新教材高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第2章 變化的快慢與變化率 第一課時(shí)參考教案

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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料 1變化的快慢與變化率 第一課時(shí) 變化的快慢與變化率——平均變化率 一、教學(xué)目標(biāo)：1、理解函數(shù)平均變化率的概念； 2、會(huì)求給定函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的平均變化率，并能根據(jù)函數(shù)的平均變化率判斷函數(shù)在某區(qū)間上變化的快慢。 二、教學(xué)重點(diǎn)：從變化率的角度重新認(rèn)識(shí)平均速度的概念，知道函數(shù)平均變化率就是函數(shù)在某區(qū)間上變化的快慢的數(shù)量描述。 教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)平均速度的數(shù)學(xué)意義的認(rèn)識(shí) 三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 (一)、客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運(yùn)動(dòng)和變化著。因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后，就有可能把運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來加以描

2、述了。由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運(yùn)用的加深，也由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，一門新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學(xué)。微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的，可以說它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學(xué)中的最大的一個(gè)創(chuàng)造。 從微積分成為一門學(xué)科來說，是在十七世紀(jì)，但是，微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題： 第一類是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的，也就是求即時(shí)速

3、度的問題。 第二類問題是求曲線的切線的問題。 第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。 十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費(fèi)爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。 十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大

4、功績是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個(gè)是切線問題（微分學(xué)的中心問題），一個(gè)是求積問題(積分學(xué)的中心問題)。牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來考慮的。牛頓在1671年寫了《流數(shù)法和無窮級(jí)數(shù)》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動(dòng)量，把這些流動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑，求給定時(shí)刻

5、的速度（微分法）；已知運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法)。德國的萊布尼茨是一個(gè)博才多學(xué)的學(xué)者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)，這篇文章有一個(gè)很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算》。就是這樣一片說理也頗含糊的文章，卻有劃時(shí)代的意義。他以含有現(xiàn)代的微分符號(hào)和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。他是歷史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào)，這對(duì)微積分的發(fā)展有極大的影響。現(xiàn)在我們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的。微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動(dòng)

6、了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，運(yùn)用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。 研究函數(shù)，從量的方面研究事物運(yùn)動(dòng)變化是微積分的基本方法。這種方法叫做數(shù)學(xué)分析。 本來從廣義上說，數(shù)學(xué)分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學(xué)科，但是現(xiàn)在一般已習(xí)慣于把數(shù)學(xué)分析和微積分等同起來，數(shù)學(xué)分析成了微積分的同義詞，一提數(shù)學(xué)分析就知道是指微積分。微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學(xué)和積分學(xué)。 微分學(xué)的主要內(nèi)容包括：極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。 積分學(xué)的主要內(nèi)容包括：定積分、不定積分等。 微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的，最初牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程為了從萬有引力定律導(dǎo)出了開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律。此

7、后，微積分學(xué)極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)也極大的推動(dòng)了天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個(gè)分支中的發(fā)展。并在這些學(xué)科中有越來越廣泛的應(yīng)用，特別是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。 (二)、探析新課 問題1：物體從某一時(shí)刻開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)s表示此物體經(jīng)過時(shí)間t走過的路程，顯然s是時(shí)間t的函數(shù)，表示為s=s(t) 在運(yùn)動(dòng)的過程中測(cè)得了一些數(shù)據(jù)，如下表： t/s 0 2 5 10 13 15 … s/m 0 6 9 20 32 44 … 物體在0～2s和10～13s這兩段時(shí)間內(nèi)，那一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)得快？ 分析：我

8、們通常用平均速度來比較運(yùn)動(dòng)的快慢。 在0～2s這段時(shí)間內(nèi)，物體的平均速度為； 在10～13s這段時(shí)間內(nèi)，物體的平均速度為。 顯然，物體在后一段時(shí)間比前一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)得快。 問題2：某病人吃完退燒藥，他的體溫變化如下圖所示： 比較時(shí)間x從0min到20min和從20min到30min體溫的變化情況，哪段時(shí)間體溫變化較快？如何刻畫體溫變化的快慢？ 分析：根據(jù)圖像可以看出： 當(dāng)時(shí)間x從0min到20min時(shí)，體溫y從39℃變?yōu)?8.5℃，下降了0.5℃； 當(dāng)時(shí)間x從20min到30min時(shí)，體溫y從38.5℃變?yōu)?8℃，下降了0.5℃。 兩段時(shí)間下降相同的溫度，而后一段時(shí)間比前一

9、段時(shí)間短，所以后一段時(shí)間的體溫比前一段時(shí)間下降得快。 我們也可以比較在這兩段時(shí)間中，單位時(shí)間內(nèi)體溫的平均變化量，于是當(dāng)時(shí)間x從0min到20min時(shí)，體溫y相對(duì)于時(shí)間x的平均變化率為 （℃/min） 當(dāng)時(shí)間x從20min到30min時(shí)，體溫y相對(duì)于時(shí)間x的平均變化率為 （℃/min） 這里出現(xiàn)了負(fù)號(hào)，它表示體溫下降了，顯然，絕對(duì)值越大，下降的越快，這里體溫從20min到30min這段時(shí)間下降的比0min到20min這段時(shí)間要快。 （三）、小結(jié)：1、對(duì)一般的函數(shù)y=f（x）來說，當(dāng)自變量x從變?yōu)闀r(shí)，函數(shù)值從f（）變?yōu)椤Ｆ骄兓示褪呛瘮?shù)增量與自變量增量之比，函數(shù)在內(nèi)的平均變化率為，如我們常用到年產(chǎn)量的平均變化率。2、函數(shù)的平均變化率與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系。 （四）、練習(xí)：P27頁練習(xí)1，2，3，4題；習(xí)題2-1中 1 （五）作業(yè)布置：1、已知曲線上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是和，求過兩點(diǎn)的直線斜率。 2、一物體按規(guī)律作變速直線運(yùn)動(dòng)，求該物體從2秒末到6秒末這段時(shí)間內(nèi)的平 均速度。 五、教后反思：