蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件8.4直線與圓的位置關(guān)系.ppt
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能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系/能根據(jù)給定兩個圓的方程，判斷兩圓的位置關(guān)系/利用直線和圓的方程解決一些簡單問題/初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想．【命題預(yù)測】這部分知識是歷年高考的一個熱點(diǎn)，主要考查直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系、軌跡問題及與圓有關(guān)的最值問題．,第4課時直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系,【應(yīng)試對策】1．代數(shù)法和幾何法是判斷直線和圓的位置關(guān)系的兩種方法，在使用這兩種方法時要正確進(jìn)行選擇．如果是直線和圓相切的問題，通?？梢岳脠A心到直線的距離和半徑的關(guān)系進(jìn)行判斷；但是直線和圓相交的問題通常使用代數(shù)法進(jìn)行解決，在求出弦長之后再結(jié)合實(shí)際圖形來解決，特別是利用相關(guān)的直角三角形可以降低運(yùn)算量．研究直線與圓的位置關(guān)系時，要緊緊抓住圓心到直線的距離與圓半徑的大小關(guān)系這一知識點(diǎn)，這個過程充分體現(xiàn)并運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，這是解析幾何中重要的數(shù)學(xué)思想方法．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解題時要注意作圖的準(zhǔn)確性，分類討論時要做到不重、不漏．在對含有參數(shù)的直線和圓的方程進(jìn)行判斷時，還可以通過分析直線與圓是否過定點(diǎn)進(jìn)行判斷，從而達(dá)到簡化運(yùn)算的目的.,2．判定兩圓位置關(guān)系的難點(diǎn)在于求圓心距及兩圓半徑，一般把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出兩圓圓心，代入兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出圓心距，然后比較與兩圓半徑的和與差的大小即可．有時候也可以根據(jù)兩圓的實(shí)際圖形及圓的弦所具有的性質(zhì)進(jìn)行判定，但是無論如何最好先把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再進(jìn)行下一步的分析．對于求兩圓的切線問題通常是根據(jù)實(shí)際圖形，利用代數(shù)與幾何知識相結(jié)合的方法進(jìn)行求解．判斷兩圓的位置關(guān)系時，應(yīng)先求圓的半徑和圓心坐標(biāo)，再求兩圓的圓心距，最后比較圓心距和兩圓半徑和、差的絕對值的大小關(guān)系．兩圓相交弦所在直線的方程是由兩個圓的方程聯(lián)立組成的方程組確定的，消去二次項(xiàng)后所得的二元一次方程就是兩圓公共弦所在的直線方程．,3．過圓外一點(diǎn)的切線必有兩條，無論用幾何法還是代數(shù)法，當(dāng)求得的值只有一個時，則另一條的切線斜率一定不存在，可由數(shù)形結(jié)合法求出．確定兩圓的公切線的條數(shù)，首先應(yīng)判斷兩圓的位置關(guān)系，從而防止漏解．一般地，當(dāng)兩圓內(nèi)切時有一條公切線，外切時有三條公切線，相交時有兩條公切線，外離時有四條公切線，內(nèi)含時無公切線．切點(diǎn)與圓心的連線與切線垂直這一幾何性質(zhì)在解題中有著廣泛的運(yùn)用．掌握圓心距和兩圓半徑的關(guān)系以及圓的平面幾何性質(zhì)對于解決圓的問題起到很重要的作用．涉及與圓的弦有關(guān)的問題時，為簡化運(yùn)算，常利用半弦長、弦心距及半徑構(gòu)成的直角三角形進(jìn)行解題．,與圓有關(guān)的最值問題解直線與圓的最值問題主要有以下兩種思路：(1)代數(shù)法：利用平面幾何中的有關(guān)公式，構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，然后根據(jù)函數(shù)最值的求法進(jìn)行求解．在轉(zhuǎn)化過程中常用到向量的數(shù)量積、二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、換元等知識和方法．(2)幾何法：找到所求式的幾何意義，在坐標(biāo)系中與圓建立聯(lián)系，分析其與圓的位置變化情況，找到最大、最小取值點(diǎn)．,【知識拓展】,例如：已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2＋y2＝2，求的最大值．此題條件方程“x2＋y2＝2”的幾何意義是點(diǎn)P(x，y)為圓x2＋y2＝2上的點(diǎn)，則就表示過點(diǎn)P(x，y)和點(diǎn)M(－2，－2)的直線的斜率．顯然當(dāng)直線MP與圓x2＋y2＝2相切時，kMP取最值．如果要求x＋y的最值，令x＋y＝b，則y＝－x＋b，那么b表示斜率為－1的直線與圓x2＋y2＝2相交或相切時直線的縱截距，只要作出圖象即可求出最值．,1．直線與圓的位置關(guān)系,0,2,,,2.圓與圓的位置關(guān)系,1．(2010栟茶高級中學(xué)學(xué)情分析)不論k為何實(shí)數(shù)，直線y＝kx＋1與曲線x2＋y2－2ax＋a2－2a－4＝0恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案：－1≤a≤3,2．若直線5x＋12y＋c＝0與圓(x－1)2＋(y－1)2＝9相切，則c的值為________．解析：由題意可得＝3，∴c＝22或c＝－56.答案：22或－56,3．經(jīng)過兩圓x2＋y2－2x＋2y－7＝0和x2＋y2＋4x－4y－8＝0的兩個交點(diǎn)的直線的方程是________________．解析：兩圓的方程相減得－6x＋6y＋1＝0，即6x－6y－1＝0.此方程表示的曲線過兩個圓的交點(diǎn)．因此，6x－6y－1＝0為所求直線方程．答案：6x－6y－1＝0,4．若兩圓x2＋y2＝4與x2＋y2－2ax＋a2－1＝0相內(nèi)切，則a＝________.解析：圓x2＋y2－2ax＋a2－1＝0可寫成(x－a)2＋y2＝1.兩圓的半徑分別為2,1，兩圓的圓心距為|a|.∵兩圓內(nèi)切，∴|a|＝2－1，a＝1.答案：1,5．直線x＋y－2＝0截圓x2＋y2＝4所得劣弧對應(yīng)的圓心角度數(shù)為________．解析：圓心到直線x＋y－2＝0的距離為|OH|＝，由|OA|＝2，得cos∠AOH＝.∴∠AOH＝30，∴∠AOB＝60.答案：60,直線l：Ax＋By＋C＝0(A、B不同時為零)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置關(guān)系的判斷方法有：(1)幾何方法：圓心(a，b)到直線Ax＋By＋C＝0的距離d＝，dr?直線與圓相離．(2)代數(shù)方法：由消元，得到的一元二次方程的判別式為Δ，則Δ>0?直線與圓相交；Δ＝0?直線與圓相切；Δ0)有公共點(diǎn)，則n－m的值為________．答案：10,1．求圓的切線一般有兩種方法，第一種方法是利用圓心到直線的距離等于半徑來求切線，這種方法較常用，第二種方法是利用判別式法．2．處理圓的弦長的問題常用弦心距、半弦長、半徑之間的關(guān)系來求，也可以利用公式：弦長＝|x1－x2|(其中k為弦所在直線的斜率，x1，x2為弦的端點(diǎn)的橫坐標(biāo))來求．,【例3】求與圓C：x2＋y2－2x＝0外切，與直線x＋y＝0相切于點(diǎn)(3，－)的圓的方程．思路點(diǎn)撥：采用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：圓C可化為(x－1)2＋y2＝1，設(shè)所求圓的圓心為A(a，b)，半徑為r(r＞0)，則點(diǎn)A滿足在過點(diǎn)(3，－)且與x＋y＝0垂直的直線上，即y＋=(x－3)，,化簡①得r＝2|a－3|，當(dāng)a≥3時，r＝2(a－3)，代入②解得a＝4，則b＝0，r＝2，所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4，當(dāng)a＜3時，r＝2(3－a)，代入②解得a＝0，則b＝－4，r＝6，所求圓的方程為x2＋(y＋4)2＝36，所以，所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.,變式3：已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10 x－12y＋m＝0.(1)m取何值時兩圓外切？(2)m取何值時兩圓內(nèi)切？(3)求m＝45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．解：兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圓心分別為M(1,3)，N(5,6)，半徑分別為和.,(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時，因定圓的半徑小于兩圓圓心間距離5，故只有＝5，解得m＝25－10.(3)兩圓的公共弦所在直線方程為(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10 x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0，∴公共弦長為＝2.,1．根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求弦長，一般不用判別式，而是用圓心到直線的距離與半徑大小關(guān)系求解．2．要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的性質(zhì)，如“垂直于弦的直徑必平分弦”“圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑”“兩圓相切時，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線”等等，尋找解題途徑，減少運(yùn)算量．,【規(guī)律方法總結(jié)】,3．圓與直線l相切的情形——圓心到l的距離等于半徑，圓心與切點(diǎn)的連線垂直于l.4．圓與直線l相交的情形——圓心到l的距離小于半徑，過圓心而垂直于l的直線平分l被圓截得的弦；連接圓心與弦的中點(diǎn)的直線垂直于弦；過圓內(nèi)一點(diǎn)的所有弦中，最短的是垂直于過此點(diǎn)的直徑的那條弦，最長的是過這點(diǎn)的直徑．在解有關(guān)圓的解析幾何題時，主動地、充分地利用這些性質(zhì)可以得到新奇的思路，避免冗長的計算．,【高考真題】【例4】(2009天津卷)若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的長為2，則a＝________.分析：求出兩圓的公共弦所在的直線方程，根據(jù)直線被圓所截得的弦長公式列方程求解．,規(guī)范解答：兩個圓的方程相減得公共弦所在的直線方程為y＝，則圓心(0,0)到直線的距離d＝，根據(jù)圓的半徑、弦心距、弦長之間的關(guān)系，可得22＝，又a>0，解得a＝1.故填1.答案：1,本題給出兩個圓的公共弦長，說明第二個圓也是定圓，通過這樣的設(shè)計考查圓與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系的基本知識，考查考生分析問題、解決問題的能力，是一道知識考查與能力考查并重的試題．這類題目也是對教材題目的適當(dāng)改造，本題設(shè)置了參數(shù)，問題實(shí)質(zhì)沒有變化．解決這類問題的一個基本方法就是求出兩個圓的公共弦所在的直線方程，根據(jù)直線被圓所截得的弦長公式解決．,【課本探源】,【全解密】,兩個圓的位置關(guān)系．兩圓的圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，圓心距|O1O2|＝d，則兩圓外離?d>r1＋r2；兩圓外切?d＝r1＋r2；兩圓相交?|r1－r2|下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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