DSP第6章數(shù)字濾波器基本結(jié)構(gòu).ppt

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一 什么是數(shù)字濾波器 顧名思義 其作用是對(duì)輸入信號(hào)起到濾波的作用 即DF是由差分方程描述的一類特殊的離散時(shí)間系統(tǒng) 它的功能 把輸入序列通過一定的運(yùn)算變換成輸出序列 不同的運(yùn)算處理方法決定了濾波器的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的不同 第一節(jié)離散時(shí)間系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的表示方法 第六章數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)DF DigitalFilter 一 IIRDF特點(diǎn) 1 單位沖激響應(yīng)h n 是無限長的n 2 系統(tǒng)函數(shù)H z 在有限長Z平面 0 Z 有極點(diǎn)存在 3 結(jié)構(gòu)上存在輸出到輸入的反饋 也即結(jié)構(gòu)上是遞歸型的 4 因果穩(wěn)定的IIR濾波器其全部極點(diǎn)一定在單位圓內(nèi) 第二節(jié)IIRDF的基本結(jié)構(gòu) 二 IIRDF系統(tǒng)函數(shù)及差分方程 若一系統(tǒng)差分方程為 則系統(tǒng)函數(shù)可表示為 以下我們討論M N情況 三 IIRDF基本結(jié)構(gòu)IIRDF類型有 直接型 級(jí)聯(lián)型 并聯(lián)型 直接型結(jié)構(gòu) 直接I型 直接II型 正準(zhǔn)型 典范型 1 直接型1 直接I型IIRDF的差分方程就代表了一種最直接的計(jì)算公式 用流圖表現(xiàn)出來的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)即為直接I型結(jié)構(gòu) 即由差分方程直接實(shí)現(xiàn) a 直接I型流圖 方程看出 y n 由兩部分組成 第一部分是一個(gè)對(duì)輸入x n 的M節(jié)延時(shí)鏈結(jié)構(gòu) 即每個(gè)延時(shí)抽頭后加權(quán)相加 即是一個(gè)橫向網(wǎng)絡(luò) 第二部分是一個(gè)N節(jié)延時(shí)鏈結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò) 不過它是對(duì)y n 延時(shí) 因而是個(gè)反饋網(wǎng)絡(luò) b 結(jié)構(gòu)的特點(diǎn) 此結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)為 1 兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián) 第一個(gè)橫向結(jié)構(gòu)M節(jié)延時(shí)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)零點(diǎn) 第二個(gè)有反饋的N節(jié)延時(shí)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn) 簡單直觀 2 共需 N M 級(jí)延時(shí)單元 3 系數(shù)ai bi不是直接決定單個(gè)零極點(diǎn) 因而不能很好地進(jìn)行濾波器性能控制 4 極點(diǎn)對(duì)系數(shù)的變化過于靈敏 從而使系統(tǒng)頻率響應(yīng)對(duì)系統(tǒng)變化過于靈敏 也就是對(duì)有限精度 有限字長 運(yùn)算過于靈敏 容易出現(xiàn)不穩(wěn)定或產(chǎn)生較大誤差 2 直接II型 正準(zhǔn)型 典范型 a 直接II型原理 從上面直接型結(jié)構(gòu)的兩部分看成兩個(gè)獨(dú)立的網(wǎng)絡(luò) 即兩個(gè)子系統(tǒng) 原理 一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng) 若交換其級(jí)聯(lián)子系統(tǒng)的次序 系統(tǒng)函數(shù)不變 把此原理應(yīng)用于直接I型結(jié)構(gòu) 即 1 交換兩個(gè)級(jí)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的次序 2 合并兩個(gè)具有相同輸入的延時(shí)支路 得到另一種結(jié)構(gòu)即直接II型 第一部分 第二部分 對(duì)調(diào) b 直接II型的結(jié)構(gòu)流圖過程1 對(duì)調(diào) x n b0 b1 b2 Z 1 Z 1 y n a1 a2 Z 1 Z 1 bM Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 第一部分 第二部分 對(duì)調(diào) x n y n a1 a2 Z 1 Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 b0 b1 b2 Z 1 Z 1 bM Z 1 Z 1 對(duì)調(diào) c 直接II型的結(jié)構(gòu)流圖過程2 合并 x n a1 a2 Z 1 Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 b0 b1 b2 Z 1 Z 1 bM Z 1 合并 x n a1 a2 Z 1 Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 b0 b1 b2 bM y n y n 由于對(duì)調(diào)后前后兩路都有一條內(nèi)容完全相同的延時(shí)鏈 可以合并為一條即可 這就是直接II型的結(jié)構(gòu)流圖 d 直接II型特點(diǎn) 直接II型結(jié)構(gòu)特點(diǎn) 1 兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián) 第一個(gè)有反饋的N節(jié)延時(shí)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn) 第二個(gè)橫向結(jié)構(gòu)M節(jié)延時(shí)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)零點(diǎn) 2 實(shí)現(xiàn)N階濾波器 一般N M 只需N級(jí)延時(shí)單元 所需延時(shí)單元最少 故稱典范型 3 同直接I型一樣 具有直接型實(shí)現(xiàn)的一般缺點(diǎn) x n a1 a2 Z 1 Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 b0 b1 b2 bM y n 例子 已知IIRDF系統(tǒng)函數(shù) 畫出直接I型 直接II型的結(jié)構(gòu)流圖 解 為了得到直接I II型結(jié)構(gòu) 必須將H z 代為Z 1的有理式 x n 8 4 11 Z 1 Z 1 y n 5 4 3 4 Z 1 Z 1 Z 1 1 8 Z 1 2 5 4 Z 1 Z 1 Z 1 3 4 1 8 4 11 2 8 y n x n 注意反饋部分系數(shù)符號(hào) 作業(yè) 195 直接I型 直接II型 2 級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu) 1 系統(tǒng)函數(shù)因式分解 一個(gè)N階系統(tǒng)函數(shù)可用它的零 極點(diǎn)來表示即系統(tǒng)函數(shù)的分子 分母進(jìn)行因式分解 2 系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)分析 3 基本二階節(jié)的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu) 4 濾波器的基本二階節(jié) 所以 濾波器就可以用若干個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)起來構(gòu)成 這每一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)也稱濾波器的基本二階節(jié) 即濾波器的二階節(jié) 一個(gè)基本二階節(jié)的系統(tǒng)函數(shù)的形式為 一般用直接II型 正準(zhǔn)型 典范型表示 x n 1k a2k Z 1 Z 1 a1k 2k y n 5 用二階節(jié)級(jí)聯(lián)表示的濾波器系統(tǒng) 整個(gè)濾波器則是多個(gè)二階節(jié)級(jí)聯(lián) x n 11 a21 Z 1 Z 1 a11 21 12 a22 Z 1 Z 1 a12 22 1M a2M Z 1 Z 1 a1M 2M y n 從級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)中看出 a 它的每一個(gè)基本節(jié)只關(guān)系到濾波器的某一對(duì)極點(diǎn)和一對(duì)零點(diǎn) b 調(diào)整 1i 2i 只單獨(dú)調(diào)整濾波器第i對(duì)零點(diǎn) 而不影響其它零點(diǎn) 調(diào)整a1i a2i 只單獨(dú)調(diào)整濾波器第i對(duì)極點(diǎn) 而不影響其它極點(diǎn) 級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)特點(diǎn) a 每個(gè)二階節(jié)系數(shù)單獨(dú)控制一對(duì)零點(diǎn)或一對(duì)極點(diǎn) 有利于控制頻率響應(yīng) b 同一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)H Z 分子分母中二階因子配合成基本二階節(jié)的方式 以及各二階節(jié)的排列次序不同 就得到不同的二階節(jié) 實(shí)際工作時(shí) 由于二進(jìn)制數(shù)的字長有一定限度 因此不同的排列 運(yùn)算誤差就會(huì)各不相同 如何才能得到最好的排列 以便運(yùn)算誤差最小 這是最優(yōu)化問題 c 級(jí)聯(lián)的各基本節(jié)間要有電平的放大或縮小 以使級(jí)間輸出變量不要太大或太小 級(jí)間輸出變量大大 易使數(shù)字濾波器在運(yùn)算過程中產(chǎn)生溢出 級(jí)間輸出變量大小 則輸出端的信號(hào)噪聲比會(huì)太小 x n 11 a21 Z 1 Z 1 a11 21 12 a22 Z 1 Z 1 a12 22 1M a2M Z 1 Z 1 a1M 2M y n 例子 設(shè)IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)為 1 Z 1 1 1 1 Z 1 Z 1 1 1 y n x n 3 并聯(lián)型 1 系統(tǒng)函數(shù)的部分分式展開 將系統(tǒng)函數(shù)展成部分分式的形式 用并聯(lián)的方式實(shí)現(xiàn)DF 相加 在電路中實(shí)現(xiàn)用并聯(lián) 如果遇到某一系數(shù)為復(fù)數(shù) 那么一定有另一個(gè)為共軛復(fù)數(shù) 將它們合并為二階實(shí)數(shù)的部分分式 2 并聯(lián)型基本二階節(jié)結(jié)構(gòu) 并聯(lián)型的基本二階節(jié)的形式 其中 要求分子比分母小一階 x n 0k 2k Z 1 Z 1 1k 1k y n 注意 1 為什么二階節(jié)是最基本的 因?yàn)槎A節(jié)是實(shí)系數(shù) 而一階節(jié)一般為復(fù)系數(shù) 2 統(tǒng)一用二階節(jié)表示 保持結(jié)構(gòu)上的一致性 有利于時(shí)分多路復(fù)用 3 級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)與并聯(lián)結(jié)構(gòu)的基本二階節(jié)是不同的 3 基本二階節(jié)的并聯(lián)結(jié)構(gòu) AN1 Z 1 a1 x n aN1 11 Z 1 Z 1 A1 11 y n A0 01 21 1N2 2N2 0N2 1N2 其實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)為 特點(diǎn) 1 可以單獨(dú)調(diào)整極點(diǎn)位置 但不能象級(jí)聯(lián)那樣直接控制零點(diǎn) 因?yàn)橹粸楦鞫A節(jié)網(wǎng)絡(luò)的零點(diǎn) 并非整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn) 2 其誤差最小 因?yàn)椴⒙?lián)型各基本節(jié)的誤差互不影響 所以比級(jí)聯(lián)誤差還少 若某一支路a1誤差為1 但總系統(tǒng)的誤差仍可達(dá)到少1 因?yàn)榉殖蒩1 a2 支路 5 例子 其并聯(lián)結(jié)構(gòu)為 x n Z 1 Z 1 1 4 y n 1 6 1 6 1 Z 1 作業(yè) 本節(jié)總結(jié) IIRDR的三種結(jié)構(gòu)及其優(yōu)缺點(diǎn)一 直接型二 級(jí)聯(lián)型三 并聯(lián)型 一 直接I結(jié)構(gòu)的特點(diǎn) 此結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)為 1 兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián) 第一個(gè)橫向結(jié)構(gòu)M節(jié)延時(shí)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)零點(diǎn) 第二個(gè)有反饋的N節(jié)延時(shí)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn) 簡單直觀 2 共需 N M 級(jí)延時(shí)單元 3 系數(shù)ai bi不是直接決定單個(gè)零極點(diǎn) 因而不能很好地進(jìn)行濾波器性能控制 4 極點(diǎn)對(duì)系數(shù)的變化過于靈敏 從而使系統(tǒng)頻率響應(yīng)對(duì)系統(tǒng)變化過于靈敏 也就是對(duì)有限精度 有限字長 運(yùn)算過于靈敏 容易出現(xiàn)不穩(wěn)定或產(chǎn)生較大誤差 級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)特點(diǎn) a 每個(gè)二階節(jié)系數(shù)單獨(dú)控制一對(duì)零點(diǎn)或一對(duì)極點(diǎn) 有利于控制頻率響應(yīng) b 同一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)H Z 分子分母中二階因子配合成基本二階節(jié)的方式 以及各二階節(jié)的排列次序不同 就得到不同的二階節(jié) 實(shí)際工作時(shí) 由于二進(jìn)制數(shù)的字長有一定限度 因此不同的排列 運(yùn)算誤差就會(huì)各不相同 如何才能得到最好的排列 以便運(yùn)算誤差最小 這是最優(yōu)化問題 c 級(jí)聯(lián)的各基本節(jié)間要有電平的放大或縮小 以使級(jí)間輸出變量不要太大或太小 級(jí)間輸出變量大大 易使數(shù)字濾波器在運(yùn)算過程中產(chǎn)生溢出 級(jí)間輸出變量大小 則輸出端的信號(hào)噪聲比會(huì)太小 x n 11 a21 Z 1 Z 1 a11 21 12 a22 Z 1 Z 1 a12 22 1M a2M Z 1 Z 1 a1M 2M y n 二 級(jí)聯(lián)型 三 并聯(lián)結(jié)構(gòu) AN1 Z 1 a1 x n aN1 11 Z 1 Z 1 A1 11 y n A0 01 21 1N2 2N2 0N2 1N2 其實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)為 特點(diǎn) 1 可以單獨(dú)調(diào)整極點(diǎn)位置 但不能象級(jí)聯(lián)那樣直接控制零點(diǎn) 因?yàn)橹粸楦鞫A節(jié)網(wǎng)絡(luò)的零點(diǎn) 并非整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn) 2 其誤差最小 因?yàn)椴⒙?lián)型各基本節(jié)的誤差互不影響 所以比級(jí)聯(lián)誤差還少 若某一支路a1誤差為1 但總系統(tǒng)的誤差仍可達(dá)到少1 因?yàn)榉殖蒩1 a2 支路 一 FIRDF的特點(diǎn) 1 系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h n 在有限個(gè)n值處不為零 即h n 是個(gè)有限長序列 2 系統(tǒng)函數(shù) H z 在 z 0處收斂 極點(diǎn)全部在z 0處 即FIR一定為穩(wěn)定系統(tǒng) 3 結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu) 沒有輸出到輸入反饋 但有些結(jié)構(gòu)中 例如頻率抽樣結(jié)構(gòu) 也包含有反饋的遞歸部分 第三節(jié)FIRDF的結(jié)構(gòu) 有限長沖激響應(yīng)濾波器 二 FIR的系統(tǒng)函數(shù)及差分方程 長度為N的單位沖激響應(yīng)h n 的系統(tǒng)函數(shù)為 三 FIR濾波器實(shí)現(xiàn)基本結(jié)構(gòu) 1 FIR的橫截型結(jié)構(gòu) 直接型 2 FIR的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)3 FIR的頻率抽樣型結(jié)構(gòu) 1 FIR直接型結(jié)構(gòu) 卷積型 橫截型 1 流圖 h 0 h 1 h 2 h N 2 h N 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 x n y n 倒下 x n h 0 h 1 h N 2 h N 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 y n 2 級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu) 1 流圖 當(dāng)需要控制濾波器的傳輸零點(diǎn)時(shí) 可將H z 系統(tǒng)函數(shù)分解成二階實(shí)系數(shù)因子的形式 即可以由多個(gè)二階節(jié)級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn) 每個(gè)二階節(jié)用橫截型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn) x n 11 Z 1 Z 1 21 12 Z 1 Z 1 22 1N 2 Z 1 Z 1 2N 2 y n 01 02 0N 21 1 由于這種結(jié)構(gòu)的每一節(jié)控制一對(duì)零點(diǎn) 因而只能在需要控制傳輸零點(diǎn)時(shí)用 2 由于這種結(jié)構(gòu)所需的系數(shù)比直接型多 所需乘法運(yùn)算也比直接型多 很少用 作業(yè) 3 頻率抽樣型結(jié)構(gòu) 1 頻率抽樣型結(jié)構(gòu)的導(dǎo)入 若FIRDF的沖激響應(yīng)為有限長 N點(diǎn) 序列h n 則有 h n H z H k H ejw DFT 取主值序列 N等分抽樣 單位圓上頻響 Z變換 內(nèi)插 所以 對(duì)h n 可以利用DFT得到H k 再利用內(nèi)插公式 來表示系統(tǒng)函數(shù) 2 頻率抽樣型濾波器結(jié)構(gòu) 得到FIR濾波器提供另一種結(jié)構(gòu) 頻率抽樣型結(jié)構(gòu) 它是由兩部分級(jí)聯(lián)而成 其中 級(jí)聯(lián)中的第一部分為梳狀濾波器 第二部分由N個(gè)諧振器組成的諧振柜 3 梳狀濾波器 a 零 極點(diǎn)特性 它是一個(gè)由N節(jié)延時(shí)單元所組成的梳狀濾波器 它在單位圓上有N個(gè)等分的零點(diǎn) 無極點(diǎn) b 幅頻特性及流圖 頻率響應(yīng)為 w H ejw 0 幅頻曲線 1 x n y n Z N 梳狀濾波器信號(hào)流圖 4 諧振器 諧振器 是一個(gè)階網(wǎng)絡(luò) Z 1 H k Hk z 諧振器的零極點(diǎn) 此為一階網(wǎng)絡(luò) 有一極點(diǎn) 5 諧振柜 諧振柜 它是由N個(gè)諧振器并聯(lián)而成的 這個(gè)諧振柜的極點(diǎn)正好與梳狀濾波器的一個(gè)零點(diǎn) i k 相抵消 從而使這個(gè)頻率 w 2 k N 上的頻率響應(yīng)等于H k 將兩部分級(jí)聯(lián)起來 得到頻率抽樣結(jié)構(gòu) 6 頻率抽樣型結(jié)構(gòu)流圖 Z 1 H 0 Z 1 H 1 Z 1 H 2 Z 1 H N 1 Z N x n y n 優(yōu)點(diǎn) 1 它的系數(shù)H k 直接就是濾波器在處的頻率響應(yīng) 因此 控制濾波器的頻率響應(yīng)是很直接的 結(jié)構(gòu)有兩個(gè)主要缺點(diǎn) a 所有的相乘系數(shù)及H k 都是復(fù)數(shù) 應(yīng)將它們先化成二階的實(shí)數(shù) 這樣乘起來較復(fù)雜 增加乘法次數(shù) 存儲(chǔ)量 b 所有諧振器的極點(diǎn)都是在單位園上 由決定 考慮到系數(shù)量化的影響 當(dāng)系數(shù)量化時(shí) 極點(diǎn)會(huì)移動(dòng) 有些極點(diǎn)就不能被梳狀濾波器的零點(diǎn)所抵消 零點(diǎn)由延時(shí)單元決定 不受量化的影響 系統(tǒng)就不穩(wěn)定了 優(yōu)點(diǎn) 2 只要h n 相同長度 對(duì)于任何頻響形狀 其梳狀濾波器部分和N各一節(jié)網(wǎng)絡(luò)部分結(jié)構(gòu)完全相同 只有各支路增益H k 不同 7 修正的頻率抽樣結(jié)構(gòu) a 產(chǎn)生的原因 為了克服系數(shù)量化后可能不穩(wěn)定的缺點(diǎn) 將頻率抽樣結(jié)構(gòu)做一點(diǎn)修正 即將所有零極點(diǎn)都移到單位園內(nèi)某一靠近單位圓 半徑為r r 1 的園上 同時(shí)梳狀濾波器的零點(diǎn)也移到r圓上 即將頻率采樣由單位圓移到修正半徑r的圓上 b 修正的頻率抽樣結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù) 為了使系數(shù)是實(shí)數(shù) 可將共軛根合并 這些共軛根在半徑為r的圓周上以實(shí)軸成對(duì)稱分布 c 修正的頻率抽樣結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)極點(diǎn)分布 0 z r N 8 d 修正頻率結(jié)構(gòu)的復(fù)根部分 第k和第N k個(gè)諧振器合并為一個(gè)實(shí)系數(shù)的二階網(wǎng)絡(luò) 因?yàn)閔 n 是實(shí)數(shù) 它的DFT也是圓周共軛對(duì)稱的 因此 可以將第k和第N k個(gè)諧振器合并為一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò) e 有限Q的諧振器 第k和第N k個(gè)諧振器合并為一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)的極點(diǎn)在單位圓內(nèi) 而不是在單位圓上 因而從頻率響應(yīng)的幾何解釋可知 它相當(dāng)于一個(gè)有限Q的諧振器 其諧振頻率為 f 修正頻率抽樣結(jié)構(gòu)的諧振器的實(shí)根部分 除了共軛復(fù)根外 還有實(shí)根 當(dāng)N 偶數(shù)時(shí) 有一對(duì)實(shí)根 它們分別為兩點(diǎn) 當(dāng)N 奇數(shù)時(shí) 只有一個(gè)實(shí)根z r k 0 即只有H0 z r r g 修正頻率抽樣結(jié)構(gòu)流圖 N 偶數(shù) r r x n y n h 修正頻率抽樣結(jié)構(gòu)流圖 N 奇數(shù) r x n y n i 修正頻率抽樣結(jié)構(gòu)的特點(diǎn) 1 結(jié)構(gòu)有遞歸型部分諧振柜又有非遞歸部分 梳狀濾波器 2 它的零 極點(diǎn)數(shù)目只取決于單位抽樣響應(yīng)的長度 因而單位沖激響應(yīng)長度相同 利用同一梳狀濾波器 同一結(jié)構(gòu)而只有加權(quán)系數(shù) 0k 1k H 0 H N 2 不同的諧振器 就能得到各種不同的濾波器 3 其結(jié)構(gòu)可以高度模塊化 適用于時(shí)分復(fù)用 j 頻率抽樣結(jié)構(gòu)的應(yīng)用范圍 1 如果多數(shù)頻率特性的采樣值H k 為零 例 窄帶低通情況下 這時(shí)諧振器中剩下少數(shù)幾個(gè)所需要的諧振器 因而可以比直接型少用乘法器 但存儲(chǔ)器還是比直接型多用一些 2 可以共同使用多個(gè)并列的濾波器 例 信號(hào)頻譜分析中 要求同時(shí)將信號(hào)的各種頻率分量分別濾出來 這時(shí)可采用頻率采樣結(jié)構(gòu)的濾波器 大家共用一個(gè)梳狀濾波器及諧振柜 只是將各諧振器的輸出適當(dāng)加權(quán)組合就能組成各所需的濾波器 這樣結(jié)構(gòu)具有很大的經(jīng)濟(jì)性 3 常用于窄帶濾波 不適于寬帶濾波 4 快速卷積結(jié)構(gòu) 1 原理 設(shè)FIRDF的單位沖激響應(yīng)h n 的非零值長度為M 輸入x n 的非零值長度為N 則輸出y n x n h n 且長度L N M 1若將x n 補(bǔ)零加長至L 補(bǔ)L N個(gè)零點(diǎn) 將h n 補(bǔ)零加長至L 補(bǔ)L M個(gè)零點(diǎn) 這樣進(jìn)行L點(diǎn)圓周卷積 可代替x n h n 線卷積 其中 而由圓卷積可用DFT和IDFT來計(jì)算 即可得到FIR的快速卷積結(jié)構(gòu) 2 快速卷積結(jié)構(gòu)框圖 L點(diǎn)DFT L點(diǎn)DFT L點(diǎn)IDFT X k H k Y k x n h n 當(dāng)N M中夠大時(shí) 比直接計(jì)算線性卷積快多了 5 線性相位FIR型結(jié)構(gòu) 1 定義 所謂線性相位 是指濾波器產(chǎn)生的相移與輸入信號(hào)頻率成線性關(guān)系 2 線性相位FIRDF具有特性 h n 是因果的 為實(shí)數(shù) 且滿足對(duì)稱性 即滿足約束條件 h n h N 1 n 其中 h n 為偶對(duì)稱時(shí) h n h N 1 n h n 為奇對(duì)稱時(shí) h n h N 1 n 下面我們針對(duì)h n 奇 偶進(jìn)行討論 3 h n 為偶 奇對(duì)稱 N 偶數(shù)時(shí) a FIR的線性相位的特性 令n N 1 n代入 用n n 應(yīng)用線性FIR特性 h n h N 1 n b 線性相位FIR的結(jié)構(gòu)流圖 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 x n y n x n N 2 1 h 0 h 1 h 2 h 3 h N 2 1 h N 1 其中h 0 h N 1 h 2 h N 2 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 4 h n 為奇 偶對(duì)稱 N 奇數(shù)時(shí) a FIR的線性相位的特性 當(dāng)N 奇數(shù)時(shí) 有一中間項(xiàng)h N 1 2 無法合并 需提出 b 線性相位FIR的結(jié)構(gòu)流圖 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 x n y n h 0 h 1 h 2 h 3 h N 1 其中h 0 h N 1 h 2 h N 2 h N 3 2 h N 1 2 共有 N 3 2項(xiàng) Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 5 總結(jié) h n 為偶對(duì)稱 N 奇 偶數(shù)時(shí)FIR的線性相位的特性 同理 當(dāng)h n 偶對(duì)稱時(shí) 即h n h N 1 n 可求出 N 奇數(shù)時(shí) 6 h n 為奇對(duì)稱 N 奇 偶數(shù)時(shí)FIR的線性相位的特性 同理 當(dāng)h n 奇對(duì)稱時(shí) 即h n h N 1 n 可求出 N 奇數(shù)時(shí) 總結(jié)本章主要的內(nèi)容 1 IIR濾波器實(shí)現(xiàn)的基本結(jié)構(gòu)2 FIR濾波器實(shí)現(xiàn)的基本結(jié)構(gòu)3 一種特殊的濾波器結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)形式 格型濾波器結(jié)構(gòu) 1 IIRDF基本結(jié)構(gòu) IIRDF類型有 直接型直接型結(jié)構(gòu) 直接I型 直接II型 正準(zhǔn)型 典范型 級(jí)聯(lián)型并聯(lián)型 直接I型直接I型流圖 IIRDF的差分方程就代表了一種最直接的計(jì)算公式 用流圖表現(xiàn)出來的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)即為直接I型結(jié)構(gòu) 即由差分方程直接實(shí)現(xiàn) x n b0 b1 b2 Z 1 Z 1 y n a1 a2 Z 1 Z 1 bM Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 方程看出 y n 由兩部分組成 第一部分是一個(gè)對(duì)輸入x n 的M節(jié)延時(shí)鏈結(jié)構(gòu) 即每個(gè)延時(shí)抽頭后加權(quán)相加 即是一個(gè)橫向網(wǎng)絡(luò) 第二部分是一個(gè)N節(jié)延時(shí)鏈結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò) 不過它是對(duì)y n 延時(shí) 因而是個(gè)反饋網(wǎng)絡(luò) 直接II型的結(jié)構(gòu)流圖 x n a1 a2 Z 1 Z 1 aN 1 aN Z 1 Z 1 b0 b1 b2 bM y n 由于對(duì)調(diào)后前后兩路都有一條內(nèi)容完全相同的延時(shí)鏈 可以合并為一條即可 這就是直接II型的結(jié)構(gòu)流圖 級(jí)聯(lián)型 級(jí)聯(lián)型的基本二階節(jié) 所以 濾波器就可以用若干個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)起來構(gòu)成 這每一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)也稱濾波器的基本二階節(jié) 即濾波器的二階節(jié) 一個(gè)基本二階節(jié)的系統(tǒng)函數(shù)的形式為 一般用直接II型 正準(zhǔn)型 典范型表示 x n 1i a2i Z 1 Z 1 a1i 2i y n 級(jí)聯(lián)型二階節(jié)表示的濾波器系統(tǒng) 整個(gè)濾波器則是多個(gè)二階節(jié)級(jí)聯(lián) x n 11 a21 Z 1 Z 1 a11 21 12 a22 Z 1 Z 1 a12 22 1M a2M Z 1 Z 1 a1M 2M y n 并聯(lián)型 將系統(tǒng)函數(shù)展成部分分式的形式 用并聯(lián)的方式實(shí)現(xiàn)DF 相加 在電路中實(shí)現(xiàn)用并聯(lián) 如果遇到某一系數(shù)為復(fù)數(shù) 那么一定有另一個(gè)為共軛復(fù)數(shù) 將它們合并為二階實(shí)數(shù)的部分分式 并聯(lián)型基本二階節(jié)結(jié)構(gòu) 并聯(lián)型的基本二階節(jié)的形式 其中 要求分子比分母小一階 x n 0 a2 Z 1 Z 1 a1 1 y n 二 FIR濾波器 長度為N的單位沖激響應(yīng)h n 的系統(tǒng)函數(shù)為 FIR濾波器實(shí)現(xiàn)基本結(jié)構(gòu) 1 FIR的橫截型結(jié)構(gòu) 直接型 2 FIR的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu) 3 FIR的線性型結(jié)構(gòu) 4 FIR的頻率抽樣型結(jié)構(gòu) 5 FIR的軌跡卷積型結(jié)構(gòu) 1 FIR直接型結(jié)構(gòu) 卷積型 橫截型 h 0 h 1 h 2 h N 1 h N Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 x n y n 倒下 h 0 h 1 h N 1 h N Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 y n x n 2 級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu) 當(dāng)需要控制濾波器的傳輸零點(diǎn)時(shí) 可將H z 系統(tǒng)函數(shù)分解成二階實(shí)系數(shù)因子的形成 即可以由多個(gè)二階節(jié)級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn) 每個(gè)二階節(jié)用橫截型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn) x n 11 Z 1 Z 1 21 12 Z 1 Z 1 22 1N 2 Z 1 Z 1 2N 2 y n 01 02 0N 21 3 線性相位FIR型結(jié)構(gòu) 所謂線性相位 是指濾波器產(chǎn)生的相移與輸入信號(hào)頻率成線性關(guān)系 h n 為偶數(shù) N 奇 偶數(shù)時(shí)FIR的線性相位的特性 同理 當(dāng)h n 偶對(duì)稱時(shí) 即h n h N 1 n 可求出 N 奇數(shù)時(shí) h n 為奇數(shù) N 奇 偶數(shù)時(shí)FIR的線性相位的特性 當(dāng)h n 奇對(duì)稱時(shí) 即h n h N 1 n 可求出 N 奇數(shù)時(shí) 4 快速卷積結(jié)構(gòu) 設(shè)FIRDF的單位沖激響應(yīng)h n 的非零值長度為M 輸入x n 的非零值長度為N 則輸出y n x n h n 且長度L N M 1若將x n 補(bǔ)零加長至L 補(bǔ)L N個(gè)零點(diǎn) 將h n 補(bǔ)零加長至L 補(bǔ)L M個(gè)零點(diǎn) 這樣進(jìn)行L點(diǎn)圓周卷積 可代替x n h n 線卷積 其中 而由圓卷積可用DFT和IDFT來計(jì)算 即可得到FIR的快速卷積結(jié)構(gòu) 2 快速卷積結(jié)構(gòu)框圖 L點(diǎn)DFT L點(diǎn)DFT L點(diǎn)DFT X k H k Y k x n h n 當(dāng)N M中夠大時(shí) 比直接計(jì)算線性卷積快多了 5 頻率抽樣型結(jié)構(gòu) 若FIRDF的沖激響應(yīng)為有限長 N點(diǎn) 序列h n 則有 h n H z H k H ejw DFT 取主值序列 N等分抽樣 單位園上頻響 Z變換 內(nèi)插 所以 對(duì)h n 可以利用DFT得到H k 再利用內(nèi)插公式 來表示系統(tǒng)函數(shù) 3 梳狀濾波器 a 零 極點(diǎn)特性 它是一個(gè)由N節(jié)延時(shí)單元所組成的梳狀濾波器 它在單位園上有N個(gè)等分的零點(diǎn) 無極點(diǎn) 由 看出 6 頻率抽樣型結(jié)構(gòu)流圖 Z 1 W k H 0 Z 1 W k H 1 Z 1 W k H 2 Z 1 W k H N 1 Z N x n y n 一 全零點(diǎn) IIR 格型濾波器 一個(gè)M階的FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H z 可寫成如下形式 全零點(diǎn)格型濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 二 全極點(diǎn) IIR 格型濾波器 IIR濾波器的格型結(jié)構(gòu)受限于全極點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù) 可以根據(jù)FIR格型結(jié)構(gòu)開發(fā) 設(shè)一個(gè)全極點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)由下式給定 全極點(diǎn) IIR 濾波器格型結(jié)構(gòu)