2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計(jì)案例疑難規(guī)律方法學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc

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第三章 統(tǒng)計(jì)案例 　　　　　　　　　　　　　　1　本章知識(shí)大串燒 一、獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想 通過分析數(shù)據(jù)與圖形，得出的估計(jì)是粗略的，因?yàn)槲覀冋f的“大得多”、“小得多”，到底是有多大的差距？也就是說得到的結(jié)論是直觀上的印象，其實(shí)與是否有關(guān)還是有較大的差距的． 下面從理論上說明兩個(gè)變量是否有關(guān)，請(qǐng)同學(xué)們從中體會(huì)其思想方法． 1．基本思想與圖形的聯(lián)系 假設(shè)兩個(gè)變量是無關(guān)的，可知如下的比應(yīng)差不多，即： ≈?|ad－bc|＝0. 構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量χ2＝(其中n＝a＋b＋c＋d)(此公式如何記憶，其特點(diǎn)是什么？結(jié)合22列聯(lián)表理解)，顯然所構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量與|ad－bc|的大小具有一致性． 2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法 如果χ2的值較大，說明其發(fā)生(無關(guān)系)的概率很小，此時(shí)不接受假設(shè)，也就是兩個(gè)變量是有關(guān)系的(稱小概率事件發(fā)生)；如果χ2的值較小，此時(shí)接受假設(shè)，說明兩分類變量是無關(guān)系的．其思想方法類似于數(shù)學(xué)上的反證法． 3．得到χ2的值常與以下幾個(gè)臨界值加以比較： 如果χ2>2.706，就有90%的把握認(rèn)為Ⅰ和Ⅱ有關(guān)系；如果χ2>3.841，就有95%的把握認(rèn)為Ⅰ和Ⅱ有關(guān)系；如果χ2>6.635，就有99%的把握認(rèn)為Ⅰ和Ⅱ有關(guān)系；如果χ2>10.828，就有99.9%的把握認(rèn)為Ⅰ和Ⅱ有關(guān)系；如果χ2≤2.706，就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示Ⅰ和Ⅱ有關(guān)系． 像這種利用統(tǒng)計(jì)量χ2來確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)變量有關(guān)系”的方法稱為兩個(gè)變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)． 二、回歸分析 1．線性回歸方程 ＝ x＋ ，其中： ＝＝， ＝－ . (注： ＝主要方便計(jì)算，其中(xi，yi)為樣本數(shù)據(jù)，(，)為樣本點(diǎn)的中心) 公式作用：通過刻畫線性相關(guān)的兩變量之間的關(guān)系，估計(jì)和分析數(shù)據(jù)的情況，解釋一些實(shí)際問題，以及數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)． 2．樣本相關(guān)系數(shù)的具體計(jì)算公式 r＝ ＝ 公式作用：反映兩個(gè)變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱．當(dāng)r的絕對(duì)值接近1時(shí)，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；當(dāng)r的絕對(duì)值接近0時(shí)，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．規(guī)定當(dāng)|r|>r0.05時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系． 公式聯(lián)系：(1)由于分子與回歸方程中的斜率 的分子一樣(這也給出了公式的內(nèi)在聯(lián)系以及公式的記法)，因此，當(dāng)r>0時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)． (2)常配合散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)隨機(jī)變量是否線性相關(guān)． 散點(diǎn)圖是從形上進(jìn)行粗略地分析判斷，這個(gè)判斷是可行的、可靠的，也是進(jìn)行線性回歸分析的基礎(chǔ)，否則回歸方程失效；它形象直觀地反映了數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布情況． 相關(guān)系數(shù)r是從數(shù)上反映了兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，以及線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱，它較精確地反映了數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布情況，準(zhǔn)確可靠. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　2　回歸分析題目擊破 1．基本概念 函數(shù)關(guān)系是一種確定關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系，回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法． 例1　下列變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是________．(填序號(hào)) ①正方形的邊長與面積之間的關(guān)系； ②水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系； ③人的身高與年齡之間的關(guān)系； ④降雪量與交通事故發(fā)生率之間的關(guān)系． 分析　兩變量之間的關(guān)系有兩種：函數(shù)關(guān)系和帶有隨機(jī)性的相關(guān)關(guān)系． 解析?、偈呛瘮?shù)關(guān)系； ②不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但是具有相關(guān)性，因而是相關(guān)關(guān)系； ③既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系，因?yàn)槿说哪挲g達(dá)到一定時(shí)期身高就不發(fā)生明顯變化了，因而它們不具有相關(guān)關(guān)系； ④降雪量與交通事故發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系． 答案?、冖? 點(diǎn)評(píng)　該例主要考查對(duì)變量相關(guān)關(guān)系概念的掌握． 2．線性回歸方程 設(shè)x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，且相應(yīng)于n個(gè)觀測值的n個(gè)點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，這條直線就叫做線性回歸直線． 例2　假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)用y(萬元)有如下的統(tǒng)計(jì)資料： 使用年限x 2 3 4 5 6 維修費(fèi)用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由資料知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求： (1)線性回歸方程 ＝ ＋ x； (2)估計(jì)使用年限10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？ 分析　因?yàn)閥對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系，所以可以用線性相關(guān)的方法解決問題． 解　(1)制表 i 1 2 3 4 5 合計(jì) xi 2 3 4 5 6 20 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 x 4 9 16 25 36 90 ＝4，＝5，x＝90，xiyi＝112.3 于是有 ＝＝1.23， ＝－ ＝5－1.234＝0.08. ∴線性回歸方程為 ＝1.23x＋0.08. (2)當(dāng)x＝10時(shí)， ＝1.2310＋0.08＝12.38(萬元)， 即估計(jì)使用10年時(shí)維修費(fèi)用約是12.38萬元． 點(diǎn)評(píng)　已知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系，無需進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，否則，應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)． 3．非線性回歸問題 分析非線性回歸問題的具體做法 (1)若問題中已給出經(jīng)驗(yàn)公式，這時(shí)可以將解釋變量進(jìn)行變換(換元)，將變量的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，將問題化為線性回歸分析問題來解決． (2)若問題中沒有給出經(jīng)驗(yàn)公式，需要我們畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，通過與各種函數(shù)(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等)的圖象作比較，選擇一種與這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，將問題化為線性回歸分析問題來解決． 下面舉例說明非線性回歸分析問題的解法． 例3　某地區(qū)對(duì)本地的企業(yè)進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，表中是這次抽查中所得到的各企業(yè)的人均資本x(單位：萬元)與人均產(chǎn)值y(單位：萬元)的數(shù)據(jù)： 人均資本x/萬元 3 4 5.5 6.5 7 8 9 10.5 11.5 14 人均產(chǎn)值y/萬元 4.12 4.67 8.68 11.01 13.04 14.43 17.50 25.46 26.66 45.20 (1)設(shè)y與x之間具有近似關(guān)系y≈axb (a，b為常數(shù))，試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)a和b的值； (2)估計(jì)企業(yè)人均資本為16萬元時(shí)的人均產(chǎn)值(精確到0.01)． 解　(1)在y≈axb的兩邊取常用對(duì)數(shù)，可得lg y≈lg a＋blg x，設(shè)lg y＝z，lg a＝A，lg x＝X，則z≈A＋bX. 相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算如下表所示. 人均資本x/萬元 3 4 5.5 6.5 7 人均產(chǎn)出y/萬元 4.12 4.67 8.68 11.01 13.04 X＝lg x 0.477 12 0.602 06 0.740 36 0.812 91 0.845 1 z＝lg y 0.614 9 0.669 32 0.938 52 1.041 79 1.115 28 人均資本x/萬元 8 9 10.5 11.5 14 人均產(chǎn)出y/萬元 14.43 17.50 25.46 26.66 45.20 X＝lg x 0.903 09 0.954 24 1.021 19 1.060 7 1.146 13 z＝lg y 1.159 27 1.243 04 1.405 86 1.425 86 1.655 14 由公式(1)可得 由lg ＝－0.215 5，得 ≈0.608 8， 即a，b的估計(jì)值分別為0.608 8和1.567 7. (2)由(1)知 ＝0.608 8x1.567 7. 樣本數(shù)據(jù)及回歸曲線的圖形如圖所示． 當(dāng)x＝16時(shí)， ＝0.608 8161.567 7≈47.01(萬元)， 故當(dāng)企業(yè)人均資本為16萬元時(shí)，人均產(chǎn)值約為47.01萬元. 　　　　　　　　　　　　　　　　　3　獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的應(yīng)用 在日常生活中，經(jīng)常會(huì)面臨一些需要推斷的問題．在對(duì)這些問題作出推斷時(shí)，我們不能僅憑主觀臆斷作出結(jié)論，需要通過試驗(yàn)來收集數(shù)據(jù)，并依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想做出合理的推斷． 所謂獨(dú)立性檢驗(yàn)，就是根據(jù)采集樣本的數(shù)據(jù)，利用公式計(jì)算χ2的值，比較與臨界值的大小關(guān)系來判定事件X與Y是否有關(guān)的問題．其基本步驟如下： (1)考察需抽樣調(diào)查的背景問題，確定所涉及的變量； (2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制作列聯(lián)表； (3)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量χ2，并查表分析．當(dāng)χ2很大時(shí)，就認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)系；否則就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示兩個(gè)變量有關(guān)系． 下面舉例說明獨(dú)立性檢驗(yàn)思想在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用． 例1　水果富含各種維生素，不但有益于人體健康，還可起到養(yǎng)顏?zhàn)o(hù)膚的功效．下表是一次調(diào)查所得的數(shù)據(jù)，試問：適量吃水果與皮膚好有關(guān)系嗎？有多大的把握認(rèn)為你的結(jié)論成立？ 皮膚好 皮膚不好 合計(jì) 適量吃水果 30 224 254 不吃水果 24 1 355 1 379 合計(jì) 54 1 579 1 633 解　假設(shè)“適量吃水果與皮膚好沒有關(guān)系”，由題意可知，a＝30，b＝224，c＝24，d＝1 355，a＋b＝254，c＋d＝1 379，a＋c＝54，b＋d＝1 579，n＝1 633，代入得到 χ2＝≈68.033>10.828. ∴我們有99.9%的把握認(rèn)為吃水果與皮膚好有關(guān)系． 點(diǎn)評(píng)　該例中我們有較大的把握認(rèn)為結(jié)論成立，但我們所說的“吃水果與皮膚好有關(guān)系”指的都是統(tǒng)計(jì)上的關(guān)系，不要誤認(rèn)為里面存在因果關(guān)系，具體到某一個(gè)適量吃水果的人，并不能說明他一定有好的皮膚． 例2　某大型企業(yè)人力資源部為了研究企業(yè)員工工作積極性和對(duì)待企業(yè)改革態(tài)度的關(guān)系，隨機(jī)抽取了189名員工進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示： 積極支持企業(yè)改革 不太贊成企業(yè)改革 合計(jì) 工作積極 54 40 94 工作一般 32 63 95 合計(jì) 86 103 189 對(duì)于人力資源部的研究項(xiàng)目，根據(jù)上述數(shù)據(jù)能得出什么結(jié)論？ 分析　首先由已知條件確定a、b、c、d、n的數(shù)值，再利用公式求出χ2的值，最后根據(jù)χ2的值分析結(jié)果． 解　由題目中表的數(shù)據(jù)可知， χ2＝ ＝≈10.759. 因?yàn)?0.759>7.879，所以有99.5%的把握說員工“工作積極”與“積極支持企業(yè)改革”有關(guān)，可以認(rèn)為企業(yè)的全體員工對(duì)待企業(yè)改革的態(tài)度與其工作積極性是有關(guān)的． 點(diǎn)評(píng)　在列聯(lián)表中注意事件的對(duì)應(yīng)及有關(guān)值的確定，避免混亂；把計(jì)算出的χ2的值與臨界值作比較，確定出“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”的把握程度． 例3　為了調(diào)查患慢性氣管炎是否與吸煙有關(guān)，調(diào)查了339名50歲以上的人，統(tǒng)計(jì)結(jié)果為：患慢性氣管炎共有56人，患慢性氣管炎且吸煙的有43人，未患慢性氣管炎但吸煙的有162人．根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果，分析患慢性氣管炎與吸煙在多大程度上有關(guān)系？ 解　根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)得到如下22列聯(lián)表： 患慢性氣管炎 未患慢性氣管炎 總計(jì) 吸煙 43 162 205 不吸煙 13 121 134 總計(jì) 56 283 339 由列聯(lián)表可以粗略估計(jì)出：在吸煙者中，有20.98%的患慢性氣管炎；在不吸煙者中，有9.70%的患慢性氣管炎．兩個(gè)比例的值相差較大，所以結(jié)論“患慢性氣管炎與吸煙有關(guān)”成立的可能性較大． 根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)， 得到χ2＝ ≈7.469>6.635. 所以有99%的把握認(rèn)為“患慢性氣管炎與吸煙有關(guān)”． 點(diǎn)評(píng)　對(duì)列聯(lián)表的比例進(jìn)行分析，可粗略地判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系．通過計(jì)算統(tǒng)計(jì)量χ2，可以比較精確地給出這種判斷的可靠程度．先收集數(shù)據(jù)，然后通過一些統(tǒng)計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行科學(xué)的分析，這是我們用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題的基本策略. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　4　巧解非線性回歸問題 如果題目所給樣本點(diǎn)的分布不呈帶狀分布，即兩個(gè)變量不呈線性關(guān)系，那么，就不能直接利用線性回歸方程建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系，這時(shí)我們可以把散點(diǎn)圖和已經(jīng)學(xué)過的各種函數(shù)，如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)等作比較，挑選出與這些散點(diǎn)擬合最好的函數(shù)，然后利用變量置換，把非線性回歸方程問題轉(zhuǎn)化為線性回歸方程的問題來解決，這是解決此類問題的通法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想． 1．案例分析 例　一個(gè)昆蟲的某項(xiàng)指標(biāo)和溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了7組數(shù)據(jù)如下表： 溫度x/℃ 2 3 4 5 6 7 8 某項(xiàng)指標(biāo)y 5.790 6.810 8.199 10.001 12.190 14.790 17.801 試建立某項(xiàng)指標(biāo)y關(guān)于溫度x的回歸模型，并判斷你所建立的回歸模型的擬合效果． 分析　根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，再由圖設(shè)出相應(yīng)的回歸模型． 解　畫出散點(diǎn)圖如圖所示，樣本點(diǎn)并沒有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，而是分布在某一條二次函數(shù)曲線y＝Bx2＋A的周圍． 令X＝x2，則變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在y＝bX＋a(b＝B，a＝A)的周圍． 由已知數(shù)據(jù)可得變換后的樣本數(shù)據(jù)表： X 4 9 16 25 36 49 64 某項(xiàng) 指標(biāo)y 5.790 6.810 8.199 10.001 12.190 14.790 17.801 計(jì)算得到線性回歸方程為 ＝0.199 94X＋4.999 03. 用x2替換X，得某項(xiàng)指標(biāo)y關(guān)于溫度x的回歸方程 ＝0.199 94x2＋4.999 03. 計(jì)算得r≈0.999 999，幾乎為1，說明回歸模型的擬合效果非常好． 點(diǎn)評(píng)　本題是非線性回歸分析問題，解決這類問題應(yīng)該先畫出散點(diǎn)圖，把它與我們所學(xué)過的函數(shù)圖象相對(duì)照，選擇一種跟這些樣本點(diǎn)擬合的最好的函數(shù)，然后采用適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題，使之得以解決． 2．知識(shí)拓展 常見的非線性函數(shù)轉(zhuǎn)換方法： (1)冪型函數(shù)y＝axm(a為正數(shù)，x，y取正值) 解決方案：對(duì)y＝axm兩邊取常用對(duì)數(shù)，有l(wèi)g y＝lg a＋mlg x，令u＝lg y，v＝lg x，則原式可變?yōu)閡＝mv＋lg a，其中m，lg a為常數(shù)，該式表示u，v的線性函數(shù)． (2)指數(shù)型函數(shù)y＝cax(a，c>0，且a≠1) 解決方案：對(duì)y＝cax兩邊取常用對(duì)數(shù)，則有l(wèi)g y＝lg c＋xlg a，令u＝lg y，則原式可變?yōu)閡＝xlg a＋lg c，其中l(wèi)g a和lg c為常數(shù)，該式表示u，x的線性函數(shù)．與冪函數(shù)不同的是x保持不變，用y的對(duì)數(shù)lg y代替了y. (3)反比例函數(shù)y＝(k>0) 解決方案：令u＝，則y＝ku，該式表示y，u的線性函數(shù)． (4)二次函數(shù)y＝ax2＋c 解決方案：令u＝x2，則原函數(shù)可變?yōu)閥＝au＋c，該式表示y，u的線性函數(shù)． (5)對(duì)數(shù)型函數(shù)y＝clogax 解決方案：令x＝au，則原函數(shù)可變?yōu)閥＝cu，該式表示y，u的線性函數(shù)．