蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件8.4直線與圓的位置關(guān)系.ppt
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能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系/能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程，判斷兩圓的位置關(guān)系/利用直線和圓的方程解決一些簡單問題/初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想．【命題預(yù)測】這部分知識是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)，主要考查直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系、軌跡問題及與圓有關(guān)的最值問題．,第4課時(shí)直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系,【應(yīng)試對策】1．代數(shù)法和幾何法是判斷直線和圓的位置關(guān)系的兩種方法，在使用這兩種方法時(shí)要正確進(jìn)行選擇．如果是直線和圓相切的問題，通?？梢岳脠A心到直線的距離和半徑的關(guān)系進(jìn)行判斷；但是直線和圓相交的問題通常使用代數(shù)法進(jìn)行解決，在求出弦長之后再結(jié)合實(shí)際圖形來解決，特別是利用相關(guān)的直角三角形可以降低運(yùn)算量．研究直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，要緊緊抓住圓心到直線的距離與圓半徑的大小關(guān)系這一知識點(diǎn)，這個(gè)過程充分體現(xiàn)并運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，這是解析幾何中重要的數(shù)學(xué)思想方法．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解題時(shí)要注意作圖的準(zhǔn)確性，分類討論時(shí)要做到不重、不漏．在對含有參數(shù)的直線和圓的方程進(jìn)行判斷時(shí)，還可以通過分析直線與圓是否過定點(diǎn)進(jìn)行判斷，從而達(dá)到簡化運(yùn)算的目的.,2．判定兩圓位置關(guān)系的難點(diǎn)在于求圓心距及兩圓半徑，一般把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出兩圓圓心，代入兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出圓心距，然后比較與兩圓半徑的和與差的大小即可．有時(shí)候也可以根據(jù)兩圓的實(shí)際圖形及圓的弦所具有的性質(zhì)進(jìn)行判定，但是無論如何最好先把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再進(jìn)行下一步的分析．對于求兩圓的切線問題通常是根據(jù)實(shí)際圖形，利用代數(shù)與幾何知識相結(jié)合的方法進(jìn)行求解．判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)，應(yīng)先求圓的半徑和圓心坐標(biāo)，再求兩圓的圓心距，最后比較圓心距和兩圓半徑和、差的絕對值的大小關(guān)系．兩圓相交弦所在直線的方程是由兩個(gè)圓的方程聯(lián)立組成的方程組確定的，消去二次項(xiàng)后所得的二元一次方程就是兩圓公共弦所在的直線方程．,3．過圓外一點(diǎn)的切線必有兩條，無論用幾何法還是代數(shù)法，當(dāng)求得的值只有一個(gè)時(shí)，則另一條的切線斜率一定不存在，可由數(shù)形結(jié)合法求出．確定兩圓的公切線的條數(shù)，首先應(yīng)判斷兩圓的位置關(guān)系，從而防止漏解．一般地，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)有一條公切線，外切時(shí)有三條公切線，相交時(shí)有兩條公切線，外離時(shí)有四條公切線，內(nèi)含時(shí)無公切線．切點(diǎn)與圓心的連線與切線垂直這一幾何性質(zhì)在解題中有著廣泛的運(yùn)用．掌握圓心距和兩圓半徑的關(guān)系以及圓的平面幾何性質(zhì)對于解決圓的問題起到很重要的作用．涉及與圓的弦有關(guān)的問題時(shí)，為簡化運(yùn)算，常利用半弦長、弦心距及半徑構(gòu)成的直角三角形進(jìn)行解題．,與圓有關(guān)的最值問題解直線與圓的最值問題主要有以下兩種思路：(1)代數(shù)法：利用平面幾何中的有關(guān)公式，構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，然后根據(jù)函數(shù)最值的求法進(jìn)行求解．在轉(zhuǎn)化過程中常用到向量的數(shù)量積、二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、換元等知識和方法．(2)幾何法：找到所求式的幾何意義，在坐標(biāo)系中與圓建立聯(lián)系，分析其與圓的位置變化情況，找到最大、最小取值點(diǎn)．,【知識拓展】,例如：已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2＋y2＝2，求的最大值．此題條件方程“x2＋y2＝2”的幾何意義是點(diǎn)P(x，y)為圓x2＋y2＝2上的點(diǎn)，則就表示過點(diǎn)P(x，y)和點(diǎn)M(－2，－2)的直線的斜率．顯然當(dāng)直線MP與圓x2＋y2＝2相切時(shí)，kMP取最值．如果要求x＋y的最值，令x＋y＝b，則y＝－x＋b，那么b表示斜率為－1的直線與圓x2＋y2＝2相交或相切時(shí)直線的縱截距，只要作出圖象即可求出最值．,1．直線與圓的位置關(guān)系,0,2,,,2.圓與圓的位置關(guān)系,1．(2010栟茶高級中學(xué)學(xué)情分析)不論k為何實(shí)數(shù)，直線y＝kx＋1與曲線x2＋y2－2ax＋a2－2a－4＝0恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案：－1≤a≤3,2．若直線5x＋12y＋c＝0與圓(x－1)2＋(y－1)2＝9相切，則c的值為________．解析：由題意可得＝3，∴c＝22或c＝－56.答案：22或－56,3．經(jīng)過兩圓x2＋y2－2x＋2y－7＝0和x2＋y2＋4x－4y－8＝0的兩個(gè)交點(diǎn)的直線的方程是________________．解析：兩圓的方程相減得－6x＋6y＋1＝0，即6x－6y－1＝0.此方程表示的曲線過兩個(gè)圓的交點(diǎn)．因此，6x－6y－1＝0為所求直線方程．答案：6x－6y－1＝0,4．若兩圓x2＋y2＝4與x2＋y2－2ax＋a2－1＝0相內(nèi)切，則a＝________.解析：圓x2＋y2－2ax＋a2－1＝0可寫成(x－a)2＋y2＝1.兩圓的半徑分別為2,1，兩圓的圓心距為|a|.∵兩圓內(nèi)切，∴|a|＝2－1，a＝1.答案：1,5．直線x＋y－2＝0截圓x2＋y2＝4所得劣弧對應(yīng)的圓心角度數(shù)為________．解析：圓心到直線x＋y－2＝0的距離為|OH|＝，由|OA|＝2，得cos∠AOH＝.∴∠AOH＝30，∴∠AOB＝60.答案：60,直線l：Ax＋By＋C＝0(A、B不同時(shí)為零)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置關(guān)系的判斷方法有：(1)幾何方法：圓心(a，b)到直線Ax＋By＋C＝0的距離d＝，dr?直線與圓相離．(2)代數(shù)方法：由消元，得到的一元二次方程的判別式為Δ，則Δ>0?直線與圓相交；Δ＝0?直線與圓相切；Δ0)有公共點(diǎn)，則n－m的值為________．答案：10,1．求圓的切線一般有兩種方法，第一種方法是利用圓心到直線的距離等于半徑來求切線，這種方法較常用，第二種方法是利用判別式法．2．處理圓的弦長的問題常用弦心距、半弦長、半徑之間的關(guān)系來求，也可以利用公式：弦長＝|x1－x2|(其中k為弦所在直線的斜率，x1，x2為弦的端點(diǎn)的橫坐標(biāo))來求．,【例3】求與圓C：x2＋y2－2x＝0外切，與直線x＋y＝0相切于點(diǎn)(3，－)的圓的方程．思路點(diǎn)撥：采用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：圓C可化為(x－1)2＋y2＝1，設(shè)所求圓的圓心為A(a，b)，半徑為r(r＞0)，則點(diǎn)A滿足在過點(diǎn)(3，－)且與x＋y＝0垂直的直線上，即y＋=(x－3)，,化簡①得r＝2|a－3|，當(dāng)a≥3時(shí)，r＝2(a－3)，代入②解得a＝4，則b＝0，r＝2，所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4，當(dāng)a＜3時(shí)，r＝2(3－a)，代入②解得a＝0，則b＝－4，r＝6，所求圓的方程為x2＋(y＋4)2＝36，所以，所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.,變式3：已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10 x－12y＋m＝0.(1)m取何值時(shí)兩圓外切？(2)m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切？(3)求m＝45時(shí)兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．解：兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圓心分別為M(1,3)，N(5,6)，半徑分別為和.,(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，因定圓的半徑小于兩圓圓心間距離5，故只有＝5，解得m＝25－10.(3)兩圓的公共弦所在直線方程為(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10 x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0，∴公共弦長為＝2.,1．根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求弦長，一般不用判別式，而是用圓心到直線的距離與半徑大小關(guān)系求解．2．要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的性質(zhì)，如“垂直于弦的直徑必平分弦”“圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑”“兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線”等等，尋找解題途徑，減少運(yùn)算量．,【規(guī)律方法總結(jié)】,3．圓與直線l相切的情形——圓心到l的距離等于半徑，圓心與切點(diǎn)的連線垂直于l.4．圓與直線l相交的情形——圓心到l的距離小于半徑，過圓心而垂直于l的直線平分l被圓截得的弦；連接圓心與弦的中點(diǎn)的直線垂直于弦；過圓內(nèi)一點(diǎn)的所有弦中，最短的是垂直于過此點(diǎn)的直徑的那條弦，最長的是過這點(diǎn)的直徑．在解有關(guān)圓的解析幾何題時(shí)，主動(dòng)地、充分地利用這些性質(zhì)可以得到新奇的思路，避免冗長的計(jì)算．,【高考真題】【例4】(2009天津卷)若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的長為2，則a＝________.分析：求出兩圓的公共弦所在的直線方程，根據(jù)直線被圓所截得的弦長公式列方程求解．,規(guī)范解答：兩個(gè)圓的方程相減得公共弦所在的直線方程為y＝，則圓心(0,0)到直線的距離d＝，根據(jù)圓的半徑、弦心距、弦長之間的關(guān)系，可得22＝，又a>0，解得a＝1.故填1.答案：1,本題給出兩個(gè)圓的公共弦長，說明第二個(gè)圓也是定圓，通過這樣的設(shè)計(jì)考查圓與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系的基本知識，考查考生分析問題、解決問題的能力，是一道知識考查與能力考查并重的試題．這類題目也是對教材題目的適當(dāng)改造，本題設(shè)置了參數(shù)，問題實(shí)質(zhì)沒有變化．解決這類問題的一個(gè)基本方法就是求出兩個(gè)圓的公共弦所在的直線方程，根據(jù)直線被圓所截得的弦長公式解決．,【課本探源】,【全解密】,兩個(gè)圓的位置關(guān)系．兩圓的圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，圓心距|O1O2|＝d，則兩圓外離?d>r1＋r2；兩圓外切?d＝r1＋r2；兩圓相交?|r1－r2|下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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