蘇教版高三數(shù)學復習課件9.2總體特征數(shù)的估計.ppt

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了解頻率分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點/理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標準差/能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差)，并給出合理的解釋/會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思想/會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題．,第2課時總體分布的估計、總體特征數(shù)的估計,1．在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中，學會列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征．2．能根據(jù)實際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差)，并做出合理地解釋．,【命題預測】,3．初步了解如何運用數(shù)學知識和方法進行統(tǒng)計研究，提高統(tǒng)計的準確性和科學性；正確理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，學會計算數(shù)據(jù)的標準差．4．掌握從實際問題中提取數(shù)據(jù)，利用樣本數(shù)據(jù)對總體水平作出估計的方法．,1．畫頻率分布直方圖的基本步驟是：(1)求極差；(2)決定組距與組數(shù)；(3)將數(shù)據(jù)分組；(4)列頻率分布表；(5)對每一組，求頻率/組距，用若干小矩形的面積表示數(shù)據(jù)落在各個小組的頻率的大?。渲幸⒁庖韵聨讉€問題：(1)將數(shù)據(jù)分組，組數(shù)要力求合適，組數(shù)太多或太少，都會影響我們了解數(shù)據(jù)的分布情況；(2)組距盡可能“取整”，組數(shù)可“進一”；(3)分點比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并把第一組的下限“略”去或起點微減，使樣本數(shù)據(jù)都落在所分組的內部；(4)各小長方形的面積的總和等于1.,【應試對策】,(1)頻率分布直方圖能夠很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的狀態(tài)，使我們能夠看到的分布表中看不清楚的數(shù)據(jù)模式，但是從圖形本身不能看出原始的數(shù)據(jù)內容．(2)頻率分布折線圖的優(yōu)點是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢．如果樣本容量不斷增大，折線圖趨向于總體密度曲線．(3)用莖葉圖刻畫數(shù)據(jù)有兩個優(yōu)點：一是所有的信息都可以在莖葉圖中得到；二是莖葉圖便于記錄和表示，能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況．但當樣本容量較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時，用莖葉圖描述就顯得不方便了．,2．三種圖形各有優(yōu)點及缺點：,3．從頻率分布直方圖可以清楚地看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢，但從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的數(shù)據(jù)信息就被抹掉了．一般情況下，平均數(shù)是直方圖的重心，眾數(shù)在最高小矩形的中點處，中位數(shù)的左右矩形的面積應相等，它對極端值不敏感．總體密度曲線是客觀存在的，但一般很難像函數(shù)圖像那樣準確地畫出來，我們只能用樣本的頻率分布對它進行估計，一般來說，樣本容量越大，這種估計就越精確．,(1)標準差的平方就是方差，即(2)方差的計算①基本公式②簡化計算公式(Ⅰ)或寫成即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．③簡化計算公式(Ⅱ),4．標準差和方差的關系及計算,平均數(shù)、方差的公式推廣1．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是m＋a.2．數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.,【知識拓展】,1．編制頻率分布表的步驟(1)求全距，決定組距和組數(shù)，組距＝.(2)分組，通常對組內數(shù)值所在區(qū)間取區(qū)間，最后一組?。?3)登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表．,前閉后開,閉區(qū)間,2．作頻率分布直方圖的方法(1)先制作頻率分布表，然后作直角坐標系；(2)把橫軸分成若干段，每一線段對應一個組的，然后以此線段為底作一，它的高等于該組的，這樣得出一系列的．(3)每個矩形的面積恰好是該組的，這些矩形就構成了頻率分布直方圖．,矩形,頻率/組距,矩形,頻率,組距,3．莖葉圖的畫法要求莖按從小到大的順序從上向下列出，共莖的葉一般按從小到大(或從大到小)的順序列出．,同行,4．平均數(shù)、標準差和方差(1)平均數(shù)稱為n個數(shù)據(jù)a1，a2，…，an的或均值，一般記為＝.(2)標準差和方差設一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，其平均數(shù)為，稱為這個樣本的方差，稱其算術平方根s＝為．,平均數(shù),標準差,思考：現(xiàn)實中的總體所包含個體數(shù)往往是很多的，如何求得總體的平均數(shù)和標準差呢？提示：通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標準差去估計總體的平均數(shù)與標準差，這與用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的，只要樣本的代表性好，這樣做就是合理的，也是可以接受的．,1．(2010東北師大附中高三測試)一個容量為20的樣本，已知某組的頻率為0.25，則該組的頻數(shù)為________．解析：設頻數(shù)為x，則＝0.25，∴x＝0.2520＝5.答案：5,2．(2010江蘇通州市高三素質檢測)某射擊運動員在四次射擊中分別打出了10，x,10,8環(huán)的成績，已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9，則這組數(shù)據(jù)的方差是________．答案：1,3．已知一組數(shù)據(jù)：20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的大小關系是________．解析：平均數(shù)＝＝50，按由小到大排列可知，中位數(shù)是50，眾數(shù)也是50.答案：眾數(shù)＝中位數(shù)＝平均數(shù),4．(江蘇南通模擬)甲、乙兩名射擊運動員參加某大型運動會的預選賽，他們分別射擊了5次，成績如下表(單位：環(huán))如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應是________．答案：甲,5．一個社會調查機構就某地居民的月收入調查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖(如圖)．為了分析居民的收入與年齡、學歷、職業(yè)等方面的關系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進一步調查，則在[2500,3000)(元)月收入段應抽出________人．,解析：分析頻率分布直方圖可知：[1000,1500)頻率0.10；[1500,2000)頻率0.20；[2000，2500)頻率0.25；[2500,3000)頻率0.25；[3000，3500)頻率0.15；[3500，4000)頻率0.05，∴設在[2500,3000)內抽x人．=0.25.∴x=25(人)．答案：25,頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布：(1)頻率分布直方圖中橫坐標表示，縱坐標表示，頻率＝組距.(2)頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1，因此在頻率分布直方圖中組距是一個固定值，所以各小長方形高的比也就是頻率比．(3)頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種形式，前者準確，后者直觀．(4)眾數(shù)為最高矩形中點的橫坐標．(5)中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標．,(1)列出頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖；(3)估計電子元件壽命在100h～400h以內的頻率；(4)估計電子元件壽命在400h以上的頻率．,【例1】對某電子元件進行壽命追蹤調查，情況如下.,思路點撥：從分組中看壽命在某一范圍內的電子元件的比例即壽命在該范圍內的頻率．解：(1)樣本頻率分布表如下：,(2)頻率分布直方圖如圖：(3)電子元件壽命在100h～400h以內的頻數(shù)為130，則頻率為=0.65.(4)壽命在400h以上的電子元件的頻數(shù)為70，則頻率為=0.35.,變式1：(江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷)為了了解某電子元件的使用壽命，抽取容量為10000的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，根據(jù)此圖估計樣本中該電子元件的使用壽命在200～400小時的數(shù)量是________個．,解析：由頻率分布直方圖知：該電子元件的使用壽命在200～300小時的頻率為100＝0.15，該電子元件的使用壽命在300～400小時的頻率為100＝0.25，所以該電子元件的使用壽命在200～400小時的頻率為0.15＋0.25＝0.4，所以該電子元件的使用壽命在200～400小時的數(shù)量為0.410000＝4000.答案：4000,莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù)．在樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，但當樣本數(shù)據(jù)較多時，莖葉圖就顯得不太方便了．,如下：甲的得分：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107；乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.畫出兩人數(shù)學成績的莖葉圖，請根據(jù)莖葉圖對兩人的成績進行比較．思路點撥：用中間的數(shù)字表示兩位同學得分的十位數(shù)或百位數(shù)，兩邊的數(shù)字分別表示兩人每次數(shù)學考試成績的個位數(shù)．,【例2】某中學高一(2)班甲、乙兩名同學自高中以來每次數(shù)學考試成績情況,解：甲、乙兩人數(shù)學成績的莖葉圖如圖所示．從這個莖葉圖上可以看出，乙同學的得分情況是大致對稱的，中位數(shù)是98；甲同學的得分情況除一個特殊得分外，也大致對稱，中位數(shù)是88.因此乙同學發(fā)揮比較穩(wěn)定，總體得分情況比甲同學好．,變式2：(南通市高三調研)如圖是某興趣小組的學生在一次數(shù)學測驗中的得分莖葉圖，則該組男生的平均得分與女生的平均得分之差是________．解析：所有男生的得分的個位上數(shù)字之和為47，所以男生的總得分為47+903+802+702+602+501=787，因此男生的平均得分為78.7，同理得女生的平均得分為77.2，所以男生的平均得分與女生的平均得分之差是1.5.答案：1.5,1．平均數(shù)、方差、標準差都是總體的特征數(shù)．平均數(shù)能反映總體平均值的水平，方差、標準差用來描述波動情況．常用來比較兩組數(shù)據(jù)的波動大?。讲钶^大的波動較大，方差較小的波動較小，方差的單位是原數(shù)據(jù)的單位的平方，標準差的單位與原數(shù)據(jù)的單位相同，不要漏寫單位．2．直接計算總體的平均數(shù)、方差、標準差比較麻煩，有時甚至不可能，所以常用樣本的這些數(shù)字特征來估計總體的數(shù)字特征．,【例3】對劃艇運動員甲、乙兩人在相同的條件下進行了6次測試，測得他們最大速度的數(shù)據(jù)如下：甲：27,38,30,37,35,31；乙：33,29,38,34,28,36.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試判斷他們誰更優(yōu)秀．如果選一人參加比賽，你認為選誰更合適？思路點撥：看哪名劃艇運動員優(yōu)秀，只要比較甲、乙兩名劃艇運動員的平均成績即可；要比較哪名劃艇運動員發(fā)揮穩(wěn)定，只要看它們成績的方差即可，因為方差是體現(xiàn)一組數(shù)據(jù)波動大小的特征數(shù)．,明，甲、乙兩人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更穩(wěn)定，故乙比甲更優(yōu)秀．選乙參加比賽更合適．,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7.去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為________．解析：平均數(shù)＝＝9.5.方差s2＝[(9.4－9.5)2＋(9.4－9.5)2＋…＋(9.7－9.5)2]＝0.016.答案：9.5,0.016,變式3：在一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分數(shù)如下：9.4，,1．用樣本估計總體是統(tǒng)計的基本思想，而頻率分布表和頻率分布直方圖就是用樣本的頻率分布去估計總體分布的兩種主要方法．分布表在數(shù)量表示上比較確切，直方圖比較直觀．2．頻率分布表中的頻數(shù)之和等于樣本容量，各組中的頻率之和等于1；在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應各組的頻率，所以，所有小矩形的面積的和等于1.,【規(guī)律方法總結】,3．用莖葉圖優(yōu)點是原有信息不會抹掉，能夠展開數(shù)據(jù)分布情況，但當樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時，莖葉圖顯得不太方便．4．標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。畼藴什?、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標準差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差.,【例4】(2009江蘇卷)某校甲、乙兩個班級各有5名編號為1,2,3,4,5的學生進行投籃練習，每人投10次，投中的次數(shù)如下表：則以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個為s2＝________.,【高考真題】,分析：先計算平均數(shù)，再根據(jù)方差的計算公式進行計算，然后進行比較．規(guī)范解答：兩個班的平均數(shù)都是7，甲班的方差為s2＝乙班的方差為s2＝因為，故填.答案：,本題考查對數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的分析和方差的計算，對數(shù)據(jù)穩(wěn)定性進行直觀判斷以比較其方差(標準差)的大小在以往的高考中也有先例，如2007年海南、寧夏卷中：甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成績如下表,【全解密】,【命題探究】,s1，s2，s3分別表示甲、乙、丙三名運動員這次測試成績的標準差，則有()A．s3>s1>s2B．s2>s1>s3C．s1>s2>s3D．s2>s3>s1答案：B,平均數(shù)與方差的計算公式．一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)和方差分別是：,【知識鏈接】,由于方差的大小反映的是數(shù)據(jù)組中的數(shù)據(jù)離開平均數(shù)的集中或分散的程度，數(shù)據(jù)組的方差小則表明數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度小，因此在計算該類問題時可以先根據(jù)方差的這個意義進行判斷，再進行有選擇的計算數(shù)據(jù)，甲班的數(shù)據(jù)有三個和平均數(shù)相等，6和8只偏離平均數(shù)1個單位，而乙班的數(shù)據(jù)只有2個和平均數(shù)相等，6,6,9各偏離平均數(shù)1,1,2個單位，顯然甲班的數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度較小，故應該是甲班的方差較小，直接計算甲班的方差即可．,【方法探究】,方差計算相對繁瑣，容易出現(xiàn)計算上的錯誤，方差公式和平均數(shù)公式中都有個，在計算時不要忘了.,【誤點警示】,1．某單位年收入在10000到15000、15000到20000、20000到25000、25000到30000、30000到35000、35000到40000及40000到50000元之間的職工所占的比分別為10%,15%,20%,25%,15%,10%和5%，試估計該單位職工的平均年收入．分析：題中的比就是各組的頻率，用各組中值來近似表示組內平均值，從而用公式直接計算平均年收入．,解：估計該單位職工的平均年收入為：1250010%＋1750015%＋2250020%＋2750025%＋3250015%＋3750010%＋450005%＝26125(元)故估計該單位人均年收入均為26125元．,2．從甲、乙兩種玉米苗中各抽10株，測得它們的株高的莖葉圖如右圖(單位：cm)．問：(1)哪種玉米的苗長得高？(2)哪種玉米的苗長得整齊？分析：首先由莖葉圖讀出數(shù)據(jù)，計算平均數(shù)，注意簡便算法，然后求標準差，再依據(jù)結果比較．看哪種玉米的苗長得高，只要比較甲、乙兩種玉米的平均高度即可；要比較哪種玉米的苗長得比較整齊，只要看兩種玉米的苗高的方差即可，因為方差是體現(xiàn)一組數(shù)據(jù)波動大小的特征數(shù)．,解：(1)甲＝(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30(cm)，乙＝(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31(cm)．∴甲＜乙．,(2)s＝[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝104.2(cm2)，s＝[(2272＋3162＋3402＋2442)－10312]＝128.8(cm2)．所以，乙種玉米苗長得高，甲種玉米苗長得整齊．,