蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件6.3基本不等式.ppt
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1．了解基本不等式的證明過(guò)程．2．會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題．,第3課時(shí)基本不等式(a≥0，b≥0),1．基本不等式是不等式中的重要內(nèi)容，也是歷年高考的重點(diǎn)，它應(yīng)用范圍較廣，幾乎可以涉及高中數(shù)學(xué)的所有章節(jié)，且?？汲Ｐ?，內(nèi)容無(wú)外乎就是大小判斷、求最值、求取值范圍等．2．基本不等式在每年的高考題中幾乎都有所體現(xiàn)，特別是在求有關(guān)最值中，往往和應(yīng)用題結(jié)合，同時(shí)常在基本不等式的使用條件上設(shè)置一些問(wèn)題，應(yīng)謹(jǐn)慎處理．,【命題預(yù)測(cè)】,1．利用基本不等式證明其他不等式時(shí)，一是要?jiǎng)?chuàng)設(shè)一個(gè)應(yīng)用基本不等式的情境，二是選擇恰當(dāng)?shù)墓郊捌渥冃涡问?，如a2＋b2≥2ab(a，b∈R),2(a2＋b2)≥(a＋b)2，(a＋b)2≥4ab，，同時(shí)也要從整體上把握基本不等式．,【應(yīng)試對(duì)策】,2．用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，關(guān)鍵在于將函數(shù)變形為兩項(xiàng)的和或積，使這兩項(xiàng)的和或積或平方和為定值，然后利用基本不等式求出最值．在求解最值時(shí)，一種方法是消元，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值；另一種方法是將要求最值的表達(dá)式進(jìn)行變形，然后用基本不等式使要求最值的表達(dá)式放縮為一個(gè)定值．在用基本不等式時(shí)都必須要驗(yàn)證等號(hào)成立的條件．3．利用基本不等式求最值時(shí)，必須滿足三個(gè)條件：一正二定三相等，也就是先滿足是正數(shù)，然后有定值(和定積最大，積定和最小)，三是要看能不能取等號(hào)．“當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立”有兩層意思：一是當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，取“＝”；二是取到“＝”時(shí)，必有x＝y(tǒng).所以，在運(yùn)用此定理解題時(shí)一定要重視這一點(diǎn)．,1．證明：不等式a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c均為正數(shù))．證明：a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b)3＋c3－3a2b－3ab2－3abc＝(a＋b＋c)[(a＋b)2－(a＋b)c＋c2]－3ab(a＋b＋c)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)＝(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，∴a3＋b3＋c3≥3abc很顯然，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取“＝”號(hào)．推論：如果a，b，c為正實(shí)數(shù)，那么(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，取“＝”號(hào)),【知識(shí)拓展】,1．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)對(duì)于正數(shù)a，b，我們把稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a，b的幾何平均數(shù)．,2．基本不等式≤(1)基本不等式成立的條件：.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．(3)結(jié)論：兩個(gè)正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)其幾何平均數(shù)．思考：你能用數(shù)列的知識(shí)解釋(a＞0，b＞0)的意義嗎？提示：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)．,a＞0，b＞0,a＝b,不小于,3．幾個(gè)重要的不等式(1)a2＋b2≥(a，b∈R)．(2)≥(a，b同號(hào))．(3)ab≤(a，b∈R)．4．運(yùn)用基本不等式求函數(shù)的最大值、最小值對(duì)于非負(fù)數(shù)a，b，(1)和a＋b一定時(shí)，積ab有最，用基本不等式的變形式；(2)積ab一定時(shí)，和a＋b有最，用基本不等式的變形式.,2ab,2,大值,小值,1．(2010江蘇通州市高三素質(zhì)檢測(cè))已知a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，則ab的最大值為_(kāi)_______．答案：2．設(shè)x，y為正數(shù)，則(x＋y)()的最小值為_(kāi)_______．解析：∵(x＋y)()＝5＋(x＞0，y＞0)≥5＋22＝9，當(dāng)且僅當(dāng)y＝2x時(shí)取得最小值9.答案：9,3．已知＝1(x＞0，y＞0)，則xy的最小值為_(kāi)_______．解析：1＝≥2，∴，xy≥60.∴當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝10，y＝6時(shí)，xy有最小值60.答案：60,4．函數(shù)y＝x＋的值域?yàn)開(kāi)_______．解析：當(dāng)x>0時(shí)，x＋≥2；當(dāng)x0，b>0，a＋b＝1，求證：≥4.(2)證明：a4＋b4＋c4＋d4≥4abcd.思路點(diǎn)撥：(1)利用a＋b＝1將要證不等式中的1代換，即可得證．(2)利用a2＋b2≥2ab兩兩結(jié)合即可求證．但需兩次利用不等式，注意等號(hào)成立的條件．,證明：(1)∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴∴≥4.∴原不等式成立．(2)a4＋b4＋c4＋d4≥2a2b2＋2c2d2＝2(a2b2＋c2d2)≥22abcd＝4abcd.故原不等式得證，等號(hào)成立的條件是a2＝b2且c2＝d2且a2b2＝c2d2.,變式1：已知a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，求證：(1)≥16；(2)a2＋b2≥；(3)(1＋)(1＋)≥9；(4)≤2.,應(yīng)用基本不等式求最值應(yīng)注意：(1)合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的技巧，而拆與湊的目標(biāo)在于使等號(hào)成立，每項(xiàng)為正值，必要時(shí)需出現(xiàn)積為定值或和為定值．(2)當(dāng)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否能保證等號(hào)成立，并且要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)，因此在利用基本不等式處理問(wèn)題時(shí)，列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟，而且也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法．,【例2】(1)已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求z＝的最小值．(2)已知x<，求函數(shù)y＝4x－2＋的最大值．思路點(diǎn)撥：(1)由lgx＋lgy＝1得xy＝10，故可用基本不等式．(2)由x<，可知4x－50，y>0，且x＋y＝1，則的最小值是________．解析：由已知，得≥2＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)且x>0，y>0，即x＝y(tǒng)＝時(shí)，取等號(hào)．答案：3,3．x0，∴f(x)＝＝－1，當(dāng)且僅當(dāng)＝3－x，即x＝1時(shí)，等號(hào)成立．故f(x)的最大值為－1.,有關(guān)基本不等式的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，在利用基本不等式求有關(guān)代數(shù)式的最值的過(guò)程中，要注意相應(yīng)的前提條件是否具備，否則就會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果．【例3】某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800m2的矩形蔬菜溫室．在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地．當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為多少時(shí)，蔬菜的種植面積最大？最大種植面積是多少？,思路點(diǎn)撥：本題主要思路是把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，靈活地應(yīng)用不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和方法解決問(wèn)題.,解：設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為am，后側(cè)邊長(zhǎng)為bm，則ab＝800.蔬菜的種植面積是S＝(a－4)(b－2)＝ab－4b－2a＋8＝808－2(a＋2b)，所以S≤808－4＝648(m2)．當(dāng)a＝2b，即a＝40(m)，b＝20(m)時(shí)，S最大值＝648(m2)．所以，當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為40m、后側(cè)邊長(zhǎng)為20m時(shí)，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為648m2.,池的深度一定，池的外圈周壁建造單價(jià)為每米400元，中間一條隔壁建造單價(jià)為每米100元，池底建造單價(jià)每平方米60元(池壁厚忽略不計(jì))．(1)污水處理池的長(zhǎng)設(shè)計(jì)為多少米時(shí)，可使總造價(jià)最低；(2)如果受地形限制，污水處理池的長(zhǎng)，寬都不能超過(guò)14.5米，那么此時(shí)污水處理池的長(zhǎng)設(shè)計(jì)為多少米時(shí)，可使總造價(jià)最低．,變式4：某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級(jí)污水處理池，,解：(1)設(shè)污水處理池的長(zhǎng)為x米，則寬為米．總造價(jià)f(x)＝400(2x＋2)＋100＋60200＝800(x＋)＋12000≥1600＋12000＝36000(元)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝(x＞0)，即x＝15時(shí)等號(hào)成立．(2)記g(x)＝x＋(0＜x≤14.5)，顯然是減函數(shù)，∴x＝14.5時(shí)，g(x)有最小值，相應(yīng)造價(jià)f(x)有最小值，此時(shí)寬也不超過(guò)14.5米．,【規(guī)律方法總結(jié)】1．a(chǎn)2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，而成立，則要求a＞0且b＞0.使用時(shí)，要明確定理成立的前提條件．2．在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為一定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件．3．注意掌握基本不等式的逆用，變化形式特點(diǎn)．4．不等式的應(yīng)用主要有三方面：一是能轉(zhuǎn)化為求解不等式(組)的有關(guān)問(wèn)題(如求函數(shù)的定義域、討論一元二次方程根的分布等)；二是能轉(zhuǎn)化為不等式證明的有關(guān)問(wèn)題(如證明函數(shù)的單調(diào)性等)；三是能利用兩個(gè)重要不等式的極端情形解決的最值問(wèn)題.,【例4】函數(shù)y＝x＋(x≠1)的值域是________．,【錯(cuò)因分析】,應(yīng)用基本不等式時(shí)，易忽視a、b同為非負(fù)數(shù)這一條件而出錯(cuò)，如本題易出現(xiàn)：由y＝x＋＋1＝3，得出y∈[3，＋∞)這一錯(cuò)誤結(jié)果．,【答題模板】解：當(dāng)x>1時(shí)，y＝x＋＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝即x＝2時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)x0)的特殊情況，在應(yīng)用均值不等式求函數(shù)最值時(shí)，一定要注意ax，的符號(hào)，必要時(shí)要進(jìn)行分類討論.,【狀元筆記】,1．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求證：分析：先通分，再通過(guò)a＋b＋c＝1轉(zhuǎn)化后利用基本不等式證明．證明：＝＝8(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào))．∴原不等式得證．,2．已知兩正數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則z＝的最小值為_(kāi)_________．解析：z＝令t＝xy，則0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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- 蘇教版高三 數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 課件 6.3 基本 不等式
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