2022年中考數(shù)學(xué)考前專題輔導(dǎo) 任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式

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1、課 題 任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式 授課時(shí)間： 備課時(shí)間： 教學(xué)目標(biāo) 1、掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義 2、理解任意角的三角函數(shù)不同的定義方法； 3、了解如何利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角α的正弦、余弦、正切 函數(shù)值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來； 4、靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式 重點(diǎn)、難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：任意角的正弦、余弦、正切的定義 教學(xué)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式 考點(diǎn)及考試要求 1、 任意角的三角函數(shù)的求法 2、 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 教 學(xué) 內(nèi) 容 第一課時(shí) 任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式知識(shí)點(diǎn)梳理 知識(shí)梳理 1．三角

2、函數(shù)定義 O x y a角的終邊 P T M A 利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)，設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn),那么: (1)叫做的正弦,記做,即； （2）叫做的余弦,記做,即； （3）叫做的正切,記做,即。 2．三角函數(shù)線 三角函數(shù)線是通過有向線段直觀地表示出角的各種三角函數(shù)值的一種圖示方法。利用三角函數(shù)線在解決比較三角函數(shù)值大小、解三角方程及三角不等式等問題時(shí)，十分方便。 以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以單位長度1為半徑畫一個(gè)圓，這個(gè)圓就叫做單位圓（注意：這個(gè)單位長度不一定就是1厘米或1米）。當(dāng)角為第一象限角時(shí)，則其終邊與單位圓必有一個(gè)交點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，根

3、據(jù)三角函數(shù)的定義：；。 我們知道，指標(biāo)坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān).當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸時(shí),以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)，規(guī)定： 當(dāng)線段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎?，且有正值；?dāng)線段與軸反向時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有正值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo).這樣,無論那種情況都有 同理,當(dāng)角的終邊不在軸上時(shí),以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)， 規(guī)定：當(dāng)線段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎?，且有正值；?dāng)線段與軸反向時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有正值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 這樣,無論那種情況都有。像這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段。 如上圖,過點(diǎn)作單位圓的切線,這條切線必然平行于軸,設(shè)它與的終邊交于點(diǎn),請根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識(shí)

4、,借助有向線段,我們有 我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線。 3．同角三角函數(shù)關(guān)系式 （1）平方關(guān)系： （2）倒數(shù)關(guān)系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1, （3）商數(shù)關(guān)系： 使用這組公式進(jìn)行變形時(shí)，經(jīng)常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，這是三角變換非常重要的方法。 幾個(gè)常用關(guān)系式：sinα+cosα，sinα-cosα，sinαcosα；(三式之間可以互相表示) 同理可以由sinα－cosα或sinαcosα推出其余兩式。 4．誘導(dǎo)公式 可用十個(gè)字概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”。 誘

5、導(dǎo)公式一：，，其中 誘導(dǎo)公式二： ； 誘導(dǎo)公式三： ； 誘導(dǎo)公式四：； 誘導(dǎo)公式五：； ；。 5．幾種終邊在特殊位置時(shí)對應(yīng)角的集合為 角的終邊所在位置 角的集合 X軸正半軸 Y軸正半軸 X軸負(fù)半軸 Y軸負(fù)半軸 X軸 Y軸 坐標(biāo)軸 6．α、、2α之間的關(guān)系 若α終邊在第一象限則終邊在第一或第三象限；2α終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。 若α終邊在第二象限則終邊在第一或第三象限；2α終邊在第三或第四象限或y軸負(fù)半軸。 若α終邊在第三象限則終

6、邊在第二或第四象限；2α終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。 若α終邊在第四象限則終邊在第二或第四象限；2α終邊在第三或第四象限或y軸負(fù)半軸。 第二課時(shí) 任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式典型例題 典型例題一一 題型一：三角函數(shù)定義 例1．已知角的終邊過點(diǎn)，求的四個(gè)三角函數(shù)值。 解析：因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，。 當(dāng)； ，。 當(dāng)，；。 變：已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（2，--3），求的正弦，余弦，正切值。 例2．已知角的終邊上一點(diǎn)，且，求的值。 解析：由題設(shè)知，，所以， 得， 從而， 解得或。 當(dāng)時(shí)，， ； 當(dāng)時(shí)，， ；

7、當(dāng)時(shí)，， 。 變1、已知點(diǎn)，在角的終邊上，求、、的值。 變2、已知角a的終邊經(jīng)過P(4,-3),求2sina+cosa的值。 題型二：誘導(dǎo)公式 例3．（2001全國文，1）tan300+的值是（ ） A．1＋ B．1－ C．－1－ D．－1＋ 解析：答案：B tan300＋＝tan(360－60)＋＝－tan60＋＝1－。 例4．化簡： （1）； （2）。 解析：（1）原式； （2）①當(dāng)時(shí)，原式。 ②當(dāng)時(shí)，原式。 點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵抓住題中的整數(shù)是表示的整數(shù)倍與公式一中的整數(shù)有區(qū)別，所以必須把分成奇數(shù)和偶數(shù)兩種類型，分別加以討論。

8、 變：已知cos(π＋α)＝－，且α是第四象限角，計(jì)算： (1) sin(2π－α)； (2)(n∈Z)． 題型三：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 例5．已知，試確定使等式成立的角的集合。 解析：∵， ===。 又∵， ∴， 即得或 所以，角的集合為：或。 例6．（1）證明：； （2）求證：。 解析：（1）分析：證明此恒等式可采取常用方法，也可以運(yùn)用分析法，即要證，只要證AD=BC,從而將分式化為整式 證法一：右邊= = = 證法二：要證等式，即為 只要證 2（）（）= 即證： ， 即1=，顯然成立，

9、 故原式得證。 點(diǎn)評(píng)：在進(jìn)行三角函數(shù)的化簡和三角恒等式的證明時(shí)，需要仔細(xì)觀察題目的特征，靈活、恰當(dāng)?shù)剡x擇公式，利用倒數(shù)關(guān)系比常規(guī)的“化切為弦”要簡潔得多。（2）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式有三種，即平方關(guān)系、商的關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系。 （2）證法一：由題義知，所以。 ∴左邊=右邊。 ∴原式成立。 證法二：由題義知，所以。 又∵， ∴。 證法三：由題義知，所以。 ， ∴。 點(diǎn)評(píng)：證明恒等式的過程就是分析、轉(zhuǎn)化、消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程，證明時(shí)常用的方法有：（1）從一邊開始，證明它等于另一邊（如例5的證法一）；（2）證明左右兩邊同等于同一個(gè)式子（如例6）；（3）證明與原式等價(jià)的

10、另一個(gè)式子成立，從而推出原式成立。 師生小結(jié) 1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了： 2.你學(xué)到了什么？ 第三課時(shí) 任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式課堂檢測 課堂檢測 1．設(shè)θ是第三象限角，且＝－cos，則是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．角α的終邊上有一點(diǎn)P(a，a)(a≠0)，則cos α＝(　　) A. B．－ C. 或－ D．1 3．若－<α<0，則點(diǎn)Q(cosα，sinα)位于(　　) A．第一象限 www.ks5u.cB．第二象限

11、 C．第三象限 www. D．第四象限 4．如果點(diǎn)P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限 5．sin600＋tan240的值是(　　) A．－　　　　 B. C．－＋ D.＋ 6．設(shè)tan(5π＋α)＝m，則的值為(　　) A. B. C．－1 D．1 7．已知α∈，cos α＝，則tan＝(　　) A. B．7 C．－ D．－7 8．已知sin x＝2cos x，則＝(　　) A. B.

12、 C. D. 9．若角θ的終邊與168角的終邊相同，則在0～360內(nèi)終邊與角的終邊相同的角的集合為________． 10．已知α是第二象限角且tanα＝－，則cosα＝__________. 11．已知角α終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x，－)(x≠0)，且cos α＝x，求sin α，tan α的值． 12．已知角α終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα＋的值． 13．設(shè)f(x)＝，求f(1)＋f(2)＋…＋f(59)的值． 14．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，求下列各式的值：(1)sinα－cosα；(2)sin3＋cos3. 15．已知tanα是方程x2＋x＋1＝0的兩個(gè)根中較小的根，求α的值．