《正弦、余弦函數(shù)的周期性》教案

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1、《正弦、余弦函數(shù)的周期性》教案 一、教材分析： 《正弦、余弦函數(shù)的周期性》是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書必修四第一章第四節(jié)第二節(jié)課，其主要內(nèi)容是周期函數(shù)的概念及正弦、余弦函數(shù)的周期性．本節(jié)課是學(xué)生學(xué)習(xí)了誘導(dǎo)公式和正弦、余弦函數(shù)的圖象之后，對三角函數(shù)知識的又一深入探討．正弦、余弦函數(shù)的周期性是三角函數(shù)的一個重要性質(zhì)，是研究三角函數(shù)其它性質(zhì)的基礎(chǔ)，是函數(shù)性質(zhì)的重要補(bǔ)充．通過本課的學(xué)習(xí)不僅能進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力、推理論證能力、分析問題和解決問題的能力，而且能使學(xué)生把這些認(rèn)識遷移到后續(xù)的知識學(xué)習(xí)中去，為以后研究三角函數(shù)的其它性質(zhì)打下基礎(chǔ)．所以本課既是前期知識的發(fā)展，又是后續(xù)有關(guān)知識研究的前驅(qū)

2、，起著承前啟后的作用． 二、教學(xué)目標(biāo)： 學(xué)情分析： 學(xué)生在知識上已經(jīng)掌握了誘導(dǎo)公式、正弦、余弦函數(shù)圖象及五點作圖的方法；在能力上已經(jīng)具備了一定的形象思維與抽象思維能力；在思想方法上已經(jīng)具有一定的數(shù)形結(jié)合、類比、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想． 本課的教學(xué)目標(biāo)： (一)知識與技能 1．理解周期函數(shù)的概念及正弦、余弦函數(shù)的周期性． 2．會求一些簡單三角函數(shù)的周期. (二)過程與方法 從學(xué)生生活實際的周期現(xiàn)象出發(fā)，提供豐富的實際背景，通過對實際背景的分析與y=sinx圖形的比較、概括抽象出周期函數(shù)的概念.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法研究正弦函數(shù)y=sinx的周期性，通過類比研究余弦函數(shù)y=cosx的

3、周期性． (三)情感、態(tài)度與價值觀 讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于生活，體會從感性到理性的思維過程，體會數(shù)形結(jié)合思想；讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過程，享受成功的喜悅，感受數(shù)學(xué)的魅力． 三、教學(xué)重點：周期函數(shù)的定義和正弦、余弦函數(shù)的周期性. 四、教學(xué)難點：周期函數(shù)定義及運(yùn)用定義求函數(shù)的周期. 五、教學(xué)準(zhǔn)備：三角板、多媒體課件 六、教學(xué)流程： 構(gòu)建周期函數(shù)定義 創(chuàng)設(shè)問題情境引入 復(fù)習(xí)回顧 引入新知 余弦函數(shù)的周期 正弦函數(shù)的周期 鞏固周期函數(shù)定義 課堂 小結(jié) 課堂 反饋 知識 應(yīng)用 七、教學(xué)過程：

4、預(yù)計時間（分） 教學(xué)程序 教師活動 學(xué)生活動 備注 1分鐘 創(chuàng)設(shè)問題情境引入 問:生活中有哪些周而復(fù)始現(xiàn)象？ 問:數(shù)學(xué)中有哪些周期現(xiàn)象? 學(xué)生舉例 從生活中的周期現(xiàn)象引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 2分鐘 復(fù)習(xí)回顧 引導(dǎo)學(xué)生回顧： 1．誘導(dǎo)公式（一） 2．正弦線 3．利用正弦線畫正弦函數(shù)圖象（動畫演示）. 學(xué)生回顧誘導(dǎo)公式（一） 學(xué)生觀察動畫演示 引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知為本課做準(zhǔn)備. 通過動畫演示讓學(xué)生直觀感知周而復(fù)始的變化規(guī)律. 10分鐘

5、 構(gòu)建周期函數(shù)定義 問:正弦函數(shù)y=sinx圖象有什么特征？ 問:圖象呈周期性變化怎樣用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示? (讓學(xué)生再次觀察動畫演示) 正弦函數(shù)圖象的周而復(fù)始的變化實際上就是函數(shù)值的周而復(fù)始的變化. sin(2π+x)=sinx這個結(jié)論可由圖象觀察分析得到，也可由誘導(dǎo)公式得到. 問: 對于sin(2π+x)=sinx, 若記f(x)=sinx,則對于任意 x∈R,都有f( )=f( ) 給出周期函數(shù)及周期的定義. 答：由動畫演示觀察

6、可得：正弦函數(shù)圖象具有周而復(fù)始的變化規(guī)律 答：即sin(2π+x)=sinx, 由誘導(dǎo)公式也可得： sin(2π+x)=sinx, 抽象概括： 設(shè)f(x)=sinx,則對于任意x∈R,都有f(x+2π)=f(x)． 周期函數(shù)定義: 一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個非零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個x值，都滿足f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期. 通過對正弦函數(shù)y=sinx圖象觀察、分析，結(jié)合誘導(dǎo)公式，構(gòu)建出周期函數(shù)的定義，主要是立足于從學(xué)生的最近思維區(qū)入手，著力于知識建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和抽象概括能力,

7、并進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合思想方法． 預(yù)計時間（分） 教學(xué)程序 教師活動 學(xué)生活動 備注 2分鐘 正弦函數(shù)的周期和最小正周期的定義. 問: 正弦函數(shù)的周期為多少? 問: 在正弦函數(shù)的周期中, 最小正數(shù)是多少? 給出最小正周期的定義． 答: 、、、…… 2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期． 答: 讓學(xué)生理解最小正周期的定義． 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力 9分鐘 鞏固周期函數(shù)定義 判斷題： 1.因為,所以是的周期. 2.周

8、期函數(shù)的周期唯一． 3.常數(shù)函數(shù)f(x)=5是周期函數(shù). （分四人一組進(jìn)行討論,再由學(xué)生發(fā)表看法.） 引導(dǎo)學(xué)生做完判斷題后談一談體會． 答:1.錯 舉反例: 2.錯（結(jié)合正弦函數(shù)周期分析） 3.對（結(jié)合定義分析） 學(xué)生談體會： 1. 周期的定義是對定義域中的每一個值來說的. 2.周期函數(shù)的周期不唯一. 3.周期函數(shù)不一定存在最小正周期. 說明:今后不加特殊說明，涉及的周期都是最小正周期. 為了幫助學(xué)生正確理解周期函數(shù)概念，防止學(xué)生以偏概全，讓學(xué)生學(xué)會怎樣學(xué)習(xí)概念；培養(yǎng)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)的能力，使學(xué)生養(yǎng)成細(xì)致、全面地考慮問題的思維品質(zhì).讓學(xué)生在討論交

9、流中不斷完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，充分感受成功與失敗的情感體驗. 2分鐘 探究余弦函數(shù)的周 期 問題： 余弦函數(shù)y=cosx是周期函數(shù)嗎？即能否找到非零常數(shù)T，使cos(T+x)= cosx成立？若是，請找出它的周期，若不是，請說明理由. 學(xué)生回答: 余弦函數(shù)y=cosx是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z且 k≠0)都是它的周期． 最小正周期為 通過對定義的理解、余弦函數(shù)圖象以及類比正弦函數(shù)，可以得到余弦函數(shù)是周期函數(shù)，這樣使學(xué)生加深對定義的理解，培養(yǎng)學(xué)生類比思想和數(shù)形結(jié)合能力

10、． 預(yù)計時間（分） 教學(xué)程序 教師活動 學(xué)生活動 備注 9分鐘 知識應(yīng)用 例1．求下列函數(shù)的最小正周期T. 1.，； 2.，； 3.， ； 第1題師生共同完成 第2、3題學(xué)生獨立完成 預(yù)設(shè)：利用課件中的圖象引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)最小正周期 兩名學(xué)生板演，其余學(xué)生在下面獨立完成， 完成后由學(xué)生點評. 學(xué)生可能的方法： 1.周期函數(shù)定義 2.函數(shù)圖象觀察得到周期 觀察學(xué)生對周期函數(shù)定義的掌握情況． 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力． 4分鐘

11、 課堂反饋 練習(xí)： 1．等式是否成立?如果這個等式成立,能否說是正弦函數(shù)的一個周期？ 2.求下列函數(shù)的周期: 答： 1. 成立 不能 2.(1) (2) 通過課堂反饋能準(zhǔn)確、及時地了解學(xué)生對周期函數(shù)定義和函數(shù)周期求法的掌握情況,做到及時反饋、評價,及時查漏補(bǔ)缺,達(dá)到堂堂清. 1分鐘 課堂小結(jié) 1.回顧周期函數(shù)的定義． 2.函數(shù)y=sinx和函數(shù)y=cosx周期為多少？. 3.函數(shù)周期有多少種求法? 1.

12、周期函數(shù)定義: 一般地，對于函數(shù) f（x），如果存在一個非零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個x值，都滿足f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期. 2.函數(shù)y=sinx和函數(shù)y=cosx周期均為2π． 3．周期的求法： ①定義法 ②圖象法 引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行小結(jié),有利于學(xué)生對已有的知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行編碼處理,加強(qiáng)記憶. 課外作業(yè)： 求下列函數(shù)的周期： (1)，；(2)，； (3),(4)， 課外思考： 1. 求函數(shù)和（其中為常數(shù)，且）的周期． 2.求下列函數(shù)的周期： （1），；（2），

13、 附：板書設(shè)計 課題：正弦、余弦函數(shù)的周期性 設(shè)計意圖 1． 周期函數(shù)定義 例1 板演及學(xué)生演示區(qū) 2． 正弦函數(shù)y=sinx的周期為 余弦函數(shù)y=cosx的周期為 . 為了使學(xué)生全面系統(tǒng)地了解本節(jié)內(nèi)容的知識結(jié)構(gòu),達(dá)到突出重點,簡潔明了的目的. 附： 1．本節(jié)課預(yù)計學(xué)生建構(gòu)周期函數(shù)概念時有困難，特別是“正弦函數(shù)圖象的周而復(fù)始變化實際上是函數(shù)值的周而復(fù)始變化” 的本質(zhì)學(xué)生理解有一定困難.為了突破這個難點，借助了幾何畫板來幫助學(xué)生從形象思維過渡到抽象思維． 2．預(yù)計部分學(xué)生對周期函數(shù)定義的

14、自變量的任意性的理解有困難，為了突破這個難點，設(shè)計了三道判斷題讓學(xué)生分組討論交流，通過學(xué)生思維碰撞來體會數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)，通過學(xué)生互動建構(gòu)自己對周期函數(shù)概念的認(rèn)識． 3．預(yù)計部分學(xué)生運(yùn)用周期函數(shù)定義求函數(shù)周期有一定困難，為了解決這個困難，在設(shè)計中，例１第１問由師生共同完成，完成后小結(jié)解題的思路方法．再由學(xué)生完成第２問和第３問，再由師生共同點評． 教案設(shè)計說明 廣東省東莞中學(xué)松山湖學(xué)校 彭 科 《正弦、余弦函數(shù)的周期性》是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書必修四第一章第四節(jié)第二節(jié)課，其主要內(nèi)容是周期函數(shù)的概念及正弦、余弦函數(shù)的周期性．正弦、余弦函數(shù)的周期性是三角函數(shù)的

15、一個重要性質(zhì)，是研究三角函數(shù)其它性質(zhì)的基礎(chǔ)，是函數(shù)性質(zhì)的重要補(bǔ)充．本課的重點為周期函數(shù)的定義和正弦、余弦函數(shù)的周期性，難點為周期函數(shù)定義及運(yùn)用定義求函數(shù)的周期.本課的教學(xué)設(shè)計分為六個部分，包括：教材分析，目標(biāo)分析（含學(xué)情分析），教學(xué)重難點，教學(xué)準(zhǔn)備，教學(xué)流程，教學(xué)過程．設(shè)計反映了由學(xué)生熟悉的生活的周期現(xiàn)象出發(fā)，通過概括、抽象，并結(jié)合正弦函數(shù)的圖象引導(dǎo)學(xué)生感受周期函數(shù)概念的形成過程，這是設(shè)計的數(shù)學(xué)本質(zhì)基礎(chǔ)；設(shè)計中結(jié)合本班學(xué)生的學(xué)習(xí)的實際情況，從而確定了教學(xué)活動的環(huán)節(jié)．以這些分析為基礎(chǔ)從而確定教學(xué)目標(biāo)，而過程設(shè)計則針對目標(biāo)從九個環(huán)節(jié)進(jìn)行具體的設(shè)計．教學(xué)過程設(shè)計自始至終貫穿數(shù)形結(jié)合思想．下面從如下幾

16、個方面進(jìn)行詳細(xì)說明． 一、教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)及教學(xué)目標(biāo)定位 本節(jié)課主要內(nèi)容是周期函數(shù)的概念及正弦、余弦函數(shù)的周期性．通過對正弦函數(shù)圖象“周而復(fù)始”的變化規(guī)律特征的感知，使學(xué)生建立比較牢固的理解周期性的認(rèn)知基礎(chǔ)，然后再引導(dǎo)學(xué)生了解用代數(shù)表達(dá)式刻畫圖象“周而復(fù)始”的變化規(guī)律.本節(jié)課要探究的周期函數(shù)的概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)是從形和數(shù)兩個方面去刻畫 “周而復(fù)始”的變化規(guī)律． 學(xué)生在知識上已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)概念與基本初等函數(shù)等知識，已經(jīng)掌握了三角函數(shù)圖象的畫法及五點法作圖；在能力上已經(jīng)具備了一定的形象思維與抽象思維能力；在思想方法上已經(jīng)接觸過數(shù)形結(jié)合、類比、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想． 另外，我還對我班學(xué)生的具體情

17、況做了如下分析：我班學(xué)生基礎(chǔ)知識比較扎實、思維較活躍，學(xué)生層次差異不大，能夠很好的掌握教材上的內(nèi)容，能較好地做到數(shù)形結(jié)合，善于發(fā)現(xiàn)問題，深入研究問題，但是部分學(xué)生處理抽象問題的能力還有待進(jìn)一步提高． 于是，結(jié)合以上的學(xué)情分析，我從 “知識與技能”、“過程與方法”和“情感態(tài)度與價值觀”設(shè)定目標(biāo).其中知識與技能目標(biāo)為：理解周期函數(shù)的概念及正弦、余弦函數(shù)的周期性，會求一些簡單三角函數(shù)的周期．過程與方法則是：從學(xué)生實際中的周期現(xiàn)象出發(fā)，提供豐富的實際背景，通過對實際背景的分析與y=sinx圖形的比較、概括抽象出周期函數(shù)的概念. 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法研究正弦函數(shù)y=sinx的周期性，通過類比研究余弦函數(shù)y

18、=cosx的周期性．并且在過程中滲透了本課的情感態(tài)度目標(biāo)： 讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于生活，體會從感性到理性的思維過程，體會數(shù)形結(jié)合思想；讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過程，享受成功的喜悅，感受數(shù)學(xué)的魅力.以上是對教學(xué)目標(biāo)定位的說明． 二、教學(xué)流程 復(fù)習(xí)回顧 引入新知 構(gòu)建周期函數(shù)定義 創(chuàng)設(shè)問題情境引入 余弦函數(shù)的周期 鞏固周期函數(shù)定義 正弦函數(shù)的周期 課堂 小結(jié) 知識 應(yīng)用 課堂 反饋 三、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)及作用 本節(jié)課是學(xué)生學(xué)習(xí)了誘導(dǎo)公式和正弦、余弦函數(shù)的圖象之后，對三角函數(shù)知識的又一深入探討．正弦、余弦函數(shù)的周期性是

19、三角函數(shù)的一個重要性質(zhì)，是研究三角函數(shù)其它性質(zhì)的基礎(chǔ)，是函數(shù)性質(zhì)的重要補(bǔ)充．通過本課的學(xué)習(xí)不僅能進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，分析問題和解決問題的能力，而且能使學(xué)生把這些認(rèn)識遷移到后續(xù)的知識學(xué)習(xí)中去，為以后研究三角函數(shù)的其它性質(zhì)打下基礎(chǔ)．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性，與后面高中物理研究的《單擺運(yùn)動》、《簡諧運(yùn)動》、《機(jī)械波》等知識有著密切相關(guān)的聯(lián)系．在數(shù)學(xué)和其它領(lǐng)域（物理學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)等）中具有重要的作用，所以，該內(nèi)容在教材中具有非常重要的意義，是連接理論知識和實際問題的一個橋梁． 四、教學(xué)診斷分析 1．學(xué)習(xí)正弦、余弦函數(shù)的周期性時，用圖象法求周期學(xué)生容易理解；建構(gòu)周期函數(shù)概念時學(xué)生有困難

20、，特別是“正弦函數(shù)圖象的周而復(fù)始的變化實際上是函數(shù)值的周而復(fù)始的變化”的本質(zhì)學(xué)生感到有一定困難. 我首先讓學(xué)生回顧如何利用正弦線畫正弦函數(shù)y=sinx圖象（動畫演示）,通過動畫演示，讓學(xué)生感知正弦函數(shù)圖象“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，再引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)表達(dá)式刻畫圖象“周而復(fù)始”的變化規(guī)律． 2．部分學(xué)生對周期函數(shù)定義中的任意性理解容易出現(xiàn)錯誤，需要在教學(xué)中反復(fù)強(qiáng)調(diào). 3．本節(jié)課充分利用了多媒體技術(shù)的強(qiáng)大功能，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的強(qiáng)有力工具，使學(xué)生樂意投入到現(xiàn)實的、探索性的教學(xué)活動中去． 五、教法特點及預(yù)期效果分析 結(jié)合教學(xué)目標(biāo)以及學(xué)生的實際情況，我采用了啟發(fā)引導(dǎo)與小組合

21、作交流相結(jié)合的教學(xué)方式，而在知識構(gòu)建過程中，在教師引導(dǎo)下，使學(xué)生經(jīng)歷了直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括等思維活動，提高數(shù)學(xué)思維能力；注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合，提倡利用信息技術(shù)呈現(xiàn)以往教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容，鼓勵學(xué)生運(yùn)用信息技術(shù)進(jìn)行探索和發(fā)現(xiàn)．本節(jié)課遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，通過典型具體例子的分析和學(xué)生自主地觀察、探索活動，使學(xué)生理解周期概念的形成過程，體會蘊(yùn)含在其中的數(shù)形結(jié)合的思想方法，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)通過適當(dāng)?shù)姆绞睫D(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)，教學(xué)內(nèi)容利用生活中的問題和課本上已有的知識創(chuàng)設(shè)情境，使教學(xué)內(nèi)容不僅貼近生活，并且來源于舊知識，設(shè)計內(nèi)容一環(huán)扣一環(huán)，使學(xué)生對周期函數(shù)的概念理解和應(yīng)用步步深入.在教學(xué)方法上運(yùn)用多種方法，如觀察、分析、歸納、討論；在知識的學(xué)習(xí)過程中，重視知識的形成過程和概括過程.在解決問題中，引導(dǎo)學(xué)生分析、歸納方法，注意優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)；在教學(xué)手段上采用多媒體和黑板重點板書結(jié)合的教學(xué)方法． 通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，我力求達(dá)到：1 、形成學(xué)生主動參與，自主探究，合作交流的課堂氣氛.2、學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)來源于生活，理解周期函數(shù)和周期的定義.3、讓學(xué)生體會從感性到理性的思維過程，體會數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生領(lǐng)悟問題探究的學(xué)習(xí)方法.由于本課內(nèi)容不多，難度不大，相信大多數(shù)學(xué)生都能掌握本課知識，實現(xiàn)預(yù)期的目標(biāo).