蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件9.2總體特征數(shù)的估計(jì).ppt

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了解頻率分布的意義和作用，會(huì)列頻率分布表，會(huì)畫(huà)頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點(diǎn)/理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差/能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并給出合理的解釋/會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想/會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．,第2課時(shí)總體分布的估計(jì)、總體特征數(shù)的估計(jì),1．在表示樣本數(shù)據(jù)的過(guò)程中，學(xué)會(huì)列頻率分布表、畫(huà)頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征．2．能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并做出合理地解釋?zhuān)?【命題預(yù)測(cè)】,3．初步了解如何運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究，提高統(tǒng)計(jì)的準(zhǔn)確性和科學(xué)性；正確理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差．4．掌握從實(shí)際問(wèn)題中提取數(shù)據(jù)，利用樣本數(shù)據(jù)對(duì)總體水平作出估計(jì)的方法．,1．畫(huà)頻率分布直方圖的基本步驟是：(1)求極差；(2)決定組距與組數(shù)；(3)將數(shù)據(jù)分組；(4)列頻率分布表；(5)對(duì)每一組，求頻率/組距，用若干小矩形的面積表示數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組的頻率的大?。渲幸⒁庖韵聨讉€(gè)問(wèn)題：(1)將數(shù)據(jù)分組，組數(shù)要力求合適，組數(shù)太多或太少，都會(huì)影響我們了解數(shù)據(jù)的分布情況；(2)組距盡可能“取整”，組數(shù)可“進(jìn)一”；(3)分點(diǎn)比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并把第一組的下限“略”去或起點(diǎn)微減，使樣本數(shù)據(jù)都落在所分組的內(nèi)部；(4)各小長(zhǎng)方形的面積的總和等于1.,【應(yīng)試對(duì)策】,(1)頻率分布直方圖能夠很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的狀態(tài)，使我們能夠看到的分布表中看不清楚的數(shù)據(jù)模式，但是從圖形本身不能看出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容．(2)頻率分布折線圖的優(yōu)點(diǎn)是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)．如果樣本容量不斷增大，折線圖趨向于總體密度曲線．(3)用莖葉圖刻畫(huà)數(shù)據(jù)有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是所有的信息都可以在莖葉圖中得到；二是莖葉圖便于記錄和表示，能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況．但當(dāng)樣本容量較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時(shí)，用莖葉圖描述就顯得不方便了．,2．三種圖形各有優(yōu)點(diǎn)及缺點(diǎn)：,3．從頻率分布直方圖可以清楚地看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢(shì)，但從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的數(shù)據(jù)信息就被抹掉了．一般情況下，平均數(shù)是直方圖的重心，眾數(shù)在最高小矩形的中點(diǎn)處，中位數(shù)的左右矩形的面積應(yīng)相等，它對(duì)極端值不敏感．總體密度曲線是客觀存在的，但一般很難像函數(shù)圖像那樣準(zhǔn)確地畫(huà)出來(lái)，我們只能用樣本的頻率分布對(duì)它進(jìn)行估計(jì)，一般來(lái)說(shuō)，樣本容量越大，這種估計(jì)就越精確．,(1)標(biāo)準(zhǔn)差的平方就是方差，即(2)方差的計(jì)算①基本公式②簡(jiǎn)化計(jì)算公式(Ⅰ)或?qū)懗杉捶讲畹扔谠瓟?shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．③簡(jiǎn)化計(jì)算公式(Ⅱ),4．標(biāo)準(zhǔn)差和方差的關(guān)系及計(jì)算,平均數(shù)、方差的公式推廣1．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是m＋a.2．?dāng)?shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.,【知識(shí)拓展】,1．編制頻率分布表的步驟(1)求全距，決定組距和組數(shù)，組距＝.(2)分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取區(qū)間，最后一組?。?3)登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表．,前閉后開(kāi),閉區(qū)間,2．作頻率分布直方圖的方法(1)先制作頻率分布表，然后作直角坐標(biāo)系；(2)把橫軸分成若干段，每一線段對(duì)應(yīng)一個(gè)組的，然后以此線段為底作一，它的高等于該組的，這樣得出一系列的．(3)每個(gè)矩形的面積恰好是該組的，這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖．,矩形,頻率/組距,矩形,頻率,組距,3．莖葉圖的畫(huà)法要求莖按從小到大的順序從上向下列出，共莖的葉一般按從小到大(或從大到小)的順序列出．,同行,4．平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和方差(1)平均數(shù)稱(chēng)為n個(gè)數(shù)據(jù)a1，a2，…，an的或均值，一般記為＝.(2)標(biāo)準(zhǔn)差和方差設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，其平均數(shù)為，稱(chēng)為這個(gè)樣本的方差，稱(chēng)其算術(shù)平方根s＝為．,平均數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差,思考：現(xiàn)實(shí)中的總體所包含個(gè)體數(shù)往往是很多的，如何求得總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差呢？提示：通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，這與用樣本的頻率分布來(lái)近似地代替總體分布是類(lèi)似的，只要樣本的代表性好，這樣做就是合理的，也是可以接受的．,1．(2010東北師大附中高三測(cè)試)一個(gè)容量為20的樣本，已知某組的頻率為0.25，則該組的頻數(shù)為_(kāi)_______．解析：設(shè)頻數(shù)為x，則＝0.25，∴x＝0.2520＝5.答案：5,2．(2010江蘇通州市高三素質(zhì)檢測(cè))某射擊運(yùn)動(dòng)員在四次射擊中分別打出了10，x,10,8環(huán)的成績(jī)，已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9，則這組數(shù)據(jù)的方差是________．答案：1,3．已知一組數(shù)據(jù)：20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的大小關(guān)系是________．解析：平均數(shù)＝＝50，按由小到大排列可知，中位數(shù)是50，眾數(shù)也是50.答案：眾數(shù)＝中位數(shù)＝平均數(shù),4．(江蘇南通模擬)甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員參加某大型運(yùn)動(dòng)會(huì)的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績(jī)?nèi)缦卤?單位：環(huán))如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應(yīng)是________．答案：甲,5．一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)了樣本的頻率分布直方圖(如圖)．為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查，則在[2500,3000)(元)月收入段應(yīng)抽出________人．,解析：分析頻率分布直方圖可知：[1000,1500)頻率0.10；[1500,2000)頻率0.20；[2000，2500)頻率0.25；[2500,3000)頻率0.25；[3000，3500)頻率0.15；[3500，4000)頻率0.05，∴設(shè)在[2500,3000)內(nèi)抽x人．=0.25.∴x=25(人)．答案：25,頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布：(1)頻率分布直方圖中橫坐標(biāo)表示，縱坐標(biāo)表示，頻率＝組距.(2)頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1，因此在頻率分布直方圖中組距是一個(gè)固定值，所以各小長(zhǎng)方形高的比也就是頻率比．(3)頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種形式，前者準(zhǔn)確，后者直觀．(4)眾數(shù)為最高矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(5)中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．,(1)列出頻率分布表；(2)畫(huà)出頻率分布直方圖；(3)估計(jì)電子元件壽命在100h～400h以?xún)?nèi)的頻率；(4)估計(jì)電子元件壽命在400h以上的頻率．,【例1】對(duì)某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，情況如下.,思路點(diǎn)撥：從分組中看壽命在某一范圍內(nèi)的電子元件的比例即壽命在該范圍內(nèi)的頻率．解：(1)樣本頻率分布表如下：,(2)頻率分布直方圖如圖：(3)電子元件壽命在100h～400h以?xún)?nèi)的頻數(shù)為130，則頻率為=0.65.(4)壽命在400h以上的電子元件的頻數(shù)為70，則頻率為=0.35.,變式1：(江蘇省高考命題研究專(zhuān)家原創(chuàng)卷)為了了解某電子元件的使用壽命，抽取容量為10000的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，根據(jù)此圖估計(jì)樣本中該電子元件的使用壽命在200～400小時(shí)的數(shù)量是________個(gè)．,解析：由頻率分布直方圖知：該電子元件的使用壽命在200～300小時(shí)的頻率為100＝0.15，該電子元件的使用壽命在300～400小時(shí)的頻率為100＝0.25，所以該電子元件的使用壽命在200～400小時(shí)的頻率為0.15＋0.25＝0.4，所以該電子元件的使用壽命在200～400小時(shí)的數(shù)量為0.410000＝4000.答案：4000,莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù)．在樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多時(shí)，莖葉圖就顯得不太方便了．,如下：甲的得分：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107；乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.畫(huà)出兩人數(shù)學(xué)成績(jī)的莖葉圖，請(qǐng)根據(jù)莖葉圖對(duì)兩人的成績(jī)進(jìn)行比較．思路點(diǎn)撥：用中間的數(shù)字表示兩位同學(xué)得分的十位數(shù)或百位數(shù)，兩邊的數(shù)字分別表示兩人每次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的個(gè)位數(shù)．,【例2】某中學(xué)高一(2)班甲、乙兩名同學(xué)自高中以來(lái)每次數(shù)學(xué)考試成績(jī)情況,解：甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績(jī)的莖葉圖如圖所示．從這個(gè)莖葉圖上可以看出，乙同學(xué)的得分情況是大致對(duì)稱(chēng)的，中位數(shù)是98；甲同學(xué)的得分情況除一個(gè)特殊得分外，也大致對(duì)稱(chēng)，中位數(shù)是88.因此乙同學(xué)發(fā)揮比較穩(wěn)定，總體得分情況比甲同學(xué)好．,變式2：(南通市高三調(diào)研)如圖是某興趣小組的學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的得分莖葉圖，則該組男生的平均得分與女生的平均得分之差是________．解析：所有男生的得分的個(gè)位上數(shù)字之和為47，所以男生的總得分為47+903+802+702+602+501=787，因此男生的平均得分為78.7，同理得女生的平均得分為77.2，所以男生的平均得分與女生的平均得分之差是1.5.答案：1.5,1．平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差都是總體的特征數(shù)．平均數(shù)能反映總體平均值的水平，方差、標(biāo)準(zhǔn)差用來(lái)描述波動(dòng)情況．常用來(lái)比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大?。讲钶^大的波動(dòng)較大，方差較小的波動(dòng)較小，方差的單位是原數(shù)據(jù)的單位的平方，標(biāo)準(zhǔn)差的單位與原數(shù)據(jù)的單位相同，不要漏寫(xiě)單位．2．直接計(jì)算總體的平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差比較麻煩，有時(shí)甚至不可能，所以常用樣本的這些數(shù)字特征來(lái)估計(jì)總體的數(shù)字特征．,【例3】對(duì)劃艇運(yùn)動(dòng)員甲、乙兩人在相同的條件下進(jìn)行了6次測(cè)試，測(cè)得他們最大速度的數(shù)據(jù)如下：甲：27,38,30,37,35,31；乙：33,29,38,34,28,36.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試判斷他們誰(shuí)更優(yōu)秀．如果選一人參加比賽，你認(rèn)為選誰(shuí)更合適？思路點(diǎn)撥：看哪名劃艇運(yùn)動(dòng)員優(yōu)秀，只要比較甲、乙兩名劃艇運(yùn)動(dòng)員的平均成績(jī)即可；要比較哪名劃艇運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮穩(wěn)定，只要看它們成績(jī)的方差即可，因?yàn)榉讲钍求w現(xiàn)一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的特征數(shù)．,明，甲、乙兩人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更穩(wěn)定，故乙比甲更優(yōu)秀．選乙參加比賽更合適．,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7.去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為_(kāi)_______．解析：平均數(shù)＝＝9.5.方差s2＝[(9.4－9.5)2＋(9.4－9.5)2＋…＋(9.7－9.5)2]＝0.016.答案：9.5,0.016,變式3：在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：9.4，,1．用樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)的基本思想，而頻率分布表和頻率分布直方圖就是用樣本的頻率分布去估計(jì)總體分布的兩種主要方法．分布表在數(shù)量表示上比較確切，直方圖比較直觀．2．頻率分布表中的頻數(shù)之和等于樣本容量，各組中的頻率之和等于1；在頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，所以，所有小矩形的面積的和等于1.,【規(guī)律方法總結(jié)】,3．用莖葉圖優(yōu)點(diǎn)是原有信息不會(huì)抹掉，能夠展開(kāi)數(shù)據(jù)分布情況，但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時(shí)，莖葉圖顯得不太方便．4．標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫(huà)樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的，但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.,【例4】(2009江蘇卷)某校甲、乙兩個(gè)班級(jí)各有5名編號(hào)為1,2,3,4,5的學(xué)生進(jìn)行投籃練習(xí)，每人投10次，投中的次數(shù)如下表：則以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個(gè)為s2＝________.,【高考真題】,分析：先計(jì)算平均數(shù)，再根據(jù)方差的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算，然后進(jìn)行比較．規(guī)范解答：兩個(gè)班的平均數(shù)都是7，甲班的方差為s2＝乙班的方差為s2＝因?yàn)椋侍?答案：,本題考查對(duì)數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的分析和方差的計(jì)算，對(duì)數(shù)據(jù)穩(wěn)定性進(jìn)行直觀判斷以比較其方差(標(biāo)準(zhǔn)差)的大小在以往的高考中也有先例，如2007年海南、寧夏卷中：甲、乙、丙三名射箭運(yùn)動(dòng)員在某次測(cè)試中各射箭20次，三人的測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤?【全解密】,【命題探究】,s1，s2，s3分別表示甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員這次測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，則有()A．s3>s1>s2B．s2>s1>s3C．s1>s2>s3D．s2>s3>s1答案：B,平均數(shù)與方差的計(jì)算公式．一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)和方差分別是：,【知識(shí)鏈接】,由于方差的大小反映的是數(shù)據(jù)組中的數(shù)據(jù)離開(kāi)平均數(shù)的集中或分散的程度，數(shù)據(jù)組的方差小則表明數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度小，因此在計(jì)算該類(lèi)問(wèn)題時(shí)可以先根據(jù)方差的這個(gè)意義進(jìn)行判斷，再進(jìn)行有選擇的計(jì)算數(shù)據(jù)，甲班的數(shù)據(jù)有三個(gè)和平均數(shù)相等，6和8只偏離平均數(shù)1個(gè)單位，而乙班的數(shù)據(jù)只有2個(gè)和平均數(shù)相等，6,6,9各偏離平均數(shù)1,1,2個(gè)單位，顯然甲班的數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度較小，故應(yīng)該是甲班的方差較小，直接計(jì)算甲班的方差即可．,【方法探究】,方差計(jì)算相對(duì)繁瑣，容易出現(xiàn)計(jì)算上的錯(cuò)誤，方差公式和平均數(shù)公式中都有個(gè)，在計(jì)算時(shí)不要忘了.,【誤點(diǎn)警示】,1．某單位年收入在10000到15000、15000到20000、20000到25000、25000到30000、30000到35000、35000到40000及40000到50000元之間的職工所占的比分別為10%,15%,20%,25%,15%,10%和5%，試估計(jì)該單位職工的平均年收入．分析：題中的比就是各組的頻率，用各組中值來(lái)近似表示組內(nèi)平均值，從而用公式直接計(jì)算平均年收入．,解：估計(jì)該單位職工的平均年收入為：1250010%＋1750015%＋2250020%＋2750025%＋3250015%＋3750010%＋450005%＝26125(元)故估計(jì)該單位人均年收入均為26125元．,2．從甲、乙兩種玉米苗中各抽10株，測(cè)得它們的株高的莖葉圖如右圖(單位：cm)．問(wèn)：(1)哪種玉米的苗長(zhǎng)得高？(2)哪種玉米的苗長(zhǎng)得整齊？分析：首先由莖葉圖讀出數(shù)據(jù)，計(jì)算平均數(shù)，注意簡(jiǎn)便算法，然后求標(biāo)準(zhǔn)差，再依據(jù)結(jié)果比較．看哪種玉米的苗長(zhǎng)得高，只要比較甲、乙兩種玉米的平均高度即可；要比較哪種玉米的苗長(zhǎng)得比較整齊，只要看兩種玉米的苗高的方差即可，因?yàn)榉讲钍求w現(xiàn)一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的特征數(shù)．,解：(1)甲＝(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30(cm)，乙＝(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31(cm)．∴甲＜乙．,(2)s＝[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝104.2(cm2)，s＝[(2272＋3162＋3402＋2442)－10312]＝128.8(cm2)．所以，乙種玉米苗長(zhǎng)得高，甲種玉米苗長(zhǎng)得整齊．,