2019春九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第二十八章 銳角三角函數(shù) 28.2 解直角三角形及其應(yīng)用 28.2.1 解直角三角形教案 新人教版.doc

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28．2．1 解直角三角形 1．理解解直角三角形的意義和條件；(重點(diǎn)) 2．根據(jù)元素間的關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)年P(guān)系式，求出所有未知元素．(難點(diǎn)) 一、情境導(dǎo)入 世界遺產(chǎn)意大利比薩斜塔在1350年落成時(shí)就已傾斜．設(shè)塔頂中心點(diǎn)為B, 塔身中心線與垂直中心線夾角為∠A，過點(diǎn)B向垂直中心線引垂線，垂足為點(diǎn)C.在Rt△ABC中，∠C＝90，BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠A的度數(shù)． 在上述的Rt△ABC中，你還能求其他未知的邊和角嗎？ 二、合作探究 探究點(diǎn)一：解直角三角形 【類型一】 利用解直角三角形求邊或角 已知在Rt△ABC中，∠C＝90，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，按下列條件解直角三角形． (1)若a＝36，∠B＝30，求∠A的度數(shù)和邊b、c的長(zhǎng)； (2)若a＝6，b＝6，求∠A、∠B的度數(shù)和邊c的長(zhǎng)． 解析：(1)已知直角邊和一個(gè)銳角，解直角三角形；(2)已知兩條直角邊，解直角三角形． 解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30，a＝36，∴∠A＝90－∠B＝60，∵cosB＝，即c＝＝＝24，∴b＝sinBc＝24＝12； (2)在Rt△ABC中，∵a＝6，b＝6，∴tanA＝＝，∴∠A＝30，∴∠B＝60，∴c＝2a＝12. 方法總結(jié)：解直角三角形時(shí)應(yīng)求出所有未知元素，解題時(shí)盡可能地選擇包含所求元素與兩個(gè)已知元素的關(guān)系式求解． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練” 第4題 【類型二】 構(gòu)造直角三角形解決長(zhǎng)度問題 一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90，∠E＝30，∠A＝45，AC＝12，試求CD的長(zhǎng)． 解析：過點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M，求出BM與CM的長(zhǎng)度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60，利用解直角三角形解答即可． 解：過點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M，在△ACB中，∠ACB＝90，∠A＝45，AC＝12，∴BC＝AC＝12.∵AB∥CF，∴BM＝sin45BC＝12＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∠F＝90，∠E＝30，∴∠EDF＝60，∴MD＝＝4，∴CD＝CM－MD＝12－4. 方法總結(jié)：解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，然后利用所學(xué)的三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升” 第4題 【類型三】 運(yùn)用解直角三角形解決面積問題 如圖，在△ABC中，已知∠C＝90，sinA＝，D為邊AC上一點(diǎn)，∠BDC＝45，DC＝6.求△ABC的面積． 解析：首先利用正弦的定義設(shè)BC＝3k，AB＝7k，利用BC＝CD＝3k＝6，求得k值，從而求得AB的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求得AC的長(zhǎng)，再進(jìn)一步求解． 解：∵∠C＝90，∴在Rt△ABC中，sinA＝＝，設(shè)BC＝3k，則AB＝7k(k＞0)，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝90，∴∠BDC＝45，∴∠CBD＝∠BDC＝45，∴BC＝CD＝3k＝6，∴k＝2，∴AB＝14.在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，∴S△ABC＝ACBC＝46＝12.所以△ABC的面積是12. 方法總結(jié)：若已知條件中有線段的比或可利用的三角函數(shù)，可設(shè)出一個(gè)輔助未知數(shù)，列方程解答． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第7題 探究點(diǎn)二：解直角三角形的綜合 【類型一】 解直角三角形與等腰三角形的綜合 已知等腰三角形的底邊長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為2＋，求底角的度數(shù)． 解析：先求腰長(zhǎng)，作底邊上的高，利用等腰三角形的性質(zhì)，求得底角的余弦，即可求得底角的度數(shù)． 解：如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝，∵周長(zhǎng)為2＋，∴AB＝AC＝1.過A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則BD＝，在Rt△ABD中，cos∠ABD＝＝，∴∠ABD＝45，即等腰三角形的底角為45. 方法總結(jié)：求角的度數(shù)時(shí)，可考慮利用特殊角的三角函數(shù)值． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第2題 【類型二】 解直角三角形與圓的綜合 已知：如圖，Rt△AOB中，∠O＝90，以O(shè)A為半徑作⊙O，BC切⊙O于點(diǎn)C，連接AC交OB于點(diǎn)P. (1)求證：BP＝BC； (2)若sin∠PAO＝，且PC＝7，求⊙O的半徑． 解析：(1)連接OC，由切線的性質(zhì)，可得∠OCB＝90，由OA＝OC，得∠OCA＝∠OAC，再由∠AOB＝90，可得出所要求證的結(jié)論；(2)延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，在Rt△AOP和Rt△ACE中，根據(jù)三角函數(shù)和勾股定理，列方程解答． 解：(1)連接OC，∵BC是⊙O的切線，∴∠OCB＝90，∴∠OCA＋∠BCA＝90.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＋∠BCA＝90，∵∠BOA＝90，∴∠OAC＋∠APO＝90，∵∠APO＝∠BPC，∴∠BPC＝∠BCA，∴BC＝BP； (2)延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，在Rt△AOP中，∵sin∠PAO＝，設(shè)OP＝x，AP＝3x，∴AO＝2x.∵AO＝OE，∴OE＝2x，∴AE＝4x.∵sin∠PAO＝，∴在Rt△ACE中＝，∴＝，∴＝，解得x＝3，∴AO＝2x＝6，即⊙O的半徑為6. 方法總結(jié)：本題考查了切線的性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)三角函數(shù)的定義結(jié)合勾股定理列出方程． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第9題 三、板書設(shè)計(jì) 1．解直角三角形的基本類型及其解法； 2．解直角三角形的綜合． 本節(jié)課的設(shè)計(jì)，力求體現(xiàn)新課程理念．給學(xué)生自主探索的時(shí)間和寬松和諧的氛圍，讓學(xué)生學(xué)得更主動(dòng)、更輕松，力求在探索知識(shí)的過程中，培養(yǎng)探索能力、創(chuàng)新精神和合作精神，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性.