（通用版）2020版高考數學大一輪復習 第19講 三角函數的圖像與性質學案 理 新人教A版.docx
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第19講 三角函數的圖像與性質 正弦函數、余弦函數、正切函數的圖像和性質(下表中k∈Z) 函數 y=sin x y=cos x y=tan x 圖像 定義域 R R x x∈R,且x≠ kπ+π2,k∈Z 值域 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函數 單調性 2kπ-π2,2kπ+π2上為增函數; 上為減函數 [2kπ,2kπ+π]上為減函數; 上為增函數 kπ-π2,kπ+π2上為增函數 對稱 中心 kπ+π2,0 kπ2,0 對稱軸 x=kπ+π2 無 常用結論 1.函數y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=2π|ω|,函數y=tan(ωx+φ)的最小正周期T=π|ω|. 2.正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半周期,相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是14周期.正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半周期. 3.三角函數中奇函數一般可化為y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,偶函數一般可化為y=Acos ωx+b的形式. 題組一 常識題 1.[教材改編] 函數y=2sin(2x-1)的最小正周期是 . 2.[教材改編] 若函數y=Asin x+1(A>0)的最大值是3,則它的最小值是 . 3.[教材改編] 函數y=2cos x在[-π,0]上是 函數,在[0,π]上是 函數. 4.[教材改編] 函數f(x)=tanx-1的定義域為 . 題組二 常錯題 ◆索引:忽視y=Asin x(或y=Acos x)中A對函數單調性的影響;忽視函數的定義域;忽視正、余弦函數的有界性;忽視正切函數的周期性. 5.函數y=1-2cos x的單調遞減區(qū)間是 . 6.函數y=cos xtan x的值域是 . 7.函數y=-cos2x+3cos x-1的最大值為 . 8.函數y=tanx+π4圖像的對稱中心是 . 探究點一 三角函數的定義域 例1 (1)函數f(x)=2-log2x+tanx+π3的定義域為 . (2)函數y=ln(2cos x+1)+sinx的定義域為 . [總結反思] 求三角函數的定義域實際上是解簡單的三角函數不等式(組),常借助三角函數線或三角函數的圖像來求解. 變式題 (1)函數y=sinx-cosx的定義域為 . (2)函數f(x)=sinx-13+2sinx的定義域是 . 探究點二 三角函數的值域或最值 例2 (1)函數y=2cos 2x-sin x+1的最大值是 . (2)[2018滄州質檢] 已知x∈-π4,π6,則函數f(x)=2cos xsinx+π3-3sin2x+sin xcos x的最大值與最小值之和為 . [總結反思] 求解三角函數的值域(最值)的幾種方法: ①形如y=asin x+bcos x+c的三角函數,化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域(最值); ②形如y=asin2x+bsin x+c的三角函數,可設t=sin x,化為關于t的二次函數求值域(最值); ③形如y=asin xcos x+b(sin xcos x)+c的三角函數,可設t=sin xcos x,化為關于t的二次函數求值域(最值). 變式題 (1)函數f(x)=sinx-π4-cosx-π4的最大值為 ( ) A.2 B.2 C.22 D.22 (2)函數y=cos x-sin x+4sin xcos x的值域是 . 探究點三 三角函數性質的有關問題 微點1 三角函數的周期性 例3 (1)在函數①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos2x+π6,④y=tan2x-π4中,最小正周期為π的所有函數為 ( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ (2)若函數f(x)=1+asinax+π6(a>0)的最大值為3,則f(x)的最小正周期為 . [總結反思] (1)公式法:函數y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=2π|ω|,y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=π|ω|;(2)圖像法:利用三角函數圖像的特征求周期. 微點2 三角函數的對稱性 例4 (1)[2018廣西賀州聯考] 若函數f(x)與g(x)的圖像有一條相同的對稱軸,則稱這兩個函數互為同軸函數.下列四個函數中,與f(x)=12x2-x互為同軸函數的是( ) A.g(x)=cos(2x-1) B.g(x)=sin πx C.g(x)=tan x D.g(x)=cos πx (2)[2018重慶合川區(qū)三模] 函數f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的圖像關于直線x=π3對稱,它的最小正周期為π,則函數f(x)的圖像的一個對稱中心是( ) A.π3,0 B.π12,0 C.5π12,0 D.-π12,0 [總結反思] (1)對于函數f(x)=Asin(ωx+φ),其圖像的對稱軸一定經過函數圖像的最高點或最低點,對稱中心一定是函數的零點,因此在判斷直線x=x0或點(x0,0)是否是函數圖像的對稱軸或對稱中心時,可通過檢驗f(x0)的值進行判斷. (2)函數圖像的對稱性與周期T之間有如下結論:①若函數圖像相鄰的兩條對稱軸分別為x=a與x=b,則最小正周期T=2|b-a|;②若函數圖像相鄰的兩個對稱中心分別為(a,0),(b,0),則最小正周期T=2|b-a|;③若函數圖像相鄰的對稱中心與對稱軸分別為(a,0)與x=b,則最小正周期T=4|b-a|. 微點3 三角函數的單調性 例5 (1)[2018烏魯木齊一檢] 已知π3為函數f(x)=sin(2x+φ)0<φ<π2的一個零點,則函數f(x)的單調遞增區(qū)間是 ( ) A.2kπ-5π12,2kπ+π12(k∈Z) B.2kπ+π12,2kπ+7π12(k∈Z) C.kπ-5π12,kπ+π12(k∈Z) D.kπ+π12,kπ+7π12(k∈Z) (2)[2018合肥一中月考] 已知ω>0,函數f(x)=cosωx+π3在π3,π2上單調遞增,則ω的取值范圍是( ) A.23,103 B.23,103 C.2,103 D.2,103 [總結反思] (1)形如y=Asin(ωx+φ)的函數的單調性問題,一般是將ωx+φ看成一個整體,再結合圖像利用y=sin x的單調性求解;(2)如果函數中自變量的系數為負值,要根據誘導公式把自變量系數化為正值,再確定其單調性. 應用演練 1.【微點3】[2018西安八校聯考] 已知函數f(x)=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=π3處取得最小值,則f(x)在[0,π]上的單調遞增區(qū)間是 ( ) A.π3,π B.π3,2π3 C.0,2π3 D.2π3,π 2.【微點3】[2018浙江余姚中學月考] 設f(x)=cos x,若a=f(ln 2),b=f(ln π),c=fln13,則下列關系式正確的是 ( ) A.a>b>c B.b>c>a C.a>c>b D.b>a>c 3.【微點2】[2019九江一中月考] 已知函數f(x)=Asinωx+π6的圖像上相鄰兩個對稱中心之間的距離為2,則函數的對稱軸方程可能是 ( ) A.x=1 B.x=14 C.x=23 D.x=-1 4.【微點1】[2018上海金山區(qū)二模] 函數y=3sin2x+π3的最小正周期T= . 第19講 三角函數的圖像與性質 考試說明 1.能畫出函數y=sin x,y=cos x,y=tan x的圖像,了解三角函數的周期性. 2.理解正弦函數、余弦函數在區(qū)間[0,2π]上的性質(如單調性、最大值和最小值、圖像與x軸的交點等),理解正切函數在區(qū)間-π2,π2內的單調性. 【課前雙基鞏固】 知識聚焦 1.[-1,1] [-1,1] R 奇函數 偶函數 2kπ+π2,2kπ+3π2 [2kπ-π,2kπ] (kπ,0) x=kπ 對點演練 1.π [解析] 最小正周期T=2πω=2π2=π. 2.-1 [解析] 依題意得A+1=3,所以A=2,所以函數y=2sin x+1的最小值為1-2=-1. 3.增 減 [解析] 由余弦函數的單調性,得函數y=2cos x在[-π,0]上是增函數,在[0,π]上是減函數. 4.π4+kπ,π2+kπ(k∈Z) [解析] 由題意知tan x≥1,所以π4+kπ≤x<π2+kπ(k∈Z). 5.[2kπ-π,2kπ](k∈Z) [解析] 函數y=1-2cos x的單調遞減區(qū)間即函數y=-cos x的單調遞減區(qū)間,即函數y=cos x的單調遞增區(qū)間,即為[2kπ-π,2kπ](k∈Z). 6.(-1,1) [解析] ∵x≠π2+kπ(k∈Z),y=cos xtan x=sin x,∴y=sin x∈(-1,1),即函數y=cos xtan x的值域是(-1,1). 7.1 [解析] 設t=cos x,則-1≤t≤1,所以y=-t2+3t-1=-t-322+54,當t=1時,函數取得最大值1. 8.kπ2-π4,0(k∈Z) [解析] 由x+π4=kπ2(k∈Z),得x=kπ2-π4(k∈Z),所以函數y=tanx+π4圖像的對稱中心為kπ2-π4,0(k∈Z). 【課堂考點探究】 例1 [思路點撥] 根據偶次根式和對數函數的性質以及正切函數、正弦函數、余弦函數的性質列出關于x的不等式組求解. (1)x0
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