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1、
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2、 1
第三節(jié) 二項(xiàng)式定理
A組 基礎(chǔ)題組
1.(20xx四川,2,5分)在x(1+x)6的展開式中,含x3項(xiàng)的系數(shù)為( )
A.30 B.20 C.15 D.10
2.二項(xiàng)式x+2x2n的展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開式中常數(shù)項(xiàng)是( )
A.180 B.90 C.45 D.360
3.在ax6+bx4的展開式中,如果x3的系數(shù)為20,那么
3、ab3=( )
A.20 B.15 C.10 D.5
4.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a1+a2+…+a6=63,則實(shí)數(shù)m的值為( )
A.1或3 B.-3 C.1 D.1或-3
5.(20xx湖北,3,5分)已知(1+x)n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為( )
A.212 B.211 C.210 D.29
6.(20xx北京昌平期末)在2x2-1x6的展開式中,常數(shù)項(xiàng)是 .(用數(shù)字作答)?
7.已知x2+1xn的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為32,則展開式中x4的系數(shù)為 .?
8.(1+3x)
4、61+14x10的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 .?
9.已知(a2+1)n的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和等于165x2+1x5的展開式的常數(shù)項(xiàng),而(a2+1)n的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)等于54,求a的值.
10.已知函數(shù)f(x)=(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n(n≥3).
(1)求展開式中x2的系數(shù);
(2)求展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和.
B組 提升題組
11.若(2x-3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則a1+2a2+3a3+4a4+5a5=( )
A.32 B
5、.-1 C.10 D.1
12.(20xx福建廈門海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)等聯(lián)考)在1+x+1x201510的展開式中,含x2的項(xiàng)的系數(shù)為( )
A.10 B.30 C.45 D.120
13.若將函數(shù)f(x)=x5表示為f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5為實(shí)數(shù),則a3= .?
14.(20xx河北保定期末)若a=-蟺2?€2cosxdx,則xa+1x+24的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 .?
15.在(2x-3y)10的展開式中,求:
(1)二項(xiàng)式系數(shù)的和;
(2)各項(xiàng)系數(shù)的和;
(3)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)
6、項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和;
(4)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和.
16.(20xx吉林長春檢測)已知二項(xiàng)式12+2xn.
(1)若展開式中第5項(xiàng),第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列,求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù);
(2)若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79,求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).
答案全解全析
A組 基礎(chǔ)題組
1.C 在(1+x)6的展開式中,含x2的項(xiàng)為T3=C62·x2=15x2,故在x(1+x)6的展開式中,含x3的項(xiàng)的系數(shù)為15.
2.A 由二項(xiàng)展開式中系數(shù)的性質(zhì),得n=10,∴Tr+1=C10r·(x)
7、10-r2x2r=2rC10r·x5-52r,令5-52r=0,則r=2,從而展開式的常數(shù)項(xiàng)是T3=4C102=180.
3.D 展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C4ra4-rbrx24-7r,令24-7r=3,得r=3,則C43ab3=20,∴ab3=5.
4.D 令x=0,得a0=(1+0)6=1.令x=1,得(1+m)6=a0+a1+a2+…+a6.又a1+a2+a3+…+a6=63,∴(1+m)6=64=26,∴1+m=±2,∴m=1或m=-3.
5.D ∵(1+x)n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為Cn3,Cn7,∴Cn3=Cn7,得n=10.
∵C100+C101+C10
8、2+C103+…+C1010=210,
又C100+C102+…+C1010=C101+C103+…+C109,
∴奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為C100+C102+…+C1010=29.
6.答案 60
解析 展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C6r(2x2)6-r·-1xr=(-1)r·26-r·C6r·x12-3r,令12-3r=0,得r=4,∴常數(shù)項(xiàng)是T5=22×C64=60.
7.答案 10
解析 令x=1,得2n=32,所以n=5,則展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C5r(x2)5-r1xr=C5rx10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以展開式中x4的系數(shù)為C52=10.
8.答案 42
9、46
解析 分別求兩個因式的通項(xiàng):Tr+1=C6rxr3,Tr'+1=C10r'x-r'4,由C6rxr3·C10r'x-r'4=C6rC10r'xr3-r'4,令r3-r'4=0,又0≤r≤6,0≤r'≤10,且r、r'為整數(shù),解得r=r'=0,或r=3且r'=4,或r=6且r'=8.
∴常數(shù)項(xiàng)為1+C63C104+C66C108=4246.
9.解析 165x2+1x5的展開式的通項(xiàng)為
Tr+1=C5r165x25-r1xr=1655-r·C5r·x20-5r2,
令20-5r2=0,得r=4,
所以常數(shù)項(xiàng)為T5=C54×165=16.
又(a2+1)n的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之
10、和等于2n,
所以2n=16,n=4,
所以(a2+1)4的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是T3=C42a4=54,
所以a=±3.
10.解析 (1)展開式中x2的系數(shù)為C22+C32+C42+…+Cn2
=C33+C32+C42+…+Cn2
=C43+C42+…+Cn2
=C53+C52+…+Cn2
=…=Cn+13==n(n+1)(n-1)6.
(2)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為f(1)=2+22+23+…+2n=2(1-2n)1-2=2n+1-2.
B組 提升題組
11.C 原等式兩邊求導(dǎo)得10(2x-3)4=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4,令x=1,得a1
11、+2a2+3a3+4a4+5a5=10.故選C.
12.C 因?yàn)?+x+1x201510=(1+x)+1x201510=(1+x)10+C101(1+x)91x2015+…+C10101x201510,所以x2項(xiàng)只能在(1+x)10的展開式中出現(xiàn),所以含x2的項(xiàng)為C102x2,系數(shù)為C102=45.故選C.
13.答案 10
解析 由于f(x)=x5=(1+x)-1]5,所以a3=C52(-1)2=10.
14.答案 352
解析 ∵a=-蟺2?€2cosxdx=20蟺2cosxdx
=2sinx=2sin=2,
∴xa+1x+24=x2+1x+24
=x2+1x+24,
通
12、項(xiàng)公式為Tr+1=C4rx2+1x4-r·(2)r.
當(dāng)r=0,2,4時才會有常數(shù)項(xiàng),
故展開式的常數(shù)項(xiàng)為C40C42x221x2+C42·C21·x2·1x·(2)2+C44(2)4=32+12+4=352.
15.解析 (1)二項(xiàng)式系數(shù)的和為C100+C101+…+C1010=210.
(2)令x=y=1,則各項(xiàng)系數(shù)和為(2-3)10=(-1)10=1.
(3)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為C100+C102+…+C1010=29,
偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為C101+C103+…+C109=29.
(4)設(shè)(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,
13、令x=y=1,得a0+a1+a2+…+a10=1,①
令x=1,y=-1(或x=-1,y=1),
得a0-a1+a2-a3+…+a10=510,②
①+②得2(a0+a2+…+a10)=1+510,
∴奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為1+5102;
①-②得2(a1+a3+…+a9)=1-510,
∴偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為1-5102.
16.解析 (1)由題意知Cn4+Cn6=2Cn5,∴n2-21n+98=0,
∴n=7或n=14.
當(dāng)n=7時,展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T4和T5,
T4的系數(shù)為C7312423=352,
T5的系數(shù)為C7412324=70.
當(dāng)n=14時,展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T8,
T8的系數(shù)為C14712727=3432.
(2)由題意知Cn0+Cn1+Cn2=79,∴n2+n-156=0.
∴n=12或n=-13(舍去).
設(shè)Tk+1項(xiàng)的系數(shù)最大,
∵12+2x12=1212(1+4x)12,
∴
∴9.4≤k≤10.4,又k為整數(shù),∴k=10.
∴展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T11,
T11=C1210·122·210·x10=16896x10.
新版高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)作業(yè)：第十章 計數(shù)原理 第三節(jié) 二項(xiàng)式定理 Word版含解析
