（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第22講 二倍角公式與簡單的三角恒等變換學(xué)案 理 新人教A版.docx

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第22講　二倍角公式與簡單的三角恒等變換 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α:sin 2α=　　　　　　. (2)公式C2α:cos 2α=　　　　　　=　　　　　　=　　　　　　. (3)公式T2α:tan 2α=　　　　　　. 2.常用的部分三角公式 (1)1-cos α=　　　　　,1+cos α=　　　　　.(升冪公式) (2)1sin α=　　　　　　　　　　.(升冪公式) (3)sin2α=　　　　　,cos2α=　　　　　　, tan2α=　　　　　.(降冪公式) (4)sin α=2tanα21+tan2α2,cos α=　　　　　　　　　,tan α=　　　　　　　　.(萬能公式) (5)asin α+bcos α=　　　　　　　　　　　,其中sin φ=ba2+b2,cos φ=aa2+b2.(輔助角公式) 3.三角恒等變換的基本技巧 (1)變換函數(shù)名稱:使用誘導(dǎo)公式. (2)升冪、降冪:使用倍角公式. (3)常數(shù)代換:如1=sin2α+cos2α=tanπ4. (4)變換角:使用角的代數(shù)變換、各類三角函數(shù)公式. 常用結(jié)論 半角公式: sin α2=1-cosα2,cos α2=1+cosα2,tan α2=1-cosα1+cosα=1-cosαsinα=sinα1+cosα. 題組一　常識(shí)題 1.[教材改編] sin 15-3cos 15的值是　　　　. 2.[教材改編] 已知f(x)=sin2x-12(x∈R),則f(x)的最小正周期是　　　　. 3.[教材改編] 已知cos(α+β)=13,cos(α-β)=15,則tan αtan β的值為　　　　. 4.[教材改編] 已知sin θ=35,θ為第二象限角,則sin 2θ的值為　　　　. 題組二　常錯(cuò)題 ◆索引:已知角與待求角之間關(guān)系不清致誤;已知三角函數(shù)值求角時(shí)范圍不清致誤;asin α+bcos α=a2+b2sin(α+φ)中φ值的確定錯(cuò)誤;求三角函數(shù)值時(shí)符號(hào)選取錯(cuò)誤(根據(jù)求解目標(biāo)的符號(hào)確定). 5.已知sinπ6-α=13,則cosπ3-2α=　　　　. 6.已知α,β均為銳角,且tan α=7,tan β=43,則α+β=　　　　. 7.sin α-cos α=2sin(α+φ)中的φ=　　　　. 8.已知sin 2α=34,2α∈0,π2,則sin α-cos α=　　　　. 探究點(diǎn)一　三角函數(shù)式的化簡 例1 [2018東莞考前沖刺] 化簡:cos2x-π12+sin2x+π12= (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1+12cos 2x B.1+12sin 2x C.1+cos 2x D.1+sin 2x (2)化簡:tan α+1tanπ4+α2= (　　) A.cos α B.sin α C.1cosα D.1sinα [總結(jié)反思] (1)化簡標(biāo)準(zhǔn):函數(shù)種類盡可能少、次數(shù)盡可能低、項(xiàng)數(shù)盡可能少、盡量不含根式、盡量不含絕對值等.(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)冪的作用. 變式題 1+sin6+1-sin6= (　　) A.2sin 3 B.-2sin 3 C.2cos 3 D.-2cos 3 探究點(diǎn)二　三角函數(shù)式的求值 角度1　給值求值 例2 (1)已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=35,則cos 2β的值為 (　　) A.725 B.1825 C.-725 D.-1825 (2)[2018廈門外國語學(xué)校月考] 已知tan θ+1tanθ=4,則cos2θ+π4= (　　) A.15 B.14 C.13 D.12 [總結(jié)反思] 給值求值是指已知某個(gè)角的三角函數(shù)值,求與該角相關(guān)的其他三角函數(shù)值的問題,解題的基本方法是通過角的三角函數(shù)的變換把求解目標(biāo)用已知條件表達(dá)出來. 變式題 (1)[2018菏澤模擬] 已知α∈3π2,2π,sinπ2+α=13,則tan(π+2α)= (　　) A.427 B.225 C.427 D.225 (2)[2018廣州七校聯(lián)考] 若sinπ6-α=13,則cos2π3+2α的值為 (　　) A.-13 B.-79 C.13 D.79 角度2　給角求值 例3 [2019重慶南州中學(xué)月考] 2cos10sin70-tan 20=(　　) A.1 B.3-12 C.3 D.32 [總結(jié)反思] 該類問題中給出的角一般都不是特殊角,需要通過三角恒等變換將其變?yōu)樘厥饨?或者能夠正負(fù)相消,或者能夠約分相消,最后得到具體的值. 變式題 tan 70cos 10(3tan 20-1)= (　　) A.1 B.2 C.-1 D.-2 角度3　給值求角 例4 若sin 2α=55,sin(β-α)=1010,且α∈π4,π,β∈π,3π2,則α+β的值是 (　　) A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4 [總結(jié)反思] 通過求角的某種三角函數(shù)值來求角,在選取函數(shù)時(shí),有以下原則: ①已知正切函數(shù)值,則選正切函數(shù). ②已知正、余弦函數(shù)值,則選正弦或余弦函數(shù).若角的范圍是0,π2,則選正、余弦皆可;若角的范圍是(0,π),則選余弦較好;若角的范圍為-π2,π2,則選正弦較好. 變式題 已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tan β=-17,則2α-β的值為　　　　. 探究點(diǎn)三　三角恒等變換的綜合應(yīng)用 例5 已知函數(shù)f(x)=4cos xsinx-π6+a的最大值為3. (1)求a的值及f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間; (2)若α∈0,π2,fα2=115,求cos α的值. [總結(jié)反思] (1)求三角函數(shù)解析式y(tǒng)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)時(shí)要注意φ的取值范圍.(2)根據(jù)二倍角公式進(jìn)行計(jì)算時(shí),如果涉及開方,則要注意開方后三角函數(shù)值的符號(hào). 變式題 設(shè)函數(shù)f(x)=sin x+3cos x+1. (1)求函數(shù)f(x)的值域和單調(diào)遞增區(qū)間; (2)當(dāng)f(α)=135,且π6<α<2π3時(shí),求sin2α+2π3的值. 第22講　二倍角公式與簡單的三角恒等變換 考試說明 能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式,進(jìn)行簡單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式,但對這三組公式不要求記憶). 【課前雙基鞏固】 知識(shí)聚焦 1.(1)2sin αcos α　(2)cos2α-sin2α　2cos2α-1　1-2sin2α　(3)2tanα1-tan2α 2.(1)2sin2α2　2cos2α2　(2)sinα2cosα22 (3)1-cos2α2　1+cos2α2　1-cos2α1+cos2α　(4)1-tan2α21+tan2α2　2tanα21-tan2α2　(5)a2+b2sin(α+φ) 對點(diǎn)演練 1.-2　[解析] sin 15-3cos 15=212sin 15-32cos 15=2(sin 30sin 15-cos 30cos 15)=-2cos(30+15)=-2cos 45=-2. 2.π　[解析] f(x)=sin2x-12=-cos2x2,故f(x)的最小正周期T=2π2=π. 3.-14　[解析] 由cos(α+β)=13,cos(α-β)=15, 得cosαcosβ-sinαsinβ=13,cosαcosβ+sinαsinβ=15, 解得cosαcosβ=415,sinαsinβ=-115, 所以tan αtan β=sinαsinβcosαcosβ=-14. 4.-2425　[解析] ∵sin θ=35,θ為第二象限角,∴cos θ=-45,∴sin 2θ=2sin θcos θ=235-45=-2425. 5.79　[解析] 由題意知,cosπ3-2α=1-2sin2π6-α=1-29=79. 6.3π4　[解析] tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=7+431-743=-1,又0<α+β<π,所以α+β=3π4. 7.2kπ-π4,k∈Z　[解析] sin α-cos α=222sin α-22cos α,則cos φ=22,sin φ=-22, 所以φ=2kπ-π4,k∈Z. 8.-12　[解析] 因?yàn)?α∈0,π2,所以α∈0,π4,所以sin α-cos α<0,所以sin α-cos α=-(sinα-cosα)2=-1-2sinαcosα=-1-34=-12. 【課堂考點(diǎn)探究】 例1　[思路點(diǎn)撥] (1)先根據(jù)余弦的二倍角公式降冪,再根據(jù)兩角和與差的余弦公式化簡得結(jié)果;(2)先化切為弦,再通分,然后利用兩角差的余弦公式求解. (1)B　(2)C　[解析] (1)cos2x-π12+sin2x+π12=1+cos2x-π62+1-cos2x+π62=1+12cos 2xcosπ6+sin 2xsinπ6-cos 2xcosπ6-sin 2xsinπ6=1+sin 2xsinπ6=1+12sin 2x,故選B. (2)tan α+1tanπ4+α2=sinαcosα+cosπ4+α2sinπ4+α2 =sinαsinπ4+α2+cosαcosπ4+α2cosαsinπ4+α2 =cosπ4+α2-αcosαsinπ4+α2=cosπ4-α2cosαsinπ4+α2 =sinπ4+α2cosαsinπ4+α2=1cosα.故選C. 變式題　D　[解析] 1+sin6+1-sin6=(1+sin6+1-sin6)2=1+sin6+1-sin6+2(1+sin6)(1-sin6)=2+2cos6=2+2(2cos23-1)=4cos23=-2cos 3. 例2　[思路點(diǎn)撥] (1)根據(jù)兩角差的正弦公式進(jìn)行化簡,求得sin β的值,再根據(jù)二倍角公式,即可得到答案;(2)由已知條件求得sin θcos θ的值,再由二倍角的正、余弦公式及誘導(dǎo)公式求值. (1)A　(2)B　[解析] (1)由題意得sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=sin(-β)=-sin β=35, 所以sin β=-35,所以cos 2β=1-2sin2β=725,故選A. (2)由tan θ+1tanθ=4, 得sinθcosθ+cosθsinθ=4,即sin2θ+cos2θsinθcosθ=4, ∴sin θcos θ=14, ∴cos2θ+π4=1+cos2θ+π22=1-sin2θ2=1-2sinθcosθ2=1-2142=14. 變式題　(1)A　(2)B　[解析] (1)∵α∈3π2,2π,sinπ2+α=cos α=13,∴sin α=-223,tan α=-22, ∴tan(π+2α)=tan 2α=2tanα1-tan2α=-42-7=427. (2)cos2π3+2α=cosπ-π3-2α=-cosπ3-2α=-cos 2π6-α=-1-2sin2π6-α=-1-219=-79. 例3　[思路點(diǎn)撥] 首先利用同角三角函數(shù)關(guān)系式,將切化弦,之后利用誘導(dǎo)公式化簡,借助于兩角差的正弦公式及輔助角公式求得結(jié)果. C　[解析] 2cos10sin70-tan 20=2cos10sin70-sin20cos20=2cos10-sin(30-10)sin70=32cos10+32sin10sin70=3sin(10+60)sin70=3,故選C. 變式題　C　[解析] 原式=sin70cos70cos 103sin20cos20-1=cos20cos10sin203sin20-cos20cos20=cos10sin202sin(20-30)=-sin20sin20=-1. 例4　[思路點(diǎn)撥] 轉(zhuǎn)化為求cos(α+β)的值,再求角α+β的值. A　[解析] ∵α∈π4,π,∴2α∈π2,2π, 又00,∴0<α<π2. 又∵tan 2α=2tanα1-tan2α=2131-132=34>0, ∴0<2α<π2, ∴tan(2α-β)=tan2α-tanβ1+tan2αtanβ=34+171-3417=1. ∵β∈(0,π),tan β=-17<0,∴π2<β<π,∴-π<2α-β<0, ∴2α-β=-3π4. 例5　[思路點(diǎn)撥] (1)利用兩角差的正弦公式和倍角公式對函數(shù)解析式化簡整理,利用函數(shù)的最大值求得a,進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性得到f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)由題意易得sinα-π6=35,進(jìn)而得到cosα-π6=45,利用配角法可得cos α=cosα-π6+π6,從而得到結(jié)果. 解:(1)由題意知,f(x)=4cos xsinx-π6+a=4cos x32sinx-12cosx+a=23sin xcos x-2cos2x+a=3sin 2x-cos 2x-1+a=2sin2x-π6-1+a. 當(dāng)sin2x-π6=1時(shí),f(x)取得最大值,此時(shí)f(x)=2-1+a=3,∴a=2. 由π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2kπ,k∈Z,得π3+kπ≤x≤5π6+kπ,k∈Z, ∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為π3+kπ,5π6+kπ,k∈Z. (2)由(1)可知,f(x)=2sin2x-π6+1,∵fα2=115,∴sinα-π6=35, 又α∈0,π2,∴α-π6∈-π6,π3,∴cosα-π6=45, ∴cos α=cosα-π6+π6=32cosα-π6-12sinα-π6=43-310. 變式題　解:(1)依題意得f(x)=sin x+3cos x+1=2sinx+π3+1. 因?yàn)?2≤2sinx+π3≤2,所以-1≤2sinx+π3+1≤3, 即函數(shù)f(x)的值域是[-1,3]. 令-π2+2kπ≤x+π3≤2kπ+π2,k∈Z,解得-5π6+2kπ≤x≤π6+2kπ,k∈Z,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-5π6+2kπ,π6+2kπ,k∈Z. (2)由f(α)=2sinα+π3+1=135,得sinα+π3=45. 因?yàn)棣?<α<2π3,所以π2<α+π3<π,所以cosα+π3=-35, 所以sin2α+2π3=sin 2α+π3=2sinα+π3cosα+π3=-24535=-2425. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【備選理由】 例1考查三角函數(shù)式的化簡;例2是給值求值問題;例3是給角求值問題的補(bǔ)充,給出的是非特殊角;例4是給值求角問題,選擇相應(yīng)的三角函數(shù)求值是解題的關(guān)鍵. 例1　[配合例1使用] 化簡:sin(α+β)cos α-12[sin(2α+β)-sin β]=　　　　. [答案] sin β [解析] 原式=sin(α+β)cos α-12[sin(α+β+α)-sin β] =sin(α+β)cos α-12[sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α-sin β] =12[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α]+12sin β =12sin β+12sin β=sin β. 例2　[配合例2使用] [2018資陽三診] 已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的正半軸重合,若它的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2,1),則tan2α+π4= (　　) A.-7 B.-17 C.17 D.7 [解析] A　由角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的正半軸重合,且它的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2,1),可得tan α=12,∴tan 2α=2tanα1-tan2α=11-14=43,∴tan2α+π4=tan2α+tanπ41-tan2αtanπ4=43+11-431=-7.故選A. 例3　[配合例3使用] 若a=2(cos216-sin216),b=sin 15+cos 15,c=1+cos56,則a,b,c的大小關(guān)系為 (　　) A.ccos 30>cos 32, ∴c>b>a.故選C. 例4　[配合例4使用] 已知α,β均為銳角,且sin α=55,cos β=1010,則α-β的值為　　　　. [答案] -π4 [解析] ∵α,β均為銳角,sin α=55,cos β=1010, ∴cos α=1-sin2α=255,sin β=1-cos2β=31010, ∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=551010-25531010=-22. 又∵-π2<α-β<π2,∴α-β=-π4.