2022年初三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)串講專題07 不等式（組）

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1、…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○………… 學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ …………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○………… 2022年初三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)串講專題07 不等式（組） 專題07 不等式組 【思維導(dǎo)圖】 【知識要點(diǎn)】 知識點(diǎn)一 不等式的有關(guān)概念和性質(zhì) 不等式的定義：用符號“”或“”表示大小關(guān)系的式子，叫作不等式.像a3這樣用符號“”表示不等關(guān)系的式子也是不等式。

2、【注意】 1.方程與不等式的區(qū)別：方程表示的是相等關(guān)系，不旁式表示的是不等關(guān)系。 2.常用的不等號有“”五種.“”“”不僅表示左右兩邊的不等關(guān)系，還明確表示左右兩邊的大小；“”“”也表示不等關(guān)系，前者表示“不小于”(大于或等于），后者表示“不大于”(小于或等于）；“”表示左右兩邊不相等。 3.在不等式a>b或a<b，a叫做不等式的左邊，b叫做不等式的右邊。 4.在列不等式時，一定要注意表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞。 不等式的解與解集： 不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值叫作不等式的解。 不等式的解集：一般地，一個含有未知數(shù)的不等 式的所有的解，組成這個不等式的解集。它可以在

3、數(shù)軸上直觀地表示出來，是數(shù)形結(jié)合的具體表現(xiàn)。 一般來說，不等式的解集用數(shù)軸表示有以下四種情況： 不等式表示 數(shù)軸表示 【注意】 1. 不等式的解與不等式的解集的區(qū)別與聯(lián)系： 1）不等式的解是指滿足這個不等式的未知數(shù)的某個值。 2）不等式的解集是指滿足這個不等式的未知數(shù)的所有的值。 3）不等式的所有解組成了這個不等式的解集，不等式的解集中包括這個不等式的每一個解。 2. 用數(shù)軸表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等號畫實(shí)心圓點(diǎn)，無等號畫空心圓圖。 不等式的性質(zhì)： 基本性質(zhì)1：不等式兩邊同時加或減去同一個整式，不等號方向不變，即 若a&g

4、t;b，則a+c>b+c，a-c>b-c。 基本性質(zhì)2：不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個大于0的整式，不等號方向不變，即 若a>b,c>0，則ac>bc（或ac>bc） 基本性質(zhì)3：不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個小于0的整式，不等號方向改變，即 若a>b,c<0，則ac<bc（或ac<bc） 基本性質(zhì)4：若a>b，則b<a。 基本性質(zhì)5：若a>b>c，則a>c。 基本性質(zhì)6：如果，，那么. 【注意】 1、根據(jù)不等式的性質(zhì)，可以將一個不等式變形，尤其要注意性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別，當(dāng)不等

5、式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向要改變。 2、不等號方向發(fā)生改變就是指原來的不等號方向變成其相反方向。 不等式性質(zhì)與等式性質(zhì)的相同和不同點(diǎn)： 相同點(diǎn)：都可以在兩邊加上或減去同一個式子 不同點(diǎn)： 1、 對于等式兩邊，乘（或除）以同一個正數(shù)（或負(fù)數(shù)），結(jié)果依然成立 2、 對于不等式兩邊，乘（或除）以同一個正數(shù)，不等號方向不變；乘（或除）以同一個負(fù)數(shù)，不等號方向發(fā)生改變； 解不等式的概念：求不等式的解集的過程叫作解不等式。 知識點(diǎn)二 解一元一次不等式 一元一次不等式的概念:不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，像這樣的不等式叫一元一次不等式

6、.一元一次不等式的一般形式為：或。 例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。 解一元一次不等式的一般步驟： ① 去分母；②去括號；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤未知數(shù)的系數(shù)化為1 解一元一次方程和解一元一次不等式的區(qū)別： 一元一次方程 一元一次不等式 解法的依據(jù) 方程得兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），方程的解不變 方程的兩邊乘（或除以）同一個不為零的數(shù)，方程的解不變 不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變 不等式的兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變 不等式的兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變 解法的步驟 ①去分母；②去

7、括號；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤未知數(shù)的系數(shù)化為1 ①去分母；②去括號；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤未知數(shù)的系數(shù)化為1 在步驟①和步驟⑤中，如果乘數(shù)（或除以）是負(fù)數(shù)，不等號要改變方向 解得情況 一元一次方程只有一個解 一元一次不等式可以有無數(shù)多個解 知識點(diǎn)三 解一元一次不等式組 一元一次不等式組的解集概念：一般地，幾個一元一次不等式解集的公共部分，叫做它們所組成的不等式組的解集。 不等式組解集的確定方法： 【注意】 1、 在求不等式組的解集的過程中，通常是利用數(shù)軸來確定不等式組的解集的。 2、 利用數(shù)軸表示不等式組解集時，要把幾個不等式的解集都表示出來，不能僅畫公共部分

8、。 解一元一次不等式組的一般步驟： 1. 求出不等式組中各不等式的解集 2. 將各不等式的解決在數(shù)軸上表示出來。 3. 在數(shù)軸上找出各不等式解集的公共部分，這個公共部分就是不等式組的解集。 【考查題型】 考查題型一 不等式的性質(zhì) 【解題思路】熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵 典例1（2020·浙江杭州市·中考真題）若a＞b，則（　　） A．a(chǎn)﹣1≥b B．b+1≥a C．a(chǎn)+1＞b﹣1 D．a(chǎn)﹣1＞b+1 【答案】C 【分析】舉出反例即可判斷A、B、D，根據(jù)不等式的傳遞性即可判斷C． 【詳解】解：A、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜

9、b，不符合題意； B、a＝3，b＝1，a＞b，但是b+1＜a，不符合題意； C、∵a＞b，∴a+1＞b+1，∵b+1＞b﹣1，∴a+1＞b﹣1，符合題意； D、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b+1，不符合題意． 故選：C． 變式1-1．（2020·江蘇宿遷市·中考真題）若a＞b，則下列等式一定成立的是（　?。? A．a(chǎn)＞b+2 B．a(chǎn)+1＞b+1 C．﹣a＞﹣b D．|a|＞|b| 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性質(zhì)判斷即可． 【詳解】A、由a＞b不一定能得出a＞b+2，故本選項(xiàng)不合題意； B、若a＞b，則a+1＞b+1，故本選項(xiàng)符合題

10、意； C、若a＞b，則﹣a＜﹣b，故本選項(xiàng)不合題意； D、由a＞b不一定能得出|a|＞|b|，故本選項(xiàng)不合題意． 故選：B． 變式1-2．（2020·廣西貴港市·中考真題）如果，，那么下列不等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)解答即可． 【詳解】 解：A、由a＜b，c＜0得到：a＋c＜b＋c，原變形正確，故此選項(xiàng)不符合題意； B、由a＜b，c＜0得到：ac＞bc，原變形正確，故此選項(xiàng)不符合題意； C、由a＜b，c＜0得到：ac＋1＞bc＋1，原變形正確，故此選項(xiàng)不符合題意； D、由a＜b，c＜0得

11、到：ac2＜bc2，原變形錯誤，故此選項(xiàng)符合題意． 故選：D． 變式1-3．（2020·山東濟(jì)南市·中考真題）若m﹣2，則一次函數(shù)的圖象可能是（　?。? A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由m＜﹣2得出m+1＜0，1﹣m＞0，進(jìn)而利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可． 【詳解】解：∵m＜﹣2， ∴m+1＜0，1﹣m＞0， 所以一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一，二，四象限， 故選：D． 考查題型二 解一元一次不等式 【解題思路】解一元一次不等式及用數(shù)軸表示不等式的解集，正確解不等式是解題關(guān)鍵，注意“＞”向右，“＜”向左，帶等號用實(shí)心，不帶等號用空心． 典例2．（2

12、020·浙江嘉興市·中考真題）不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解在數(shù)軸上表示正確的是（　?。? A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)可得不等式的解集，繼而可得答案． 【詳解】解：去括號，得：3﹣3x＞2﹣4x， 移項(xiàng)，得：﹣3x+4x＞2﹣3， 合并，得：x＞﹣1， 故選：A． 變式2-1．（2020·四川樂山市·中考真題）直線在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，則不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根據(jù)圖像求出直線解析式，然后根據(jù)

13、圖像可得出解集． 【詳解】解：根據(jù)圖像得出直線經(jīng)過（0，1），（2，0）兩點(diǎn)， 將這兩點(diǎn)代入得，解得， ∴直線解析式為：， 將y=2代入得， 解得x=-2， ∴不等式的解集是， 故選：C． 變式2-2．（2020·湖南株洲市·中考真題）下列哪個數(shù)是不等式的一個解？（ ） A．-3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】首先求出不等式的解集，然后判斷哪個數(shù)在其解集范圍之內(nèi)即可． 【詳解】解：解不等式，得 因?yàn)橹挥?3<,所以只有-3是不等式的一個解 故選：A 考查題型三 一元一次不等式的應(yīng)用 【解題思路】根據(jù)題意列不等式，以及確定

14、不等式的正整數(shù)解是解題的關(guān)鍵． 典例3．（2020·重慶中考真題）小明準(zhǔn)備用40元錢購買作業(yè)本和簽字筆．已知每個作業(yè)本6元，每支簽字筆2.2元．小明買了7支簽字筆，他最多還可以買的作業(yè)本個數(shù)為（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】設(shè)小明最多還可以買個作業(yè)本，根據(jù)題意列出不等式，利用不等式的正整數(shù)解可得答案． 【詳解】解：設(shè)小明最多還可以買個作業(yè)本，則 為正整數(shù)， 不等式的最大正整數(shù)解是： 小明最多還可以買4本作業(yè)本． 故選：B． 變式3-1．（2020·遼寧朝陽市·中考真題）某品牌襯衫進(jìn)價為12

15、0元，標(biāo)價為240元，商家規(guī)定可以打折銷售，但其利潤率不能低于，則這種品牌襯衫最多可以打幾折？（ ） A．8 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根據(jù)售價-進(jìn)價=利潤，利潤=進(jìn)價利潤率可得不等式，解之即可． 【詳解】設(shè)可以打x折出售此商品， 由題意得：240， 解得x6， 故選：B 變式3-2．（2019·重慶中考真題）某次知識競賽共有20題，答對一題得10分，答錯或不答扣5分，小華得分要超過120分，他至少要答對的題的個數(shù)為（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根據(jù)競賽得分答對的題數(shù)未答對的題數(shù)，根據(jù)本次競賽得

16、分要超過120分，列出不等式即可． 【詳解】解：設(shè)要答對x道． ， ， ， 解得：， 根據(jù)x必須為整數(shù)，故x取最小整數(shù)15，即小華參加本次競賽得分要超過120分，他至少要答對15道題． 故選C． 考查題型四 求一元一次不等式的特解的方法 【解題思路】考查不等式的特殊解，正確理解題意求出解集是解決此類題的關(guān)鍵 典例4．（2019·江蘇中考真題）不等式的非負(fù)整數(shù)解有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】D 【詳解】 解：， 解得：， 則不等式的非負(fù)整數(shù)解有：0，1，2，3共4個． 故選：D． 變式4-1．（2019·內(nèi)蒙古

17、中考模擬）不等式3（x﹣1）≤5﹣x的非負(fù)整數(shù)解有（   ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】C 【解析】 解不等式得：3x﹣3≤5﹣x，4x≤8，x≤2，所以不等式的非負(fù)整數(shù)解有0、1、2這3個，故答案選C． 變式4-2．（2017·廣東中考模擬）如圖，直線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則關(guān)于的不等式的整數(shù)解為（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【詳解】 當(dāng)時，對于，則．故的解集為．與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，觀察圖象可知的解集為．的解集為．為整數(shù)，． 變式4-3．（2019·內(nèi)蒙古中考模擬）不

18、等式的最小整數(shù)解是__． 【答案】0 【詳解】 解的解集為x＞-1， ∴最小整數(shù)解為0 考查題型五 確定不等式中字母的取值范圍的方法 【解題思路】先用含未知數(shù)的式子表示不等式的解集，在根據(jù)未知數(shù)的解集求未知數(shù) 典例5．（2019·黑龍江中考真題）已知x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____． 【答案】a≤-1. 【詳解】 解：∵x=4是不等式ax-3a-1＜0的解， ∴4a-3a-1＜0， 解得：a＜1， ∵x=2不是這個不等式的解， ∴2a-3a-1≥0， 解得：a≤-1， ∴a≤-1

19、， 故答案為：a≤-1． 變式5-1．（2019·四川中考真題）關(guān)于的不等式只有2個正整數(shù)解，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【詳解】 解：解不等式2x+a≤1得：, 不等式有兩個正整數(shù)解，一定是1和2， 根據(jù)題意得： 解得：-5＜a≤-3． 故選：C． 變式5-2．（2019·江蘇中考模擬）已知關(guān)于x的不等式x≥a-1的解集如圖所示,則a的值為__.  【答案】0 【解析】 由圖可得，, 考查題型六 確定一元一次不等式中待定字母的值的方法 典例6．（2019·河南中考模擬）若不等式組的

20、解集是﹣1＜x≤1，則a＝_____，b＝_____． 【答案】-2 -3 【詳解】 解：由題意得： 解不等式 ① 得: x>1+a , 解不等式②得:x≤ 不等式組的解集為: 1+a＜x≤ 不等式組的解集是﹣1＜x≤1, ..1+a=-1, =1, 解得:a=-2,b=-3 故答案為: -2, -3. 考查題型七 一元一次不等式組的解集的確定方法 典例7．（2018·湖南中考真題）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解不等式x+2＞0，得：x＞-2， 解不等式2x-4≤0，

21、得：x≤2， 則不等式組的解集為-2＜x≤2， 將解集表示在數(shù)軸上如下： 故選C． 變式7-1．（2019·山東中考模擬）一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來，正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 詳解：解不等式組得－3＜x≤2， 在數(shù)軸上表示為： 故選D. 變式7-2．（2019·江蘇中考模擬）下列四個不等式組中，解集在數(shù)軸上表示如圖所示的是（　?。? A． B． C． D． 【答案】D 【詳解】 由解集在數(shù)軸上的表示可知，該不等式組為， 故選D． 變式7-3．（2019·廣東中考模

22、擬）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ） A．B．C． D． 【答案】A 【詳解】 ∵解不等式①得：x＜1， 解不等式②得：x≥-1， ∴不等式組的解集為-1≤x＜1， 在數(shù)軸上表示為：， 故選A． 考查題型八 求一元一次不等式組的整數(shù)解的方法 典例8．（2019·臺灣中考真題）阿慧在店內(nèi)購買兩種蛋糕當(dāng)伴手禮，如圖為蛋糕的價目表．已知阿慧購買盒蛋糕，花費(fèi)的金額不超過元．若他將蛋糕分給位同事，每人至少能拿到一個蛋糕，則阿慧花多少元購買蛋糕？（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【詳解】 解：設(shè)阿慧購買盒桂圓蛋糕，則購買盒金爽蛋糕

23、，依題意有 ， 解得， 是整數(shù)， ， （元）． 答：阿慧花元購買蛋糕． 故選：D． 變式8-1．（2019·四川中考真題）紅星商店計(jì)劃用不超過4200元的資金，購進(jìn)甲、乙兩種單價分別為60元、100元的商品共50件，據(jù)市場行情，銷售甲、乙商品各一件分別可獲利10元、20元，兩種商品均售完．若所獲利潤大于750元，則該店進(jìn)貨方案有( ) A．3種 B．4種 C．5種 D．6種 【答案】C 【詳解】 解：設(shè)該店購進(jìn)甲種商品件，則購進(jìn)乙種商品件， 根據(jù)題意，得：， 解得：， ∵為整數(shù)，∴、21、22、23、24， ∴該店進(jìn)貨方案有5種， 故選：

24、C． 變式8-2．（2019·浙江中考模擬）如圖，等腰三角形 ABC 的周長為 20cm，底邊 BC 長為 y（cm），腰 AB 長為 x（cm）. （1）求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）求 x 的取值范圍； （3）腰長 AB=3 時，底邊的長． 【答案】（1）y＝20﹣2x；（2）5＜x＜10；（3）14． 【詳解】 （1）∵等腰三角形的腰長為 x，底邊長為 y，周長為 20， ∴y＝20﹣2x， （2）2x>20-2x20-2x>0， 解得：5＜x＜10． 所以x的取值范圍為5＜x＜10. （3）將x=3代入y＝20﹣2x得y=1

25、4，所以底邊的長為14. 考查題型九 求一元一次方程組中的待定字母的值 典例9．（2017·內(nèi)蒙古中考模擬）若不等式組2x-a<1x-2b>3的解集為﹣1＜x＜1，那么(a+1)(b﹣1)的值等于_____． 【答案】4 【解析】 先解不等式組，再對照已知解集-1<x<1，即可求出a、b的值． 解不等式組，得xa+12,且x3+2b對照已知解集-1<x<1有 {a+12=13+2b=-1解得{a=1b=-2∴a+1b-1=1+1-1-2=-6 變式9-1．（2012·四川中考真題）如果關(guān)于x的不等式組：{3x-a≥02x-

26、b≤0，的整數(shù)解僅有1，2，那么適合這個不等式組的整數(shù)a，b組成的有序數(shù)對（a，b）共有___________個． 【答案】6 【詳解】 {3x-a≥0①2x-b≤0②， 由①得：x≥a 3；由②得：x≤b2 ． ∵不等式組有解，∴不等式組的解集為：a 3≤x≤b2 ． ∵不等式組整數(shù)解僅有1，2，如圖所示： ， ∴0＜a 3≤1，2≤b2 ＜3，解得：0＜a≤3，4≤b＜6． ∴a=1，2，3，b=4，5． ∴整數(shù)a，b組成的有序數(shù)對（a，b）共有3×2=6個． 變式9-2．（2018·四川

27、中考真題）若不等式組x-a>2b-2x>0的解集為，則(a+b)2009=________. 【答案】-1 【解析】 由不等式得x＞a+2，x＜12b， ∵-1＜x＜1， ∴a+2=-1，12b=1 ∴a=-3，b=2， ∴（a+b）2009=（-1）2009=-1． 故答案為-1． 考查題型十 求一元一次方程組中的待定字母的取值范圍 典例10．（2018·山東省中考模擬）若不等式組的解集是 x＞3，則m的取值范圍是（ ）. A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3 【答案】C 【解析】 詳解：， 解①得，x>3；

28、解②得，x>m， ∵不等式組的解集是x>3， 則m?3. 故選：C. 變式10-1．（2019·四川中考真題）若關(guān)于的代等式組恰有三個整數(shù)解，則的取值范圍是（　?。? A． B． C． D．或 【答案】B 【詳解】 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式組恰有三個整數(shù)解， ∴這三個整數(shù)解為0、1、2， ∴， 解得， 故選：B． 變式10-2.若關(guān)于x的一元一次不等式組有解，則m的取值范圍為 A． B． C． D． 【答案】C 【詳解】 解， ∵不等式組有解，∴2m＞2﹣m. ∴ .故選C. 考查題型十一 利用一元一次不等式

29、（組）解決實(shí)際問題的方法 典例11．（2019·湖北中考真題）某縣有A、B兩個大型蔬菜基地，共有蔬菜700噸.若將A基地的蔬菜全部運(yùn)往甲市所需費(fèi)用與B基地的蔬菜全部運(yùn)往甲市所需費(fèi)用相同.從A、B兩基地運(yùn)往甲、乙兩市的運(yùn)費(fèi)單價如下表: （1）求A、B兩個蔬菜基地各有蔬菜多少噸？ （2）現(xiàn)甲市需要蔬菜260噸，乙市需要蔬菜440噸.設(shè)從A基地運(yùn)送噸蔬菜到甲市，請問怎樣調(diào)運(yùn)可使總運(yùn)費(fèi)最少？ 【答案】（1）A、B兩基地的蔬菜總量分別為300噸和400噸；（2）當(dāng)A基地運(yùn)300噸到乙市，B基地運(yùn)260噸到甲市，B基地運(yùn)140噸到乙市時，總運(yùn)費(fèi)最少為14760元. 【詳解】 （1

30、）設(shè)A、B兩基地的蔬菜總量分別為噸、噸. 根據(jù)題意得： 解得：， 答：A、B兩基地的蔬菜總量分別為300噸和400噸. （2）由題可知： ∴ ∵ . ∵4>0， ∴隨的增大而增大， ∴=14760. 答：當(dāng)A基地運(yùn)300噸到乙市，B基地運(yùn)260噸到甲市，B基地運(yùn)140噸到乙市時，總運(yùn)費(fèi)最少為14760元. 變式11-1．（2019·遼寧中考模擬）某圖書館計(jì)劃選購甲、乙兩種圖書．已知甲圖書每本價格是乙圖書每本價格的2.5倍，用800元單獨(dú)購買甲圖書比用800元單獨(dú)購買乙圖書要少24本． （1）甲、乙兩種圖書每本價格分別為多少元？ （2）如果該圖書館計(jì)

31、劃購買乙圖書的本數(shù)比購買甲圖書本數(shù)的2倍多8本，且用于購買甲、乙兩種圖書的總經(jīng)費(fèi)不超過1060元，那么該圖書館最多可以購買多少本乙圖書？ 【答案】（1）乙圖書每本價格為20元，則甲圖書每本價格是50元；（2）該圖書館最多可以購買28本乙圖書． 【詳解】 解：（1）設(shè)乙圖書每本價格為元，則甲圖書每本價格是元， 根據(jù)題意可得：， 解得：， 經(jīng)檢驗(yàn)得：是原方程的根， 則， 答：乙圖書每本價格為20元，則甲圖書每本價格是50元； （2）設(shè)購買甲圖書本數(shù)為，則購買乙圖書的本數(shù)為：， 故， 解得：， 故， 答：該圖書館最多可以購買28本乙圖書． 考查題型十二 方程組與不等式組相

32、結(jié)合解決實(shí)際問題 典例12．（2018·山東中考模擬）今年3月12日植樹節(jié)期間，學(xué)校預(yù)購進(jìn)A，B兩種樹苗．若購進(jìn)A種樹苗3棵，B種樹苗5棵，需2100元；若購進(jìn)A種樹苗4棵，B種樹苗10棵，需3800元． (1)求購進(jìn)A，B兩種樹苗的單價； (2)若該學(xué)校準(zhǔn)備用不多于8000元的錢購進(jìn)這兩種樹苗共30棵，求A種樹苗至少需購進(jìn)多少棵． 【答案】（1）A種樹苗的單價為200元，B種樹苗的單價為300元；（2）10棵 【解析】 （1）設(shè)B種樹苗的單價為x元，則A種樹苗的單價為y元， 可得：3y+5x=21004y+10x=3800， 解得：x=300y=200， 答：A種

33、樹苗的單價為200元，B種樹苗的單價為300元. （2）設(shè)購買A種樹苗a棵，則B種樹苗為（30﹣a）棵， 可得：200a+300（30﹣a）≤8000， 解得：a≥10， 答：A種樹苗至少需購進(jìn)10棵． 變式12-1．（2019·湖南中考模擬）東東玩具商店用500元購進(jìn)一批悠悠球，很受中小學(xué)生歡迎，悠悠球很快售完，接著又用900元購進(jìn)第二批這種悠悠球，所購數(shù)量是第一批數(shù)量的1.5倍，但每套進(jìn)價多了5元． （1）求第一批悠悠球每套的進(jìn)價是多少元； （2）如果這兩批悠悠球每套售價相同，且全部售完后總利潤不低于25%，那么每套悠悠球的售價至少是多少元？ 【答案】（1）第一批

34、悠悠球每套的進(jìn)價是25元；（2）每套悠悠球的售價至少是35元． 【解析】 （1）設(shè)第一批悠悠球每套的進(jìn)價是x元，則第二批悠悠球每套的進(jìn)價是（x+5）元， 根據(jù)題意得： ， 解得：x=25， 經(jīng)檢驗(yàn)，x=25是原分式方程的解． 答：第一批悠悠球每套的進(jìn)價是25元． （2）設(shè)每套悠悠球的售價為y元， 根據(jù)題意得：500÷25×（1+1.5）y-500-900≥（500+900）×25%， 解得：y≥35． 答：每套悠悠球的售價至少是35元． 考查題型十三 利用不等式計(jì)算獲利問題 典例13．（2014·四川中考真題）某商家計(jì)劃從廠家采

35、購空調(diào)和冰箱兩種產(chǎn)品共20臺，空調(diào)的采購單價y1（元/臺）與采購數(shù)量x1（臺）滿足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1為整數(shù)）；冰箱的采購單價y2（元/臺）與采購數(shù)量x2（臺）滿足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2為整數(shù)）． （1）經(jīng)商家與廠家協(xié)商，采購空調(diào)的數(shù)量不少于冰箱數(shù)量的，且空調(diào)采購單價不低于1200元，問該商家共有幾種進(jìn)貨方案？ （2）該商家分別以1760元/臺和1700元/臺的銷售單價售出空調(diào)和冰箱，且全部售完．在（1）的條件下，問采購空調(diào)多少臺時總利潤最大？并求最大利潤． 【答案】（1）5 （2）采購空調(diào)15臺時，獲得總利潤最大，最大利潤值為1

36、0650元． 【解析】 （1）設(shè)空調(diào)的采購數(shù)量為x臺，則冰箱的采購數(shù)量為（20﹣x）臺， 由題意得，， 解不等式①得，x≥11， 解不等式②得，x≤15， 所以，不等式組的解集是11≤x≤15， ∵x為正整數(shù)， ∴x可取的值為11、12、13、14、15， 所以，該商家共有5種進(jìn)貨方案； （2）設(shè)總利潤為W元， y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100， 則W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2， =1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x）， =1760x+20x2﹣1500x+1

37、0x2﹣800x+12000， =30x2﹣540x+12000， =30（x﹣9）2+9570， 當(dāng)x＞9時，W隨x的增大而增大， ∵11≤x≤15， ∴當(dāng)x=15時，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元）， 答：采購空調(diào)15臺時，獲得總利潤最大，最大利潤值為10650元． 變式13-1．（2018·四川中考模擬）宜興某電器商場根據(jù)民眾健康需要，代理銷售某種家用空氣凈化器，其進(jìn)價是200元/臺．經(jīng)過市場銷售后發(fā)現(xiàn)：在一個月內(nèi)，當(dāng)售價是400元/臺時，可售出200臺，且售價每降低10元，就可多售出50臺．若供貨商規(guī)定這種空氣凈化器售價不能低于300元/

38、臺，代理銷售商每月要完成不低于450臺的銷售任務(wù)． （1）試確定月銷售量y（臺）與售價x（元/臺）之間的函數(shù)關(guān)系式；并求出自變量x的取值范圍； （2）當(dāng)售價x（元/臺）定為多少時，商場每月銷售這種空氣凈化器所獲得的利潤w（元）最大？最大利潤是多少？ 【答案】（1）y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；（2）售價定為320元/臺時，商場每月銷售這種空氣凈化器所獲得的利潤w最大，最大利潤是72000元． 【解析】 (1)、根據(jù)題中條件銷售價每降低10元，月銷售量就可多售出50臺， 則月銷售量y（臺）與售價x（元/臺）之間的函數(shù)關(guān)系式：y=200+50×400-x10，

39、 化簡得：y=-5x+2200； (2)、根據(jù)供貨商規(guī)定這種空氣凈化器售價不能低于300元/臺，代理銷售商每月要完成不低于450臺， 則x≥300且?5x+2200≥450 解得：300≤x≤350． 所以y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-5x+2200（300≤x≤350）； (3)、W=（x-200）（-5x+2200）， 整理得：W=-5(x-320)2+72000． ∵x=320在300≤x≤350內(nèi)， ∴當(dāng)x=320時，最大值為72000， 即售價定為320元/臺時，商場每月銷售這種空氣凈化器所獲得的利潤w最大，最大利潤是72000元． 變式13-2．（20

40、18·山東中考模擬）今年義烏市準(zhǔn)備爭創(chuàng)全國衛(wèi)生城市，某小區(qū)積極響應(yīng)，決定在小區(qū)內(nèi)安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱，若購買2個溫馨提示牌和3個垃圾箱共需550元，且垃圾箱的單價是溫馨提示牌單價的3倍． （1）求溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是多少元？ （2）該小區(qū)至少需要安放48個垃圾箱，如果購買溫馨提示牌和垃圾箱共100個，且費(fèi)用不超過10000元，請你列舉出所有購買方案，并指出哪種方案所需資金最少？最少是多少元？ 【答案】（1）溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是50元和150元；（2）答案見解析 【詳解】 （1）設(shè)溫情提示牌的單價為x元，則垃圾箱的單價為3x元， 根據(jù)題意得，2x

41、+3×3x=550， ∴x=50， 經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意， ∴3x=150元， 即：溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是50元和150元； （2）設(shè)購買溫情提示牌y個（y為正整數(shù)），則垃圾箱為（100﹣y）個， 根據(jù)題意得，意， ∴ ∵y為正整數(shù)， ∴y為50，51，52，共3中方案； 有三種方案：①溫馨提示牌50個，垃圾箱50個， ②溫馨提示牌51個，垃圾箱49個， ③溫馨提示牌52個，垃圾箱48個， 設(shè)總費(fèi)用為w元 W=50y+150（100﹣y）=﹣100y+15000， ∵k=-100，∴w隨y的增大而減小 ∴當(dāng)y=52時，所需資金最少，最少是9800

42、元． 考查題型十四 運(yùn)用一元一次不等式組進(jìn)行方案設(shè)計(jì) 典例14．（2018·河南中考模擬）某校計(jì)劃購買籃球、排球共20個．購買2個籃球，3個排球，共需花費(fèi)190元；購買3個籃球的費(fèi)用與購買5個排球的費(fèi)用相同． （1）籃球和排球的單價各是多少元？ （2）若購買籃球不少于8個，所需費(fèi)用總額不超過800元．請你求出滿足要求的所有購買方案，并直接寫出其中最省錢的購買方案． 【答案】（1）籃球每個50元，排球每個30元. （2）滿足題意的方案有三種：①購買籃球8個，排球12個；②購買籃球9，排球11個；③購買籃球10個，排球10個；方案①最省錢 【解析】 解：（1）設(shè)籃球每個x元

43、，排球每個y元，依題意，得： 解得． 答：籃球每個50元，排球每個30元． （2）設(shè)購買籃球m個，則購買排球（20-m）個，依題意，得： 50m+30（20-m）≤800． 解得：m≤10． 又∵m≥8，∴8≤m≤10． ∵籃球的個數(shù)必須為整數(shù)，∴只能取8、9、10． ∴滿足題意的方案有三種：①購買籃球8個，排球12個，費(fèi)用為760元；②購買籃球9，排球11個，費(fèi)用為780元；③購買籃球10個，排球10個，費(fèi)用為800元． 以上三個方案中，方案①最省錢． 變式14-1．（2019·廣西中考模擬）某文化商店計(jì)劃同時購進(jìn)A、B兩種儀器，若購進(jìn)A種儀器2臺和B種儀器

44、3臺，共需要資金1700元；若購進(jìn)A種儀器3臺，B種儀器1臺，共需要資金1500元． （1）求A、B兩種型號的儀器每臺進(jìn)價各是多少元？ （2）已知A種儀器的售價為760元/臺，B種儀器的售價為540元/臺．該經(jīng)銷商決定在成本不超過30000元的前提下購進(jìn)A、B兩種儀器，若B種儀器是A種儀器的3倍還多10臺，那么要使總利潤不少于21600元，該經(jīng)銷商有哪幾種進(jìn)貨方案？ 【答案】（1）A、B兩種型號的儀器每臺進(jìn)價各是400元、300元；（2）有三種具體方案：①購進(jìn)A種儀器18臺，購進(jìn)B種儀器64臺；②購進(jìn)A種儀器19臺，購進(jìn)B種儀器67臺；③購進(jìn)A種儀器20臺，購進(jìn)B種儀器70臺． 【詳解

45、】 解：（1）設(shè)A、B兩種型號的儀器每臺進(jìn)價各是x元和y元． 由題意得：， 解得：． 答：A、B兩種型號的儀器每臺進(jìn)價各是400元、300元； （2）設(shè)購進(jìn)A種儀器a臺，則購進(jìn)A種儀器（3a+10）臺． 則有：， 解得． 由于a為整數(shù)， ∴a可取18或19或20． 所以有三種具體方案： ①購進(jìn)A種儀器18臺，購進(jìn)B種儀器64臺； ②購進(jìn)A種儀器19臺，購進(jìn)B種儀器67臺； ③購進(jìn)A種儀器20臺，購進(jìn)B種儀器70臺． 變式14-2．（2019·貴州中考真題）某校計(jì)劃組織240名師生到紅色教育基地開展革命傳統(tǒng)教育活動．旅游公司有A，B兩種客車可供租用，A型客車

46、每輛載客量45人，B型客車每輛載客量30人．若租用4輛A型客車和3輛B型客車共需費(fèi)用10700元；若租用3輛A型客車和4輛B型客車共需費(fèi)用10300元． （1）求租用A，B兩型客車，每輛費(fèi)用分別是多少元； （2）為使240名師生有車坐，且租車總費(fèi)用不超過1萬元，你有哪幾種租車方案？哪種方案最省錢？ 【答案】（1）租用A，B兩型客車，每輛費(fèi)用分別是1700元、1300元；（2）共有三種租車方案，方案一：租用A型客車2輛，B型客車5輛，費(fèi)用為9900元，方案二：租用A型客車4輛，B型客車2輛，費(fèi)用為9400元，方案三：租用A型客車5輛，B型客車1輛，費(fèi)用為9800元，方案二：租用A型客車4輛，B型客車2輛最省錢． 【詳解】 （1）設(shè)租用A，B兩型客車，每輛費(fèi)用分別是x元、y元， ， 解得，， 答：租用A，B兩型客車，每輛費(fèi)用分別是1700元、1300元； （2）設(shè)租用A型客車a輛，租用B型客車b輛， ， 解得，，，， ∴共有三種租車方案， 方案一：租用A型客車2輛，B型客車5輛，費(fèi)用為9900元， 方案二：租用A型客車4輛，B型客車2輛，費(fèi)用為9400元， 方案三：租用A型客車5輛，B型客車1輛，費(fèi)用為9800元， 由上可得，方案二：租用A型客車4輛，B型客車2輛最省錢．