高考數(shù)學復習：第五章 ：第五節(jié)　數(shù)列的綜合問題回扣主干知識提升學科素養(yǎng)

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1、 精品資料 第五節(jié)　數(shù)列的綜合問題 【考綱下載】[來源:] 能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系或等比關系，并能用相關知識解決相應的問題． 1．數(shù)列綜合應用題的解題步驟 (1)審題——弄清題意，分析涉及哪些數(shù)學內容，在每個數(shù)學內容中，各是什么問題． (2)分解——把整個大題分解成幾個小題或幾個“步驟”，每個小題或每個“步驟”分別是數(shù)列問題、函數(shù)問題、解析幾何問題、不等式問題等．[來源:] (3)求解——分別求解這些小題或這些“步驟”，從而得到整個問題的解答． 具體解題步驟如下框圖：

2、 , 還原 數(shù)學化 標準化 　　 2．常見的數(shù)列模型 (1)等差數(shù)列模型：通過讀題分析，由題意抽象出等差數(shù)列，利用等差數(shù)列有關知識解決問題． (2)等比數(shù)列模型：通過讀題分析，由題意抽象出等比數(shù)列，利用等比數(shù)列有關知識解決問題． (3)遞推公式模型：通過讀題分析，由題意把所給條件用數(shù)列遞推式表達出來，然后通過分析遞推關系式求解． 1．設本金為a，每期利率為r，存期為n，若按單利計算，本利和是多少？此模型是等差數(shù)列模型還是等比數(shù)列模型？ 提示：本利和為a(1＋rn

3、)，屬等差數(shù)列模型． 2．設本金為a，每期利率為r，存期為n，若按復利計算，本利和是多少？此模型是等差數(shù)列模型還是等比數(shù)列模型？ 提示：本利和為a(1＋r)n，屬等比數(shù)列模型． 1．設{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a1＝2且a1，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}的前n項和Sn＝(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D．n2＋n 解析：選A　設等差數(shù)列{an}的公差為d. ∵a1，a3，a6成等比數(shù)列， ∴a＝a1a6，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋5d)． 又a1＝2， ∴(2＋2d)2＝2(2＋5

4、d)， 解之得d＝或d＝0(舍)． ∴Sn＝na1＋d＝2n＋＝＋. 2．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：選D　∵x，a，b，y成等差數(shù)列，∴a＋b＝x＋y，又x，c，d，y成等比數(shù)列，∴cd＝xy.∴＝＝2＋≥2＋＝4. 當且僅當x＝y(tǒng)時取等號，所以的最小值是4. 3. 在如圖所示的表格中，如果每格填上一個數(shù)后，每一行成等差數(shù)列，每一列成等比數(shù)列，那么x＋y＋z的值為(　　) A．1 B．2

5、C．3 D．4 解析：選C　由題意知，第三列各數(shù)成等比數(shù)列，故x＝1；第一行第五個數(shù)為6，第二行第五個數(shù)為3，故z＝； 第一行第四個數(shù)為5，第二行第四個數(shù)為，故y＝，從而x＋y＋z＝3. 4．已知正項等差數(shù)列{an}滿足：an＋1＋an－1＝a(n≥2)，等比數(shù)列{bn}滿足：bn＋1bn－1＝2bn(n≥2)，則log2(a2＋b2)＝________. 解析：由題意可知an＋1＋an－1＝2an＝a，解得an＝2(n≥2)(由于數(shù)列{an}每項都是正數(shù)，故an＝0舍去)， 又bn＋1bn－1＝b＝2bn(n≥2)， 所以bn＝2(n≥2)， 所以log2(a

6、2＋b2)＝log24＝2. 答案：2 5．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意n∈N*都有Sn＝an－，若1＜Sk＜9(k∈N*)，則k的值為________． 解析：由Sn＝an－，得 當n＝1時，S1＝a1＝a1－，則a1＝－1. 當n≥2時，Sn＝(Sn－Sn－1)－， 即Sn＝－2Sn－1－1. 令Sn＋p＝－2(Sn－1＋p)，得 Sn＝－2Sn－1－3p，可知p＝. 故數(shù)列是以－為首項，－2為公比的等比數(shù)列．[來源:] 則Sn＋＝－(－2)n－1， 即Sn＝－(－2)n－1－. 由1＜－(－2)k－1－＜9，k∈N*，得k＝4. 答案：4 前

7、沿熱點(七) 數(shù)列中的三類探索性問題 1．條件探索性問題 此類問題的基本特征是：針對一個結論，條件未知需探求，或條件增刪需確定，或條件正誤需判定；解決此類問題的基本策略是：執(zhí)果索因，先尋找結論成立的必要條件，再通過檢驗或認證找到結論成立的充分條件，在“執(zhí)果索因”的過程中，常常會犯的一個錯誤是不考慮推理過程的可逆與否，誤將必要條件當作充分條件，應引起注意． [典例1]　已知數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝3，其前n項和Sn滿足Sn＋2＋Sn＝2Sn＋1＋1(n∈N*)；數(shù)列{bn}中，b1＝a1，bn＋1＝4bn＋6(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式； (2

8、)設cn＝bn＋2＋(－1)n－1λ2an(λ為非零整數(shù)，n∈N*)，試確定λ的值，使得對任意n∈N*，都有cn＋1>cn成立．[來源:] [解題指導]　處理第(2)問中的cn＋1>cn恒成立問題，可通過構造函數(shù)將問題轉化為函數(shù)的最值問題，再來研究所構造的函數(shù)的最值． [解]　(1)由已知得Sn＋2－Sn＋1－(Sn＋1－Sn)＝1， 所以an＋2－an＋1＝1(n≥1)． 又a2－a1＝1， 所以數(shù)列{an}是以a1＝2為首項，1為公差的等差數(shù)列． 所以an＝n＋1. 因為bn＋1＝4bn＋6，即bn＋1＋2＝4(bn＋2)， 又b1＋2＝a1＋2＝4， 所以數(shù)列{b2＋2

9、}是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列． 所以bn＝4n－2. (2)因為an＝n＋1，bn＝4n－2， 所以cn＝4n＋(－1)n－1λ2n＋1.要使cn＋1>cn成立， 需cn＋1－cn＝4n＋1－4n＋(－1)nλ2n＋2－(－1)n－1λ2n＋1>0恒成立， 化簡得34n－3λ(－1)n－12n＋1>0恒成立， 即(－1)n－1λ<2n－1恒成立， ①當n為奇數(shù)時，即λ<2n－1恒成立，當且僅當n＝1時，2n－1有最小值1，所以λ<1； ②當n為偶數(shù)時，即λ>－2n－1恒成立，當且僅當n＝2時，－2n－1有最大值－2，所以λ>－2，即－2<λ<1.[來源:數(shù)理化網(wǎng)] 又λ

10、為非零整數(shù)，則λ＝－1. 綜上所述，存在λ＝－1，使得對任意n∈N*，都有cn＋1>cn成立． [名師點評]　對于數(shù)列問題，一般要先求出數(shù)列的通項，不是等差數(shù)列和等比數(shù)列的要轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列．遇到Sn要注意利用Sn與an的關系將其轉化為an，再研究其具體性質．遇到(－1)n型的問題要注意分n為奇數(shù)與偶數(shù)兩種情況進行討論，本題易忘掉對n的奇偶性的討論而致誤． 2．結論探索性問題 此類問題的基本特征是：有條件而無結論或結論的正確與否需要確定；解決此類問題的策略是：先探索結論而后去論證結論，在探索過程中?？上葟奶厥馇樾稳胧?，通過觀察、分析、歸納、判斷來猜測，得出結論，再就一般情形去認

11、證結論． [典例2]　已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足：a＝2a＋anan＋1，且a2＋a4＝2a3＋4，其中n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設數(shù)列{bn}滿足：bn＝，是否存在正整數(shù)m，n(1

12、)＝0. 又an>0，所以2an－an＋1＝0，即2an＝an＋1. 所以數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列． 由a2＋a4＝2a3＋4，得2a1＋8a1＝8a1＋4，解得a1＝2. 故數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n(n∈N*)． (2)因為bn＝＝， 所以b1＝，bm＝，bn＝. 若b1，bm，bn成等比數(shù)列，則2＝， 即＝. 由＝，可得＝， 所以－2m2＋4m＋1>0，從而1－1，所以m＝2，此時n＝12. 故當且僅當m＝2，n＝12時，b1，bm，bn成等比數(shù)列． [名師點評]　對于結論探索性問題，需要先得出一個結論，再進行證明

13、．注意含有兩個變量的問題，變量歸一是常用的解題思想，一般把其中的一個變量轉化為另一個變量，根據(jù)題目條件，確定變量的值．遇到數(shù)列中的比較大小問題可以采用構造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調性進行證明，這是解決復雜問題常用的方法． 3．存在探索性問題 此類問題的基本特征是：要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學對象(數(shù)值、圖形、函數(shù)等)是否存在或某一結論是否成立；解決此類問題的一般方法是：假定題中的數(shù)學對象存在或結論成立或暫且認可其中的一部分結論，然后在這個前提下進行邏輯推理，若由此導出矛盾，則否定假設，否則，給出肯定結論，其中反證法在解題中起著重要的作用． [典例3]　已知數(shù)列{an}的首項a1＝，an＋1

14、＝，n∈N*. (1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列； (2)是否存在互不相等的正整數(shù)m，s，n，使m，s，n成等差數(shù)列，且am－1，as－1，an－1成等比數(shù)列？如果存在，請給以證明；如果不存在，請說明理由． [解題指導]　第(1)問中an＋1與an的關系以分式形式給出，可以通過取倒數(shù)處理，目的仍然是變?yōu)榈炔顢?shù)列或等比數(shù)列；第(2)問可先假設所探求問題存在再去求解，注意應用重要不等式進行判斷． [解]　(1)證明：因為＝＋， 所以－1＝. 又因為－1≠0，所以－1≠0(n∈N*)． 所以數(shù)列為等比數(shù)列． (2)假設存在，則m＋n＝2s， (am－1)(an－1)＝(as－1)2， 由(1)知－1＝(a1－1)n－1＝， 則an＝， 所以＝2， 化簡得3m＋3n＝23s. 因為3m＋3n≥2＝23s，當且僅當m＝n時等號成立，又m，s，n互不相等，所以不存在． [名師點評]　數(shù)列問題是以分式形式給出條件的，一般采用取倒數(shù)，再轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，通過等差數(shù)列與等比數(shù)列的橋梁作用求出通項．遇到多個變量的存在性問題，一般假設存在，求出滿足的關系，再尋找滿足的條件，一般可以利用重要不等式、值域或范圍等判斷是否存在.