2018版高中數(shù)學(xué) 第1章 解三角形 1.1.1 正弦定理學(xué)案 新人教B版必修5.doc
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1.1.1 正弦定理 1.掌握正弦定理及基本應(yīng)用.(重點) 2.會判斷三角形的形狀.(難點) 3.能根據(jù)正弦定理確定三角形解的個數(shù).(難點、易錯點) [基礎(chǔ)初探] 教材整理1 正弦定理 閱讀教材P3～P4例1以上內(nèi)容，完成下列問題. 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)正弦定理不適用于鈍角三角形.( ) (2)在△ABC中，等式bsin A＝asin B總能成立.( ) (3)在△ABC中，若sin A＝sin B，則三角形是等腰三角形.( ) 【解析】 (1).正弦定理適用于任意三角形. (2)√.由正弦定理知＝，即bsin A＝asin B. (3)√.由正弦定理可知＝，即a＝b，所以三角形為等腰三角形. 【答案】 (1) (2)√ (3)√ 教材整理2 解三角形 閱讀教材P4例1～P5例2，完成下列問題. 1.一般地，我們把三角形的三個角及其對邊分別叫做三角形的元素. 2.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形. 1.在△ABC中，若∠A＝60，∠B＝45，BC＝3，則AC＝________. 【解析】 由正弦定理得：＝， 所以AC＝＝2. 【答案】 2 2.在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，則∠C＝________. 【解析】 由正弦定理得：＝， 所以sin B＝. 又a>b，所以∠A>∠B， 所以∠B＝， 所以∠C＝π－＝. 【答案】 3.在△ABC中，∠A＝45，c＝2，則AC邊上的高等于________. 【解析】 AC邊上的高為ABsin A＝csin A＝2sin 45＝. 【答案】 [小組合作型] 已知兩角及一邊解三角形 (1)在△ABC中，c＝，∠A＝75，∠B＝60，則b等于( ) A. B. C. D. (2)在△ABC中，已知BC＝12，∠A＝60，∠B＝45，則AC＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：18082000】 【精彩點撥】 (1)可先由角A、B求出角C，然后利用正弦定理求b； (2)直接利用正弦定理求解. 【自主解答】 (1)因為∠A＝75，∠B＝60，所以∠C＝180－75－60＝45. 因為c＝，根據(jù)正弦定理得＝， 所以b＝＝＝. (2)由正弦定理知：＝， 則＝， 解得AC＝4. 【答案】 (1)A (2)4 解決已知兩角及一邊類型的三角形解題方法： (1)若所給邊是已知角的對邊時，可由正弦定理求另一邊，再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角，最后由正弦定理求第三邊. (2)若所給邊不是已知角的對邊時，先由三角形內(nèi)角和定理求第三個角，再由正弦定理求另外兩邊 [再練一題] 1.在△ABC中，AB＝，∠A＝75，∠B＝45，則AC＝________. 【解析】 ∠C＝180－75－45＝60，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝2. 【答案】 2 已知兩邊及一邊的對角解三角形 (1)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知∠A＝60，a＝4，b＝4，則∠B＝________. (2)在△ABC中，已知a＝2，b＝6，∠A＝30，求∠B，∠C和c. 【精彩點撥】 (1)由正弦定理的特點，直接求解.注意三角形解的個數(shù)問題. (2)先利用正弦定理求角B，再利用內(nèi)角和定理求解，由正弦定理求邊c. 【自主解答】 (1)由正弦定理，得＝.把∠A＝60，a＝4，b＝4，代入，解得sin B＝，∴B＝45或135，∵b＜a，∴∠B＜∠A，又∵∠A＝60，∴0＜∠B＜60，∴∠B＝45. 【答案】 45 (2)由正弦定理得sin B＝＝＝，又a＝2，b＝6，aa，∴∠C >∠A，∴∠A＝， ∴∠B＝，b＝＝＝＋1. [探究共研型] 正弦定理的主要功能 探究1 已知△ABC的外接圓O的直徑長為2R，試借助△ABC的外接圓推導(dǎo)出正弦定理. 【提示】 如圖，連接BO并延長交圓O于點D，連接CD，則∠BCD＝90， ∠BAC＝∠BDC，在Rt△BCD中，BC＝BDsin∠BDC，所以a＝2Rsin A， 即＝2R，同理＝2R，＝2R， 所以＝＝＝2R. 探究2 根據(jù)正弦定理的特點，我們可以利用正弦定理解決哪些類型的解三角形問題？ 【提示】 利用正弦定理，可以解決：(1)已知兩邊和其中一邊的對角解三角形； (2)已知兩角和其中一角的對邊解三角形. 探究3 由＝＝可以得到a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，那么由正弦定理還可以得到哪些主要變形？ 【提示】 (1)＝，＝，＝. (2)＝，＝，＝. (3)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B. 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷△ABC的形狀. 【精彩點撥】 解決本題的關(guān)鍵是利用sin A＝，sin B＝，sin C＝把sin2A＝sin2B＋sin2C轉(zhuǎn)化為三角形三邊的關(guān)系，從而判定出角A，然后再利用sin A＝2sin Bcos C求解. 【自主解答】 法一：根據(jù)正弦定理，得＝＝， ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2， ∴∠A是直角，∠B＋∠C＝90， ∴2sin Bcos C＝2sin Bcos(90－B)＝2sin2B＝sin A＝1， ∴sin B＝. ∵0<∠B<90，∴∠B＝45，∠C＝45， ∴△ABC是等腰直角三角形. 法二：根據(jù)正弦定理， 得＝＝， ∵sin2A＝sin2B＋sin2C， ∴a2＝b2＋c2，∴∠A是直角. ∵∠A＝180－(∠B＋∠C)，sin A＝2sin Bcos C， ∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C， ∴sin(B－C)＝0. 又－90<∠B－∠C<90， ∴∠B－∠C＝0，∴∠B＝∠C， ∴△ABC是等腰直角三角形. 1.判斷三角形的形狀應(yīng)看該三角形是否為某些特殊的三角形，如銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、等邊三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等. 2.已知三角形中的邊角關(guān)系式，判斷三角形的形狀，可以考慮用正弦定理化邊為角，再利用三角恒等變換找出三個角之間的關(guān)系，或者化角為邊，通過代數(shù)恒等變換找出三邊之間的關(guān)系，再給出判斷. [再練一題] 3.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且b＝acos C，試判斷△ABC的形狀. 【解】 ∵b＝acos C， 由正弦定理，得 sin B＝sin Acos C. (*) ∵∠B＝π－(∠A＋∠C)， ∴sin B＝sin(A＋C)，從而(*)式變?yōu)? sin(A＋C)＝sin Acos C， ∴cos Asin C＝0. 又∵∠A，∠C∈(0，π)， ∴cos A＝0，∠A＝， 即△ABC是直角三角形. 1.在△ABC中，若sin A＞sin B，則∠A與∠B的大小關(guān)系為( ) A.∠A＞∠B B.∠A＜∠B C.∠A≥∠B D.∠A，∠B的大小關(guān)系不能確定 【解析】 因為＝， 所以＝. 因為在△ABC中，sin A>0，sin B>0，sin A＞sin B， 所以＝>1，所以a>b， 由a＞b知∠A＞∠B. 【答案】 A 2.在△ABC中，若c＝2acos B，則△ABC的形狀為( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等邊三角形 D.不等邊三角形 【解析】 由正弦定理知c＝2Rsin C，a＝2Rsin A， 故sin C＝2sin Acos B＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以sin Acos B＝cos Asin B， 即sin(A－B)＝0，所以∠A＝∠B. 故△ABC為等腰三角形. 【答案】 B 3.在△ABC中，AB＝，∠A＝45，∠B＝60，則BC＝_____. 【導(dǎo)學(xué)號：18082002】 【解析】 利用正弦定理＝， 而∠C＝180－(∠A＋∠B)＝75， 故BC＝＝＝3－. 【答案】 3－ 4.在△ABC中，a＝15，b＝10，∠A＝60，則cos B＝________. 【解析】 由正弦定理＝，得＝， ∴sin B＝，∵b下載提示(請認真閱讀)
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