2018版高中數(shù)學 第三章 統(tǒng)計案例疑難規(guī)律方法學案 蘇教版選修2-3.doc

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第三章 統(tǒng)計案例 　　　　　　　　　　　　　　1　本章知識大串燒 一、獨立性檢驗的基本思想 通過分析數(shù)據(jù)與圖形，得出的估計是粗略的，因為我們說的“大得多”、“小得多”，到底是有多大的差距？也就是說得到的結論是直觀上的印象，其實與是否有關還是有較大的差距的． 下面從理論上說明兩個變量是否有關，請同學們從中體會其思想方法． 1．基本思想與圖形的聯(lián)系 假設兩個變量是無關的，可知如下的比應差不多，即： ≈?|ad－bc|＝0. 構造統(tǒng)計量χ2＝(其中n＝a＋b＋c＋d)(此公式如何記憶，其特點是什么？結合22列聯(lián)表理解)，顯然所構造的統(tǒng)計量與|ad－bc|的大小具有一致性． 2．獨立性檢驗的思想方法 如果χ2的值較大，說明其發(fā)生(無關系)的概率很小，此時不接受假設，也就是兩個變量是有關系的(稱小概率事件發(fā)生)；如果χ2的值較小，此時接受假設，說明兩分類變量是無關系的．其思想方法類似于數(shù)學上的反證法． 3．得到χ2的值常與以下幾個臨界值加以比較： 如果χ2>2.706，就有90%的把握認為Ⅰ和Ⅱ有關系；如果χ2>3.841，就有95%的把握認為Ⅰ和Ⅱ有關系；如果χ2>6.635，就有99%的把握認為Ⅰ和Ⅱ有關系；如果χ2>10.828，就有99.9%的把握認為Ⅰ和Ⅱ有關系；如果χ2≤2.706，就認為沒有充分的證據(jù)顯示Ⅰ和Ⅱ有關系． 像這種利用統(tǒng)計量χ2來確定在多大程度上可以認為“兩個變量有關系”的方法稱為兩個變量的獨立性檢驗． 二、回歸分析 1．線性回歸方程 ＝ x＋ ，其中： ＝＝， ＝－ . (注： ＝主要方便計算，其中(xi，yi)為樣本數(shù)據(jù)，(，)為樣本點的中心) 公式作用：通過刻畫線性相關的兩變量之間的關系，估計和分析數(shù)據(jù)的情況，解釋一些實際問題，以及數(shù)據(jù)的變化趨勢． 2．樣本相關系數(shù)的具體計算公式 r＝ ＝ 公式作用：反映兩個變量之間線性相關關系的強弱．當r的絕對值接近1時，表明兩個變量的線性相關性越強；當r的絕對值接近0時，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系．規(guī)定當|r|>r0.05時，認為兩個變量有很強的線性相關關系． 公式聯(lián)系：(1)由于分子與回歸方程中的斜率 的分子一樣(這也給出了公式的內在聯(lián)系以及公式的記法)，因此，當r>0時，兩個變量正相關；當r<0時，兩個變量負相關． (2)常配合散點圖判斷兩個隨機變量是否線性相關． 散點圖是從形上進行粗略地分析判斷，這個判斷是可行的、可靠的，也是進行線性回歸分析的基礎，否則回歸方程失效；它形象直觀地反映了數(shù)據(jù)點的分布情況． 相關系數(shù)r是從數(shù)上反映了兩個變量是否具有線性相關關系，以及線性相關關系的強弱，它較精確地反映了數(shù)據(jù)點的分布情況，準確可靠. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　2　回歸分析題目擊破 1．基本概念 函數(shù)關系是一種確定關系，而相關關系是一種非確定關系，回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法． 例1　下列變量之間的關系是相關關系的是________．(填序號) ①正方形的邊長與面積之間的關系； ②水稻產量與施肥量之間的關系； ③人的身高與年齡之間的關系； ④降雪量與交通事故發(fā)生率之間的關系． 分析　兩變量之間的關系有兩種：函數(shù)關系和帶有隨機性的相關關系． 解析?、偈呛瘮?shù)關系； ②不是嚴格的函數(shù)關系，但是具有相關性，因而是相關關系； ③既不是函數(shù)關系，也不是相關關系，因為人的年齡達到一定時期身高就不發(fā)生明顯變化了，因而它們不具有相關關系； ④降雪量與交通事故發(fā)生率之間具有相關關系． 答案　②④ 點評　該例主要考查對變量相關關系概念的掌握． 2．線性回歸方程 設x與y是具有相關關系的兩個變量，且相應于n個觀測值的n個點大致分布在一條直線的附近，這條直線就叫做線性回歸直線． 例2　假設關于某設備的使用年限x(年)和所支出的維修費用y(萬元)有如下的統(tǒng)計資料： 使用年限x 2 3 4 5 6 維修費用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由資料知y對x呈線性相關關系，試求： (1)線性回歸方程 ＝ ＋ x； (2)估計使用年限10年時，維修費用是多少？ 分析　因為y對x呈線性相關關系，所以可以用線性相關的方法解決問題． 解　(1)制表 i 1 2 3 4 5 合計 xi 2 3 4 5 6 20 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 x 4 9 16 25 36 90 ＝4，＝5，x＝90，xiyi＝112.3 于是有 ＝＝1.23， ＝－ ＝5－1.234＝0.08. ∴線性回歸方程為 ＝1.23x＋0.08. (2)當x＝10時， ＝1.2310＋0.08＝12.38(萬元)， 即估計使用10年時維修費用約是12.38萬元． 點評　已知y對x呈線性相關關系，無需進行相關性檢驗，否則，應首先進行相關性檢驗． 3．非線性回歸問題 分析非線性回歸問題的具體做法 (1)若問題中已給出經驗公式，這時可以將解釋變量進行變換(換元)，將變量的非線性關系轉化為線性關系，將問題化為線性回歸分析問題來解決． (2)若問題中沒有給出經驗公式，需要我們畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖，通過與各種函數(shù)(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等)的圖象作比較，選擇一種與這些散點擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當?shù)淖兞孔儞Q，將問題化為線性回歸分析問題來解決． 下面舉例說明非線性回歸分析問題的解法． 例3　某地區(qū)對本地的企業(yè)進行了一次抽樣調查，表中是這次抽查中所得到的各企業(yè)的人均資本x(單位：萬元)與人均產值y(單位：萬元)的數(shù)據(jù)： 人均資本x/萬元 3 4 5.5 6.5 7 8 9 10.5 11.5 14 人均產值y/萬元 4.12 4.67 8.68 11.01 13.04 14.43 17.50 25.46 26.66 45.20 (1)設y與x之間具有近似關系y≈axb (a，b為常數(shù))，試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計a和b的值； (2)估計企業(yè)人均資本為16萬元時的人均產值(精確到0.01)． 解　(1)在y≈axb的兩邊取常用對數(shù)，可得lg y≈lg a＋blg x，設lg y＝z，lg a＝A，lg x＝X，則z≈A＋bX. 相關數(shù)據(jù)計算如下表所示. 人均資本x/萬元 3 4 5.5 6.5 7 人均產出y/萬元 4.12 4.67 8.68 11.01 13.04 X＝lg x 0.477 12 0.602 06 0.740 36 0.812 91 0.845 1 z＝lg y 0.614 9 0.669 32 0.938 52 1.041 79 1.115 28 人均資本x/萬元 8 9 10.5 11.5 14 人均產出y/萬元 14.43 17.50 25.46 26.66 45.20 X＝lg x 0.903 09 0.954 24 1.021 19 1.060 7 1.146 13 z＝lg y 1.159 27 1.243 04 1.405 86 1.425 86 1.655 14 由公式(1)可得 由lg ＝－0.215 5，得 ≈0.608 8， 即a，b的估計值分別為0.608 8和1.567 7. (2)由(1)知 ＝0.608 8x1.567 7. 樣本數(shù)據(jù)及回歸曲線的圖形如圖所示． 當x＝16時， ＝0.608 8161.567 7≈47.01(萬元)， 故當企業(yè)人均資本為16萬元時，人均產值約為47.01萬元. 　　　　　　　　　　　　　　　　　3　獨立性檢驗思想的應用 在日常生活中，經常會面臨一些需要推斷的問題．在對這些問題作出推斷時，我們不能僅憑主觀臆斷作出結論，需要通過試驗來收集數(shù)據(jù)，并依據(jù)獨立性檢驗思想做出合理的推斷． 所謂獨立性檢驗，就是根據(jù)采集樣本的數(shù)據(jù)，利用公式計算χ2的值，比較與臨界值的大小關系來判定事件X與Y是否有關的問題．其基本步驟如下： (1)考察需抽樣調查的背景問題，確定所涉及的變量； (2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制作列聯(lián)表； (3)計算統(tǒng)計量χ2，并查表分析．當χ2很大時，就認為兩個變量有關系；否則就認為沒有充分的證據(jù)顯示兩個變量有關系． 下面舉例說明獨立性檢驗思想在解決實際問題中的應用． 例1　水果富含各種維生素，不但有益于人體健康，還可起到養(yǎng)顏護膚的功效．下表是一次調查所得的數(shù)據(jù)，試問：適量吃水果與皮膚好有關系嗎？有多大的把握認為你的結論成立？ 皮膚好 皮膚不好 合計 適量吃水果 30 224 254 不吃水果 24 1 355 1 379 合計 54 1 579 1 633 解　假設“適量吃水果與皮膚好沒有關系”，由題意可知，a＝30，b＝224，c＝24，d＝1 355，a＋b＝254，c＋d＝1 379，a＋c＝54，b＋d＝1 579，n＝1 633，代入得到 χ2＝≈68.033>10.828. ∴我們有99.9%的把握認為吃水果與皮膚好有關系． 點評　該例中我們有較大的把握認為結論成立，但我們所說的“吃水果與皮膚好有關系”指的都是統(tǒng)計上的關系，不要誤認為里面存在因果關系，具體到某一個適量吃水果的人，并不能說明他一定有好的皮膚． 例2　某大型企業(yè)人力資源部為了研究企業(yè)員工工作積極性和對待企業(yè)改革態(tài)度的關系，隨機抽取了189名員工進行調查，所得數(shù)據(jù)如下表所示： 積極支持企業(yè)改革 不太贊成企業(yè)改革 合計 工作積極 54 40 94 工作一般 32 63 95 合計 86 103 189 對于人力資源部的研究項目，根據(jù)上述數(shù)據(jù)能得出什么結論？ 分析　首先由已知條件確定a、b、c、d、n的數(shù)值，再利用公式求出χ2的值，最后根據(jù)χ2的值分析結果． 解　由題目中表的數(shù)據(jù)可知， χ2＝ ＝≈10.759. 因為10.759>7.879，所以有99.5%的把握說員工“工作積極”與“積極支持企業(yè)改革”有關，可以認為企業(yè)的全體員工對待企業(yè)改革的態(tài)度與其工作積極性是有關的． 點評　在列聯(lián)表中注意事件的對應及有關值的確定，避免混亂；把計算出的χ2的值與臨界值作比較，確定出“Ⅰ與Ⅱ有關系”的把握程度． 例3　為了調查患慢性氣管炎是否與吸煙有關，調查了339名50歲以上的人，統(tǒng)計結果為：患慢性氣管炎共有56人，患慢性氣管炎且吸煙的有43人，未患慢性氣管炎但吸煙的有162人．根據(jù)調查統(tǒng)計結果，分析患慢性氣管炎與吸煙在多大程度上有關系？ 解　根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)得到如下22列聯(lián)表： 患慢性氣管炎 未患慢性氣管炎 總計 吸煙 43 162 205 不吸煙 13 121 134 總計 56 283 339 由列聯(lián)表可以粗略估計出：在吸煙者中，有20.98%的患慢性氣管炎；在不吸煙者中，有9.70%的患慢性氣管炎．兩個比例的值相差較大，所以結論“患慢性氣管炎與吸煙有關”成立的可能性較大． 根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)， 得到χ2＝ ≈7.469>6.635. 所以有99%的把握認為“患慢性氣管炎與吸煙有關”． 點評　對列聯(lián)表的比例進行分析，可粗略地判斷兩個分類變量是否有關系．通過計算統(tǒng)計量χ2，可以比較精確地給出這種判斷的可靠程度．先收集數(shù)據(jù)，然后通過一些統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)進行科學的分析，這是我們用統(tǒng)計方法解決實際問題的基本策略. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　4　巧解非線性回歸問題 如果題目所給樣本點的分布不呈帶狀分布，即兩個變量不呈線性關系，那么，就不能直接利用線性回歸方程建立兩個變量之間的關系，這時我們可以把散點圖和已經學過的各種函數(shù)，如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)等作比較，挑選出與這些散點擬合最好的函數(shù)，然后利用變量置換，把非線性回歸方程問題轉化為線性回歸方程的問題來解決，這是解決此類問題的通法，體現(xiàn)了轉化思想． 1．案例分析 例　一個昆蟲的某項指標和溫度有關，現(xiàn)收集了7組數(shù)據(jù)如下表： 溫度x/℃ 2 3 4 5 6 7 8 某項指標y 5.790 6.810 8.199 10.001 12.190 14.790 17.801 試建立某項指標y關于溫度x的回歸模型，并判斷你所建立的回歸模型的擬合效果． 分析　根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出散點圖，再由圖設出相應的回歸模型． 解　畫出散點圖如圖所示，樣本點并沒有分布在某個帶狀區(qū)域內，而是分布在某一條二次函數(shù)曲線y＝Bx2＋A的周圍． 令X＝x2，則變換后的樣本點應該分布在y＝bX＋a(b＝B，a＝A)的周圍． 由已知數(shù)據(jù)可得變換后的樣本數(shù)據(jù)表： X 4 9 16 25 36 49 64 某項 指標y 5.790 6.810 8.199 10.001 12.190 14.790 17.801 計算得到線性回歸方程為 ＝0.199 94X＋4.999 03. 用x2替換X，得某項指標y關于溫度x的回歸方程 ＝0.199 94x2＋4.999 03. 計算得r≈0.999 999，幾乎為1，說明回歸模型的擬合效果非常好． 點評　本題是非線性回歸分析問題，解決這類問題應該先畫出散點圖，把它與我們所學過的函數(shù)圖象相對照，選擇一種跟這些樣本點擬合的最好的函數(shù)，然后采用適當?shù)淖兞孔儞Q轉化為線性回歸分析問題，使之得以解決． 2．知識拓展 常見的非線性函數(shù)轉換方法： (1)冪型函數(shù)y＝axm(a為正數(shù)，x，y取正值) 解決方案：對y＝axm兩邊取常用對數(shù)，有l(wèi)g y＝lg a＋mlg x，令u＝lg y，v＝lg x，則原式可變?yōu)閡＝mv＋lg a，其中m，lg a為常數(shù)，該式表示u，v的線性函數(shù)． (2)指數(shù)型函數(shù)y＝cax(a，c>0，且a≠1) 解決方案：對y＝cax兩邊取常用對數(shù)，則有l(wèi)g y＝lg c＋xlg a，令u＝lg y，則原式可變?yōu)閡＝xlg a＋lg c，其中l(wèi)g a和lg c為常數(shù)，該式表示u，x的線性函數(shù)．與冪函數(shù)不同的是x保持不變，用y的對數(shù)lg y代替了y. (3)反比例函數(shù)y＝(k>0) 解決方案：令u＝，則y＝ku，該式表示y，u的線性函數(shù)． (4)二次函數(shù)y＝ax2＋c 解決方案：令u＝x2，則原函數(shù)可變?yōu)閥＝au＋c，該式表示y，u的線性函數(shù)． (5)對數(shù)型函數(shù)y＝clogax 解決方案：令x＝au，則原函數(shù)可變?yōu)閥＝cu，該式表示y，u的線性函數(shù)．