2018學(xué)年高中物理 第1章 機械振動 簡諧運動及其圖象學(xué)案 教科版選修3-4.doc

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簡諧運動及其圖象 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．知道什么是彈簧振子以及彈簧振子是理想化模型。 2．知道什么樣的振動是簡諧運動。 3．明確簡諧運動圖像的意義及表示方法。 4．知道什么是振動的振幅、周期和頻率。 5．理解周期和頻率的關(guān)系及固有周期、固有頻率的意義。 6．知道簡諧運動的圖像是一條正弦或余弦曲線，明確圖像的物理意義及圖像信息。 7．能用公式描述簡諧運動的特征。 【要點梳理】 要點一、機械振動 1．彈簧振子 彈簧振子是小球和彈簧所組成的系統(tǒng)，這是一種理想化模型．如圖所示裝置，如果球與桿之間的摩擦可以忽略，且彈簧的質(zhì)量與小球的質(zhì)量相比也可以忽略，則該裝置為彈簧振子． 2．平衡位置 平衡位置是指物體所受回復(fù)力為零的位置． 3．振動 物體（或物體的一部分）在平衡位置附近所做的往復(fù)運動，叫做機械振動． 振動的特征是運動具有重復(fù)性． 要點詮釋：振動的軌跡可以是直線也可以是曲線． 4．振動圖像 （1）圖像的建立：用橫坐標(biāo)表示振動物體運動的時間，縱坐標(biāo)表示振動物體運動過程中對平衡位置的位移，建立坐標(biāo)系，如圖所示． （2）圖像意義：反映了振動物體相對于平衡位置的位移隨時間變化的規(guī)律． （3）振動位移：通常以平衡位置為位移起點，所以振動位移的方向總是背離平衡位置的．如圖所示，在圖像中，某時刻質(zhì)點位置在軸上方，表示位移為正（如圖中時刻），某時刻質(zhì)點位置在軸下方，表示位移為負(fù)（如圖中時刻）． （4）速度：跟運動學(xué)中的含義相同，在所建立的坐標(biāo)軸（也稱為“一維坐標(biāo)系”）上，速度的正負(fù)號表示振子運動方向與坐標(biāo)軸的正方向相同或相反． 如圖所示，在坐標(biāo)軸上，設(shè)點為平衡位置。為位移最大處，則在點速度最大，在兩點速度為零． 在前面的圖像中，時刻速度為正，時刻速度為負(fù)． 要點二、簡諧運動 1．簡諧運動 如果質(zhì)點的位移與時間的關(guān)系遵從正弦函數(shù)規(guī)律，即它的振動圖像是一條正弦曲線，這樣的振動叫做簡諧運動． 簡諧運動是物體偏離平衡位置的位移隨時間做正弦或余弦規(guī)律而變化的運動，它是一種非勻變速運動． 物體在跟位移的大小成正比，方向總是指向平衡位置的力的作用下的振動，叫做簡諧運動． 簡諧運動是最簡單、最基本的振動． 2．實際物體看做理想振子的條件 （1）彈簧的質(zhì)量比小球的質(zhì)量小得多，可以認(rèn)為質(zhì)量集中于振子（小球）；（2）當(dāng)與彈簧相接的小球體積足夠小時，可以認(rèn)為小球是一個質(zhì)點；（3）當(dāng)水平桿足夠光滑時，可以忽略彈簧以及小球與水平桿之間的摩擦力；（4）小球從平衡位置拉開的位移在彈簧的彈性限度內(nèi)． 3．理解簡諧運動的對稱性 如圖所示，物體在與間運動，點為平衡位置，和兩點關(guān)于點對稱，則有： （1）時間的對稱： ， ， ． （2）速度的對稱： ①物體連續(xù)兩次經(jīng)過同一點（如點）的速度大小相等，方向相反． ②物體經(jīng)過關(guān)于點對稱的兩點（如與兩點）的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反． 4．從振動圖像分析速度的方法 （1）從振動位移變化情況分析：如圖所示，例如欲確定質(zhì)點在時刻的速度方向，取大于一小段時間的另一時刻，并使極小，考查質(zhì)點在時刻的位置（），可知，即位于的下方，也就是經(jīng)過很短的時間，質(zhì)點的位移將減小，說明時刻質(zhì)點速度方向沿軸的負(fù)方向．同理可判定時刻質(zhì)點沿軸負(fù)方向運動，正在離開平衡位置向負(fù)最大位移處運動． 若，由簡諧運動的對稱特點，還可判斷和時刻對應(yīng)的速度大小關(guān)系為。 （2）從圖像斜率分析：圖像切線斜率為正，速度方向為正方向，圖像切線斜率為負(fù)，速度方向為負(fù)方向，斜率絕對值表示速度大小．斜率大、速度大． 要點三、描述簡諧運動的基本概念 1．全振動 一個完整的振動過程，稱為一次全振動． 不管以哪里作為開始研究的起點，彈簧振子完成一次全振動的時間總是相同的． 2．周期 （1）定義：做簡諧運動的物體完成一次全振動所需要的時間叫做振動的周期，用表示． （2）單位：在國際單位制中，周期的單位是秒（）． （3）意義：周期是表示振動快慢的物理量． 周期越長表示物體運動得越慢，周期越短表示物體運動得越快． （4）簡諧運動的周期公式：． 要點詮釋：公式中為做簡諧運動物體的質(zhì)量，為做簡諧運動物體受到的合外力跟位移的大小的比例常數(shù)． 3．振幅 （1）定義：振動物體離開平衡位置的最大距離，叫做振幅，用表示． （2）單位：在國際單位制中，振幅的單位是米（）． （3）意義：振幅是表示振動強弱的物理量． 要點詮釋：①振幅是一個標(biāo)量，是指物體偏離平衡位置的最大距離．它沒有負(fù)值，也無方向，所以振幅不同于最大位移．②在簡諧運動中，振幅跟頻率或周期無關(guān)．在一個穩(wěn)定的振動中，物體的振幅是不變的．③振動物體在一個全振動過程通過的路程等于個振幅，在半個周期內(nèi)通過的路程是兩個振幅，但個周期內(nèi)通過的路程不一定等于一個振幅．可以比一個振幅大，也可以比一個振幅小． 4．頻率 （1）定義：單位時間內(nèi)完成的全振動的次數(shù)，叫故振動的頻率，用表示．常把物體在內(nèi)完成的全振動次數(shù)叫做頻率． （2）單位：在國際單位制中，頻率的單位是赫茲（）． （3）意義：頻率是表示物體振動快慢的物理量．頻率越大表示振動得越快，頻率越小表示振動得越慢． （4）周期與頻率的關(guān)系：。 （5）固有頻率和固有周期：振子獲得能量后，物體開始振動．物體的振動頻率，只是由振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定，與其他因素?zé)o關(guān)，其振動頻率叫固有頻率，振動周期也叫固有周期． 要點四、簡諧運動的描述 1．簡諧運動的表達式： （1）式中表示振動質(zhì)點相對于平衡位置的位移，表示振動的時間． （2）表示振動質(zhì)點偏離平衡位置的最大距離，即振幅． （3）叫做簡諧運動的圓頻率，它也表示簡諧運動物體振動的快慢．與周期及頻率的關(guān)系： 　　　　。 所以表達式也可寫成： 或． （4）表示時，簡諧運動質(zhì)點所處的狀態(tài)，稱為初相位或初相．代表了簡諧運動的質(zhì)點在時刻處在一個運動周期中的哪個狀態(tài)，所以代表簡諧運動的相位． （5）簡諧運動的位移和時間的關(guān)系也可用余弦函數(shù)表示成：，注意同一振動用不同函數(shù)表示時相位不同，而且相位 是隨時間變化的量． （6）相位每增加就意味著完成了一次全振動． 2．測量彈簧振子周期的方法 彈簧振子的周期一般較小，測定其周期時，一般是用秒表測出振子完成次全振動所用的時間，則 ． 值取大一些（如）可以減小周期的測量誤差． 3．計算振動物體通過的路程的方法 一個周期內(nèi)，振子的運動路程為．若全振動的次數(shù)為，則振動物體通過的路程為． 4．對一次全振動的認(rèn)識 對簡諧運動的物體，某一階段的振動是否為一次全振動，可以從以下兩個角度判斷： 一是從物體經(jīng)過某點時的特征物理量看，如果物體的位移和速度都回到原值（大小、方向兩方面），即物體完成了一次全振動； 二是看物體在這段時間內(nèi)通過的路程是否等于振幅的四倍． 5．相位差 是指兩個相位之差，在實際中經(jīng)常用到的是兩個具有相同頻率的簡諧運動的相位差，反映出兩簡諧運動的步調(diào)差異． 設(shè)兩簡諧運動和的振動方程分別為： 　　， ， 它們的相位差為 ． 可見，其相位差恰好等于它們的初相之差，因為初相是確定的，所以頻率相同的兩個簡諧運動有確定的相位差． 若 ， 則稱的相位比的相位超前，或的相位比的相位落后； 若 ， 則稱的相位比的相位落后，或的相位比的相位超前． （1）同相：相位差為零，一般的為 ． （2）反相：相位差為π，一般的為 ． 要點詮釋：比較相位或計算相位差時，要用同種函數(shù)來表示振動方程，相位差的取值范圍：． 6．振動圖像的信息 如圖所示，則 （1）從圖像上可知振動的振幅為； （2）從圖像上可知振動的周期為； （3）從圖像上可知質(zhì)點在不同時刻的位移，時刻對應(yīng)位移，時刻對應(yīng)位移； （4）從圖像上可以比較質(zhì)點在各個時刻速度的大小及符號（表示方向），如時刻質(zhì)點的速度較時刻質(zhì)點的速度小，時刻質(zhì)點的速度為負(fù)，時刻質(zhì)點的速度也為負(fù)（時刻是質(zhì)點由最大位移處向平衡位置運動過程的某一時刻，而時刻是質(zhì)點由平衡位置向負(fù)的最大位移運動過程中的某一時刻）； （5）從圖像上可以比較質(zhì)點在各個時刻加速度的大小及符號，如時刻的加速度較質(zhì)點在時刻的加速度大，時刻質(zhì)點加速度符號為負(fù)，時刻質(zhì)點加速度符號為正； （6）從圖像可以看出質(zhì)點在不同時刻之間的相位差． 7．簡諧運動的周期性 簡諧運動是一種周而復(fù)始的周期性的運動，按其周期性可作如下判斷： （1）若 ， 則兩時刻振動物體在同一位置，運動情況相同． （2）若 ， 則兩時刻，描述運動的物理量均大小相等，方向相反． （3）若 或 ， 則當(dāng)時刻物體到達最大位移處時，時刻物體到達平衡位置；當(dāng)時刻物體在平衡位置時，時刻到達最大位移處；若時刻，物體在其他位置，時刻物體到達何處就要視具體情況而定． 【典型例題】 類型一、簡諧運動的基本概念 例1．關(guān)于機械振動的位移和平衡位置，以下說法中正確的是（ ）． A．平衡位置就是物體振動范圍的中心位置 B．機械振動的位移總是以平衡位置為起點的位移 C．機械振動的物體運動的路程越大，發(fā)生的位移也越大 D．機械振動的位移是指振動物體偏離平衡位置最遠時的位移 【思路點撥】平衡位置是物體所受回復(fù)力為零時所在的位置． 【答案】B 【解析】平衡位置是物體可以靜止時的位置，所以應(yīng)與受力有關(guān)，與是否為振動范圍的中心位置無關(guān)．如乒乓球豎直落在臺面上的運動是一個機械振動，顯然其運動過程的中心位置應(yīng)在臺面上，所以A項不正確；振動位移是以平衡位置為初始點，到質(zhì)點所在位置的有向線段，振動位移隨時間而變，振子偏離平衡位置最遠時，振動物體振動位移最大，所以只有選項B正確． 【總結(jié)升華】位移和平衡位置是機械振動問題中非常重要的概念．位移的正負(fù)方向應(yīng)該作出規(guī)定，平衡位置則是物體所受回復(fù)力為零時所在的位置． 舉一反三: 【高清課堂：簡諧振動及其圖像例1】 【變式1】一質(zhì)點做簡諧運動，其振動圖象如圖所示，則（ ）． A．振幅是 B．振動頻率為 C．時，質(zhì)點速度為正且最大 D．時，質(zhì)點速度為正且最大 【答案】A C 【變式2】一質(zhì)點作簡諧運動，圖象如圖所示，在到這段時間內(nèi)，質(zhì)點的運動情況是（ ）． A．沿負(fù)方向運動，且速度不斷增大 B．沿負(fù)方向運動的位移不斷增大 C．沿正方向運動，且速度不斷增大 D．沿正方向的加速度不斷減小 【答案】C D 類型二、振動圖像的理解 例2．如圖是用頻閃照相的方法獲得的彈簧振子的位移一時間圖像，下列有關(guān)該圖像的說法正確的是（ ）． A．該圖像的坐標(biāo)原點建立在彈簧振子小球的平衡位置 B．從圖像可以看出小球在振動過程中是沿軸方向移動的 C．為了顯示小球在不同時刻偏離平衡位置的位移，讓底片沿垂直軸方向勻速運動 D．圖像中小球的疏密顯示出相同時間內(nèi)小球位置變化快慢不同 【答案】A、C、D 【解析】由圖可直觀地獲得以下信息：①時刻振子的位置．②振子的振動方向．③底片的運動方向（軸負(fù)方向）．④振動速度的變化等．由圖像可見，時刻振子位移為，故位于平衡位置，A項正確；小球只在軸上振動，橫軸雖是由底片勻速運動得到的位移，但，已轉(zhuǎn)化成了時間軸，B項錯誤，C項正確；圖像中兩相鄰小球之間的時間間隔相同，疏處說明其位置變化快，密處說明其位置變化慢，故D項正確． 類型三、根據(jù)質(zhì)點振動判斷振動圖像 例3．一彈簧振子沿軸振動，振幅為，振子的平衡位置位于軸上的點．如圖甲中的為四個不同的振動狀態(tài)：黑點表示振子的位置，黑點上的箭頭表示運動的方向．如圖乙給出的①②③④四條振動曲線，可用于表示振子的振動圖像的是（ ）． A．若規(guī)定狀態(tài)時，則圖像為① B．若規(guī)定狀態(tài)時，則圖像為② C．若規(guī)定狀態(tài)時，則圖像為③ D．若規(guī)定狀態(tài)時，則圖像為④ 【思路點撥】把振動圖像和振動的情景結(jié)合起來，由圖像獲取信息形成物理情景，或由實際運動情景轉(zhuǎn)化為振動圖像．并注意規(guī)定正方向和零時刻不同。 【答案】A、D 【解析】振子在狀態(tài)時，此時的位移為，且向規(guī)定的正方向運動，故選項A正確．振子在狀態(tài)時，此時的位移為，且向規(guī)定的負(fù)方向運動。相應(yīng)的圖中初始位移不對．振子在狀態(tài)時，此時的位移為，且向規(guī)定的負(fù)方向運動，相應(yīng)的圖中運動方向及初始位移均不對．振子在狀態(tài)時，此時的位移為，速度為零，故選項D正確． 【總結(jié)升華】解決振動問題技巧之一是把振動圖像和振動的情景結(jié)合起來，由圖像獲取信息形成物理情景，或由實際運動情景轉(zhuǎn)化為振動圖像．并注意規(guī)定正方向和零時刻不同。振動圖像的形狀一般不同． 舉一反三: 【變式1】一個彈簧振子在間做簡諧運動，為平衡位置，如圖甲所示，從某時刻起開始計時，經(jīng)過周期，振子具有正向最大速度，則如圖乙所示的圖象中，哪一個能正確反映振子的振動情況？ 【答案】C 【變式2】（1）做簡諧振動的物體，振動周期為，從振子經(jīng)過平衡位置時開始計時，那么當(dāng)時，物體（ ）． 　　A．正在做加速運動，且加速度逐漸增大 　　B．正在做加速運動，且加速度逐漸減小 　　C．正在做減速運動，且加速度逐漸增大 　　D．正在做減速運動，且加速度逐漸減小 　　　　　　　　 　?。?）如上圖是豎直放置的彈簧振子不計空氣阻力時的振動情況。由圖可知：彈簧振子相對平衡位置的位移和時間的函數(shù)關(guān)系為_______________；若從如圖位置開始計時，則位移和時間的函數(shù)關(guān)系為_______________，請在原圖上畫出該圖象。 【答案】（1）C　 （2）， 【解析】（1）秒等于個周期，從振子經(jīng)過平衡位置時開始計時，向上還是向下振動，沒有說，可以分別設(shè)開始時向上、向下振動，都在遠離平衡位置，即做減速運動，加速度逐漸增大。 　　（2）分析右圖，由振幅、周期，算出角速度，初相位為，從而寫出振動方程。 　　由左圖可知，從振子經(jīng)過平衡位置向上時開始計時，振幅、周期與右圖均相同，初相位為零，從而寫出振動方程。 類型四、簡諧運動的位移、振幅、路程的關(guān)系及簡諧振動周期性的多解問題 例4．一個質(zhì)點做簡諧運動，振幅是，頻率為，該質(zhì)點從平衡位置起向正方向運動，經(jīng)，質(zhì)點的位移和路程分別是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由 得 ， ． 每個周期質(zhì)點通過的路程為 ， 故質(zhì)點的總路程 ， 質(zhì)點時刻從平衡位置向正向位移運動，經(jīng)過周期運動到正向最大位移處，即位移 ， 故D項正確． 【總結(jié)升華】求路程時，首先應(yīng)明確振動過程經(jīng)過幾個整數(shù)周期，最后再分析最后不到一個周期的時間內(nèi)的路程，兩部分之和即為總的路程，振子在周期內(nèi)的路程可能等于一個振幅，也可能大于一個振幅，還可能小于一個振幅，只有從平衡位置或最大位移處開始運動，周期內(nèi)的路程才等于一個振幅． 例5．一質(zhì)點在平衡位置附近做簡諧運動，從它經(jīng)過平衡位置起開始計時，經(jīng)質(zhì)點第一次通過點，再經(jīng)第二次通過點，則質(zhì)點振動周期是多少？ 【思路點撥】由于振動的往復(fù)性，質(zhì)點經(jīng)過某一位置時，因速度方向不一致會導(dǎo)致多解． 【答案】　?。? 【解析】將物理過程模型化，畫出具體化的圖景，如圖甲所示，設(shè)質(zhì)點從平衡位置向右運動到點，那么質(zhì)點從到運動時間為。再由經(jīng)最右端返回,經(jīng)歷時間，如圖乙所示．另一種可能就是點在點左方。如圖丙所示，質(zhì)點由經(jīng)右端最大位移處向左經(jīng)過點到達歷時，再由向左經(jīng)左端最大位移處返回點歷時，根據(jù)以上分析，質(zhì)點振動周期共存在兩種可能性．一種可能如圖乙所示，可以看出歷時0.18秒．根據(jù)對稱性可得到周期性： ． 另一種可能如圖丙所示，由歷時．由歷時，則 ， 所以質(zhì)點的振動周期的可能值為和． 【總結(jié)升華】由于簡諧運動的周期性，結(jié)合初始條件的不確定性。往往引起此類問題的多解，解決此類問題時要對題目分析透徹、弄清各種．可能性，切勿丟解． 類型五、由簡諧振動的表達式求物理量 例6．物體做簡諧運動的振動位移，物體做簡諧運動的振動位移，比較的運動（ ）． A．振幅是矢量，的振幅是，的振幅是 B．周期是標(biāo)量，的周期都是 C．振動的頻率等于振動的頻率 D．的相位始終超前的相位 【答案】C、D 【解析】振幅是標(biāo)量，的振動范圍分別是。但振幅分別為，A項錯誤；的振動周期，B項錯誤；因，故，C項正確；為定值，D項正確． 類型六、由圖像比較速度、加速度大小和方向問題 例7．如圖為某一質(zhì)點的振動圖像，由圖可知，在和兩時刻，質(zhì)點速度與加速度的關(guān)系正確的是（ ）． A．，方向相同 B．，方向相反 C．，方向相同 D．，方向相反 【思路點撥】圖像不是振動物體的運動軌跡． 【答案】A、D 【解析】在時刻，質(zhì)點向平衡位置運動，在時刻，質(zhì)點向遠離平衡位置運動，故速度與方向相同，由于，所以，A對；在和時刻，質(zhì)點離開平衡位置的位移方向相反。因而回復(fù)力方向相反，加速度方向相反，但，時刻的回復(fù)力大于時刻的回復(fù)力，故，D對． 【總結(jié)升華】處理振動圖像問題一定要把圖像還原成質(zhì)點的實際振動過程來分析。圖像不是振動物體的運動軌跡． 例8．有一個在光滑水平面內(nèi)的彈簧振子，第一次用力把彈簧壓縮后釋放讓它振動，第二次把彈簧壓縮后釋放讓它振動，則先后兩次振動的周期之比和振幅之比分別為（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】彈簧的壓縮量即為振子振動過程中偏離平衡位置的最大距離，即振幅，故振幅之比為．而對同一振動系統(tǒng)。其周期與振幅無關(guān)，故周期之比為． 【總結(jié)升華】振動周期由振動系統(tǒng)自身的性質(zhì)決定，與振幅無關(guān)． 類型七、由圖像獲得物理量信息的問題 例9如圖所示，是一個質(zhì)點的振動圖像，根據(jù)圖像回答下列問題： （1）振動的振幅； （2）振動的頻率； （3）在時質(zhì)點的振動方向； （4）質(zhì)點速度首次具有負(fù)方向最大值的時刻和位置； （5）質(zhì)點運動的加速度首次具有負(fù)方向最大值的時刻和位置； （6）在至這段時間內(nèi)質(zhì)點的運動情況． 【答案】見解析 【解析】（1）振幅為最大位移的絕對值，從圖像可知振幅． （2）從圖像可知周期，則振動的頻率： 　　。 （3）由各時刻的位移變化過程可判斷： 時，質(zhì)點的振動方向向上； 時，質(zhì)點的振動方向向下． （4）質(zhì)點在通過平衡位置時，首次具有負(fù)方向的速度最大值． （5）質(zhì)點在時處于正向最大位移處時，首次加速度具有負(fù)方向的最大值． （6）在至這段時間內(nèi)，從圖像上可以看出，質(zhì)點沿負(fù)方向的位移不斷減小，說明質(zhì)點正沿著正方向由負(fù)向最大位移處向著平衡位置運動，所以質(zhì)點做加速運動． 【總結(jié)升華】判斷質(zhì)點速度和位移要結(jié)合質(zhì)點振動的物理情境． 類型八、振子對稱性及周期性的應(yīng)用 例10．一彈簧振子做簡諧運動，周期為（ ）． A．若時刻和（）時刻振子運動速度的大小相等、方向相反，則一定等于的整數(shù)倍 B．若時刻和（）時刻振子運動位移的大小相等、方向相同，則一定等于的整數(shù)倍 C．若，則在時刻和（）時刻彈簧的長度一定相等 D．若，則在時刻和（）時刻振子運動的加速度一定相等 【思路點撥】位移和速度均大小相等、方向相反的兩個時刻之間的時間為半個周期的奇數(shù)倍．位移和速度均相同的兩個時刻之間的時間為周期的整數(shù)倍． 【答案】D 【解析】若或（），則在和（）兩時刻振子必在關(guān)于平衡位置對稱的兩位置（包括平衡位置），這兩時刻，振子的位移、加速度、速度等均大小相等、方向相反，但在這兩時刻彈簧的長度并不一定相等 [只有當(dāng)振子在和（）兩時刻均在平衡位置時，彈簧長度才相等]．反過來，若在和（）兩時刻振子的位移、加速度和速度均大小相等、方向相反，則一定等于的奇數(shù)倍，即（）．如果僅僅是振子的速度在和（）兩時刻大小相等、方向相反，那么不能得出，更不能得出（）．根據(jù)以上分析，A、C選項均錯． 若在和（）兩時刻，振予的位移、加速度、速度等均相同，則（），但僅僅根據(jù)兩時刻振子的位移相同，不能得出，所以B選項錯．若，在和（）兩時刻，振子的位移、加速度、速度等均大小相等、方向相同，D選項正確． 【總結(jié)升華】不能僅根據(jù)兩時刻位移或速度是否大小相等、方向相反來判斷這一段時間是不是半個周期的奇數(shù)倍，必須是位移和速度均大小相等、方向相反的兩個時刻之間的時間才為半個周期的奇數(shù)倍．同樣，也不能僅根據(jù)兩時刻位移或速度是否相同來判斷這一段時間是不是周期的整數(shù)倍，必須是位移和速度均相同的兩個時刻之間的時間才為周期的整數(shù)倍．