蘇教版高三數(shù)學復習課件6.3基本不等式.ppt
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1．了解基本不等式的證明過程．2．會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題．,第3課時基本不等式(a≥0，b≥0),1．基本不等式是不等式中的重要內(nèi)容，也是歷年高考的重點，它應用范圍較廣，幾乎可以涉及高中數(shù)學的所有章節(jié)，且?？汲Ｐ?，內(nèi)容無外乎就是大小判斷、求最值、求取值范圍等．2．基本不等式在每年的高考題中幾乎都有所體現(xiàn)，特別是在求有關(guān)最值中，往往和應用題結(jié)合，同時常在基本不等式的使用條件上設置一些問題，應謹慎處理．,【命題預測】,1．利用基本不等式證明其他不等式時，一是要創(chuàng)設一個應用基本不等式的情境，二是選擇恰當?shù)墓郊捌渥冃涡问剑鏰2＋b2≥2ab(a，b∈R),2(a2＋b2)≥(a＋b)2，(a＋b)2≥4ab，，同時也要從整體上把握基本不等式．,【應試對策】,2．用基本不等式求函數(shù)的最值時，關(guān)鍵在于將函數(shù)變形為兩項的和或積，使這兩項的和或積或平方和為定值，然后利用基本不等式求出最值．在求解最值時，一種方法是消元，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值；另一種方法是將要求最值的表達式進行變形，然后用基本不等式使要求最值的表達式放縮為一個定值．在用基本不等式時都必須要驗證等號成立的條件．3．利用基本不等式求最值時，必須滿足三個條件：一正二定三相等，也就是先滿足是正數(shù)，然后有定值(和定積最大，積定和最小)，三是要看能不能取等號．“當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立”有兩層意思：一是當x＝y(tǒng)時，取“＝”；二是取到“＝”時，必有x＝y(tǒng).所以，在運用此定理解題時一定要重視這一點．,1．證明：不等式a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c均為正數(shù))．證明：a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b)3＋c3－3a2b－3ab2－3abc＝(a＋b＋c)[(a＋b)2－(a＋b)c＋c2]－3ab(a＋b＋c)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)＝(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，∴a3＋b3＋c3≥3abc很顯然，當且僅當a＝b＝c時取“＝”號．推論：如果a，b，c為正實數(shù)，那么(當且僅當a＝b＝c時，取“＝”號),【知識拓展】,1．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)對于正數(shù)a，b，我們把稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a，b的幾何平均數(shù)．,2．基本不等式≤(1)基本不等式成立的條件：.(2)等號成立的條件：當且僅當時取等號．(3)結(jié)論：兩個正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)其幾何平均數(shù)．思考：你能用數(shù)列的知識解釋(a＞0，b＞0)的意義嗎？提示：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項．,a＞0，b＞0,a＝b,不小于,3．幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥(a，b∈R)．(2)≥(a，b同號)．(3)ab≤(a，b∈R)．4．運用基本不等式求函數(shù)的最大值、最小值對于非負數(shù)a，b，(1)和a＋b一定時，積ab有最，用基本不等式的變形式；(2)積ab一定時，和a＋b有最，用基本不等式的變形式.,2ab,2,大值,小值,1．(2010江蘇通州市高三素質(zhì)檢測)已知a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，則ab的最大值為________．答案：2．設x，y為正數(shù)，則(x＋y)()的最小值為________．解析：∵(x＋y)()＝5＋(x＞0，y＞0)≥5＋22＝9，當且僅當y＝2x時取得最小值9.答案：9,3．已知＝1(x＞0，y＞0)，則xy的最小值為________．解析：1＝≥2，∴，xy≥60.∴當且僅當，即x＝10，y＝6時，xy有最小值60.答案：60,4．函數(shù)y＝x＋的值域為________．解析：當x>0時，x＋≥2；當x0，b>0，a＋b＝1，求證：≥4.(2)證明：a4＋b4＋c4＋d4≥4abcd.思路點撥：(1)利用a＋b＝1將要證不等式中的1代換，即可得證．(2)利用a2＋b2≥2ab兩兩結(jié)合即可求證．但需兩次利用不等式，注意等號成立的條件．,證明：(1)∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴∴≥4.∴原不等式成立．(2)a4＋b4＋c4＋d4≥2a2b2＋2c2d2＝2(a2b2＋c2d2)≥22abcd＝4abcd.故原不等式得證，等號成立的條件是a2＝b2且c2＝d2且a2b2＝c2d2.,變式1：已知a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，求證：(1)≥16；(2)a2＋b2≥；(3)(1＋)(1＋)≥9；(4)≤2.,應用基本不等式求最值應注意：(1)合理拆分項或配湊因式是常用的技巧，而拆與湊的目標在于使等號成立，每項為正值，必要時需出現(xiàn)積為定值或和為定值．(2)當多次使用基本不等式時，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯，因此在利用基本不等式處理問題時，列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟，而且也是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法．,【例2】(1)已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求z＝的最小值．(2)已知x<，求函數(shù)y＝4x－2＋的最大值．思路點撥：(1)由lgx＋lgy＝1得xy＝10，故可用基本不等式．(2)由x<，可知4x－50，y>0，且x＋y＝1，則的最小值是________．解析：由已知，得≥2＋1＝3，當且僅當且x>0，y>0，即x＝y(tǒng)＝時，取等號．答案：3,3．x0，∴f(x)＝＝－1，當且僅當＝3－x，即x＝1時，等號成立．故f(x)的最大值為－1.,有關(guān)基本不等式的實際應用問題，在利用基本不等式求有關(guān)代數(shù)式的最值的過程中，要注意相應的前提條件是否具備，否則就會得出錯誤的結(jié)果．【例3】某村計劃建造一個室內(nèi)面積為800m2的矩形蔬菜溫室．在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地．當矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大種植面積是多少？,思路點撥：本題主要思路是把實際問題抽象為數(shù)學問題，靈活地應用不等式等基礎知識和方法解決問題.,解：設矩形溫室的左側(cè)邊長為am，后側(cè)邊長為bm，則ab＝800.蔬菜的種植面積是S＝(a－4)(b－2)＝ab－4b－2a＋8＝808－2(a＋2b)，所以S≤808－4＝648(m2)．當a＝2b，即a＝40(m)，b＝20(m)時，S最大值＝648(m2)．所以，當矩形溫室的左側(cè)邊長為40m、后側(cè)邊長為20m時，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為648m2.,池的深度一定，池的外圈周壁建造單價為每米400元，中間一條隔壁建造單價為每米100元，池底建造單價每平方米60元(池壁厚忽略不計)．(1)污水處理池的長設計為多少米時，可使總造價最低；(2)如果受地形限制，污水處理池的長，寬都不能超過14.5米，那么此時污水處理池的長設計為多少米時，可使總造價最低．,變式4：某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級污水處理池，,解：(1)設污水處理池的長為x米，則寬為米．總造價f(x)＝400(2x＋2)＋100＋60200＝800(x＋)＋12000≥1600＋12000＝36000(元)，當且僅當x＝(x＞0)，即x＝15時等號成立．(2)記g(x)＝x＋(0＜x≤14.5)，顯然是減函數(shù)，∴x＝14.5時，g(x)有最小值，相應造價f(x)有最小值，此時寬也不超過14.5米．,【規(guī)律方法總結(jié)】1．a(chǎn)2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，而成立，則要求a＞0且b＞0.使用時，要明確定理成立的前提條件．2．在運用基本不等式時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為一定值)、“等”(等號取得的條件)的條件．3．注意掌握基本不等式的逆用，變化形式特點．4．不等式的應用主要有三方面：一是能轉(zhuǎn)化為求解不等式(組)的有關(guān)問題(如求函數(shù)的定義域、討論一元二次方程根的分布等)；二是能轉(zhuǎn)化為不等式證明的有關(guān)問題(如證明函數(shù)的單調(diào)性等)；三是能利用兩個重要不等式的極端情形解決的最值問題.,【例4】函數(shù)y＝x＋(x≠1)的值域是________．,【錯因分析】,應用基本不等式時，易忽視a、b同為非負數(shù)這一條件而出錯，如本題易出現(xiàn)：由y＝x＋＋1＝3，得出y∈[3，＋∞)這一錯誤結(jié)果．,【答題模板】解：當x>1時，y＝x＋＋1＝3，當且僅當x－1＝即x＝2時等號成立；當x0)的特殊情況，在應用均值不等式求函數(shù)最值時，一定要注意ax，的符號，必要時要進行分類討論.,【狀元筆記】,1．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求證：分析：先通分，再通過a＋b＋c＝1轉(zhuǎn)化后利用基本不等式證明．證明：＝＝8(當且僅當a＝b＝c時取等號)．∴原不等式得證．,2．已知兩正數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則z＝的最小值為__________．解析：z＝令t＝xy，則0下載提示(請認真閱讀)
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