瓣與主瓣以dB為單位的幅度差值。（3）最大通帶偏移和最小阻帶值之間的距離近似等于窗的主瓣寬度。（4）為了保證從通帶快速過渡到阻帶，窗函數(shù)應該有一個非常小的主瓣。另一方面，為了減小通帶和阻帶波紋，旁瓣下的面積也要求非常小。遺憾的是，這兩個要求是相互矛盾的。,常用窗函數(shù)的頻率特性：,Windows(MATLABFunctions):barthannwin:ComputeamodifiedBartlett-Hannwindow.bartlett:ComputeaBartlettwindow.blackman:ComputeaBlackmanwindow.blackmanharris:Computeaminimum4-termBlackman-Harriswindow.bohmanwin:ComputeaBohmanwindow.chebwin:ComputeaChebyshevwindow.gausswin:ComputeaGaussianwindow.hamming:ComputeaHammingwindow.hann:ComputetheHann(Hanning)window.kaiser:ComputeaKaiserwindow.nuttallwin:ComputeaNuttall-definedminimum4-termBlackman-Harriswindow.rectwin:Computearectangularwindow.triang:Computeatriangularwindow.tukeywin:ComputeaTukey(taperedcosine)window.window:Windowfunctiongateway.,低通FIR數(shù)字濾波器的窗函數(shù)法設(shè)計步驟：（1）確定通帶截止頻率fc：fc=(所要求的通帶邊緣頻率+阻帶邊緣頻率)/2（2）計算通帶截止頻率fc所對應的數(shù)字頻率ωc,并計算理想低通FIR數(shù)字濾波器的脈沖響應：,（3）選擇合適的窗函數(shù)（盡可能滿足阻帶要求），并確定其長度N=2M+1。（4）對理想低通濾波器的脈沖響應加窗。（5）將所得的脈沖響應移位M以得到因果的濾波器h[n]：,Example1:b=0.4*sinc(0.4*(-25:25));[H,w]=freqz(b,1,512,2);s.xunits=rad/sample;s.yunits=squared;s.plot=mag;%Plotmagnitudeonly.freqzplot(H,w,s);title(TruncatedSincLowpassFIRFilter);,Example2:b=0.4*sinc(0.4*(-25:25));b=b.*hamming(51);[H,w]=freqz(b,1,512,2);s.xunits=rad/sample;s.yunits=squared;s.plot=mag;freqzplot(H,w,s);title(Hamming-WindowedTruncatedSincLPFIRFilter);,7.4.3頻率采樣法,在工程上，經(jīng)常給定頻域上的技術(shù)指標，所以采用頻域設(shè)計方法更加直接。頻率采樣法的基本思想：使所設(shè)計的FIR數(shù)字濾波器的頻率特性，在某些離散頻率點處的值，準確地等于所需濾波器在這些頻率點處的值。而在其它頻率處的特性，則需要有較好的逼近。,7.4.4最優(yōu)化設(shè)計法,前面介紹了FIR數(shù)字濾波器的兩種逼近設(shè)計方法，即窗函數(shù)法（時域逼近法）和頻率采樣法（頻域逼近法）。用這兩種方法設(shè)計出的數(shù)字濾波器的頻率特性，都是在不同意義上對給定理想頻率特性Hd(ejω)的逼近。對于逼近，就有一個逼近得“好”或“壞”的問題。對“好”或“壞”的恒量標準不同，也會得出不同的結(jié)論。前面的窗口法和頻率采樣法，都是先給出逼近方法和所需變量，然后再討論其逼近特性。如果反過來，先要求在某種準則下設(shè)計濾波器各參數(shù)，以獲取最優(yōu)的結(jié)果，這就引出了最優(yōu)化設(shè)計的概念。這種FIR數(shù)字濾波器的逼近設(shè)計方法就是最優(yōu)化設(shè)計法（等波紋逼近）。最優(yōu)化設(shè)計一般需要大量的計算，所以一般需要依靠計算機進行輔助設(shè)計。,Example1:Designa48th-orderFIRbandpassfilterwithpassband0.35≤ω≤0.65.b=fir1(48,[0.350.65]);freqz(b,1,512);,Example2:Designa30th-orderlowpassfilterandoverplotthedesiredfrequencyresponsewiththeactualfrequencyresponse.f=[00.60.61];m=[1100];b=fir2(30,f,m);[h,w]=freqz(b,1,128);plot(f,m,w/pi,abs(h));grid;legend(Ideal,fir2Designed);title(ComparisonofFrequencyResponseMagnitudes);,7.5IIR與FIR數(shù)字濾波器的比較,數(shù)字濾波器類型的選擇：IIR和FIR這兩種數(shù)字濾波器究竟各自有什么特點？在實際運用時，應該怎樣去選擇？為此，有必要對這兩種數(shù)字濾波器作一簡單的比較。下面分別從性能、結(jié)構(gòu)和設(shè)計工具上進行比較。,7.5.1從性能上進行比較,（1）從性能上來說，IIR濾波器傳遞函數(shù)的極點可位于單位圓內(nèi)的任何地方，因此可用較低的階數(shù)獲得高的選擇性，所用的存貯單元少，所以經(jīng)濟而效率高。但是這個高效率是以相位的非線性為代價的。選擇性越好，則相位非線性越嚴重。（2）相反，F(xiàn)IR濾波器卻可以得到嚴格的線性相位。然而由于FIR濾波器傳遞函數(shù)的極點固定在原點，所以只能用較高的階數(shù)達到高的選擇性。（3）對于同樣的濾波器設(shè)計指標，F(xiàn)IR濾波器所要求的階數(shù)可以比IIR濾波器高5~10倍，結(jié)果成本較高，信號延時也較大。（4）如果按相同的選擇性和相同的線性要求來說，則IIR濾波器就必須加全通網(wǎng)絡(luò)進行相位較正，同樣要大增加濾波器的環(huán)節(jié)數(shù)和復雜性。,7.5.2從結(jié)構(gòu)上進行比較,（1）IIR濾波器必須采用遞歸結(jié)構(gòu)，極點位置必須在單位圓內(nèi)，否則系統(tǒng)將不穩(wěn)定。另外，在這種結(jié)構(gòu)中，由于運算過程中對序列的舍入處理，這種有限字長效應有時會引入寄生振蕩。（2）相反，F(xiàn)IR濾波器主要采用非遞歸結(jié)構(gòu)，不論在理論上，還是在實際的有限精度運算中，都不存在穩(wěn)定性問題，運算誤差也較小。（3）此外，F(xiàn)IR濾波器可以采用快速付里葉變換算法，在相同階數(shù)的條件下，運算速度可以快得多。,7.5.3從設(shè)計工具上進行比較,（1）一種廣泛應用的IIR濾波器設(shè)計方法，是將一個模擬的原型傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為一個數(shù)字的傳遞函數(shù)。而FIR濾波器的設(shè)計，則是基于對指定幅度響應的直接逼近。（2）IIR濾波器可以借助于模擬濾波器的成果，因此一般都有有效的封閉形式的設(shè)計公式可供準確計算，計算工作量比較小，對計算工具的要求不高。（3）FIR濾波器設(shè)計則一般沒有封閉形式的設(shè)計公式。窗口法雖然僅僅對窗口函數(shù)可以給出計算公式，但計算通帶和阻帶衰減等仍無顯式表達式。一般FIR濾波器的設(shè)計只有計算程序可循，因此對計算工具要求較高。,7.5.4總結(jié),（1）IIR濾波器雖然設(shè)計簡單，但主要是用于設(shè)計具有片段常數(shù)特性的濾波器，如低通、高通、帶通及帶阻等，往往脫離不了模擬濾波器的格局。（2）而FIR濾波器則要靈活得多，尤其它能易于適應某些特殊的應用，如構(gòu)成微分器或積分器。例如，由于某些原因要求三角形振幅響應或一些更復雜的幅頻響應，因而有更大的適應性和更廣闊的應用范圍。（3）從上面的簡單比較可以看到，IIR與FIR濾波器各有所長，所以在實際應用時應該從多方面考慮來加以選擇。例如，從使用要求上來看，在對相位要求不敏感的場合，如語言通訊等，選用IIR較為合適，這樣可以充分發(fā)揮其經(jīng)濟高效的特點。而對于圖像信號處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)纫圆ㄐ螖y帶信息的系統(tǒng)，則對線性相位要求較高，如果有條件，采用FIR濾波器較好。當然，在實際應用中，還應考慮經(jīng)濟上的要求以及計算工具的條件等多方面的因素。,