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第27練 壓軸小題專練(1)
[明晰考情] 高考題中填空題的最后2或3個小題，往往出現(xiàn)邏輯思維深刻，難度高檔的題目.
考點一 與函數(shù)有關的壓軸小題
方法技巧 本類壓軸題常以超越方程、分段函數(shù)、抽象函數(shù)等為載體，考查函數(shù)性質、函數(shù)零點、參數(shù)的范圍和通過函數(shù)性質求解不等式.解決該類問題的途徑往往是構造函數(shù)，進而研究函數(shù)的性質，利用函數(shù)性質去求解問題是常用方法，其間要注意導數(shù)的應用.
1.偶函數(shù)f(x)滿足f(x－1)＝f(x＋1)，且當x∈[－1,0]時，f(x)＝x2，若函數(shù)g(x)＝f(x)－|lgx|，則g(x)在(0,10)上的零點個數(shù)為________.
答案 10
解析 由題意g(x)＝f(x)－|lg x|＝
∵f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x)＝f(x＋2)，故f(x)是周期函數(shù)，且T＝2，
又函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，
∴f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的圖象關于x＝1對稱，當x>0時，在同一坐標系中作出y＝f(x)和y＝|lg x|的圖象，如圖所示.
由圖象知函數(shù)g(x)的零點個數(shù)為10.
2.已知函數(shù)f(x)＝2x－(x<0)與g(x)＝log2(x＋a)的圖象上存在關于y軸對稱的點，則a的取值范圍是________.
答案 (－∞，)
解析 由f(x)關于y軸對稱的函數(shù)為h(x)＝f(－x)＝2－x－(x>0)，
令h(x)＝g(x)，得2－x－＝log2(x＋a)(x>0)，
則方程2－x－＝log2(x＋a)在(0，＋∞)上有解，
作出y＝2－x－與y＝log2(x＋a)的圖象，如圖所示，
當a≤0時，函數(shù)y＝2－x－與y＝log2(x＋a)的圖象在(0，＋∞)上必有交點，符合題意；
若a>0，兩函數(shù)在(0，＋∞)上必有交點，則log2a<，解得0
0，且m≠1)是“成功函數(shù)”，則實數(shù)t的取值范圍為________.
答案
解析 無論m>1還是00)，則mx＋2t＝可化為2t＝λ－λ2＝－2＋，結合圖形(圖略)可得t∈.
4.(2018江蘇省如東高級中學月考)已知函數(shù)f(x)＝(x2－3)ex，設關于x的方程f2(x)－af(x)＝0(a∈R)有4個不同的實數(shù)解，則a的取值范圍是________.
答案 ∪(－2e,0)
解析 由題意知，f′(x)＝2xex＋(x2－3)ex
＝ex(x2＋2x－3)，
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，
所以當x<－3或x>1時，f′(x)>0，當－3bn，得(n－2λ)2n>(n－1－2λ)2n－1，解得n>2λ－1，即2>2λ－1，所以λ<；當n＝1時，由b2>b1得(1－2λ)2>－λ，解得λ<，因此λ<.
7.已知Sn和Tn分別為數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}的前n項和，且a1＝e4，Sn＝eSn＋1－e5，an＝，則當Tn取得最大值時n的值為________.
答案 4或5
解析 由Sn＝eSn＋1－e5，得Sn－1＝eSn－e5(n≥2)，兩式相減，得an＝ean＋1(n≥2)，易知a2＝e3，＝＝，所以數(shù)列{an}是首項為e4，公比為的等比數(shù)列，所以an＝e5－n.因為an＝，所以bn＝5－n.由即解得4≤n≤5，所以當n＝4或n＝5時，Tn取得最大值.
8.已知函數(shù)f(x)＝x2＋(a＋8)x＋a2＋a－12，且f(a2－4)＝f(2a－8)，設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*)，若Sn＝f(n)，則的最小值為________.
答案
解析 由題意可得a2－4＝2a－8或a2－4＋2a－8＝2，解得a＝1或a＝－4.
當a＝1時，f(x)＝x2＋9x－10，數(shù)列{an}不是等差數(shù)列；
當a＝－4時，f(x)＝x2＋4x，Sn＝f(n)＝n2＋4n，
∴a1＝5，a2＝7，an＝5＋(7－5)(n－1)＝2n＋3，
∴＝＝＝≥＝＋1，
當且僅當n＋1＝，即n＝－1(舍負)時取等號，
∵n為正整數(shù)，2<－1<3，當n＝2時，＝；當n＝3時，＝，故當n＝3時原式取最小值.
1.(2018全國Ⅱ改編)已知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________.
答案 2
解析 ∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1).∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù).
由f(x)為奇函數(shù)及其定義域為R得f(0)＝0.
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝012＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
2.已知實數(shù)f(x)＝若關于x的方程f2(x)＋f(x)＋t＝0有三個不同的實根，則t的取值范圍為________.
答案 (－∞，－2]
解析 設m＝f(x)，作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，則當m≥1時，m＝f(x)有兩個根，當m<1時，m＝f(x)有一個根.若關于x的方程f2(x)＋f(x)＋t＝0有三個不同的實根，則等價為m2＋m＋t＝0有兩個不同的實數(shù)根m1，m2，且m1≥1，m2＜1.當m＝1時，t＝－2，此時由m2＋m－2＝0，解得m＝1或m＝－2，f(x)＝1有兩個根，f(x)＝－2有一個根，滿足條件；當m≠1時，設h(m)＝m2＋m＋t，其對稱軸為m＝－，則需h(1)<0即可，即1＋1＋t<0，解得t<－2.綜上，實數(shù)t的取值范圍為t≤－2.
3.若存在兩個正實數(shù)x，y使等式2x＋m(y－2ex)(lny－lnx)＝0成立(其中e＝2.71828…)，則實數(shù)m的取值范圍是________.
答案 (－∞，0)∪
解析 當m＝0時，不滿足題意，由題意可得m＝，
則＝＝ln，
令t＝，構造函數(shù)g(t)＝lnt(t>0)，
則g′(t)＝－lnt＋
＝－lnt＋－(t>0)，
設h(t)＝g′(t)，
則h′(t)＝－－＝－<0恒成立，
則g′(t)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，
當t＝e時，g′(t)＝0，
則當t∈(0，e)時，g′(t)>0，函數(shù)g(t)單調(diào)遞增，
當t∈(e，＋∞)時，g′(t)<0，函數(shù)g(t)單調(diào)遞減，
則當t＝e時，g(t)取得最大值g(e)＝，
且當t→0時，g(t)→－∞，
據(jù)此有≤，∴m<0或m≥.
綜上可得實數(shù)m的取值范圍是(－∞，0)∪.
4.已知函數(shù)f(x)＝，函數(shù)g(x)＝asinx－2a＋2(a＞0)，若存在x1，x2∈[0,1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.
答案
解析 當x∈[0,1]時，f(x)＝是增函數(shù)，其值域是[0,1].
g(x)＝asinx－2a＋2(a＞0)的值域是，因為存在x1，x2∈[0,1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以[0,1]∩≠?，若[0,1]∩＝?，則2－2a＞1或2－a＜0，
即a<或a＞，所以a的取值范圍是.
5.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若為常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“精致數(shù)列”.已知等差數(shù)列{bn}的首項為1，公差不為0，若數(shù)列{bn}為“精致數(shù)列”，則數(shù)列{bn}的通項公式為__________.
答案 bn＝2n－1(n∈N*)
解析 設等差數(shù)列{bn}的公差為d，
由為常數(shù)，設＝k且b1＝1，
得n＋n(n－1)d＝k，
即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，
整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0，
因為對任意正整數(shù)n上式恒成立，
則解得
所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n－1(n∈N*).
6.若數(shù)列{an}滿足－＝0，n∈N*，p為非零常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“夢想數(shù)列”.已知正項數(shù)列為“夢想數(shù)列”，且b1b2b3…b99＝299，則b8＋b92的最小值是________.
答案 4
解析 依題意可得bn＋1＝pbn，則數(shù)列{bn}為等比數(shù)列.又b1b2b3…b99＝299＝b，則b50＝2.b8＋b92≥2＝2b50＝4，當且僅當b8＝b92＝2，即該數(shù)列為常數(shù)數(shù)列時取等號.
7.當n為正整數(shù)時，定義函數(shù)N(n)表示n的最大奇因數(shù).如N(3)＝3，N(10)＝5，…，S(n)＝N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n)，則S(5)＝________.
答案 342
解析 ∵N(2n)＝N(n)，N(2n－1)＝2n－1，而S(n)＝N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n)，
∴S(n)＝N(1)＋N(3)＋N(5)＋…＋N(2n－1)＋[N(2)＋N(4)＋…＋N(2n)]，
∴S(n)＝1＋3＋5＋…＋2n－1＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n－1)]，
∴S(n)＝＋S(n－1)(n≥2)，即S(n)－S(n－1)＝4n－1，又S(1)＝N(1)＋N(2)＝1＋1＝2，
∴S(5)－S(1)＝[S(5)－S(4)]＋[S(4)－S(3)]＋…＋[S(2)－S(1)]＝44＋43＋42＋4，∴S(5)＝2＋4＋42＋43＋44＝342.
8.拋物線x2＝y(tǒng)在第一象限內(nèi)圖象上的一點(ai,2a)處的切線與x軸交點的橫坐標記為ai＋1，其中i∈N*，若a2＝32，則a2＋a4＋a6＝________.
答案 42
解析 拋物線x2＝y(tǒng)可化為y＝2x2，則y′＝4x，拋物線在點(ai,2a)處的切線方程為y－2a＝4ai(x－ai)，所以切線與x軸交點的橫坐標為ai＋1＝ai，所以數(shù)列{a2k}是以a2＝32為首項，為公比的等比數(shù)列，所以a2＋a4＋a6＝32＋8＋2＝42.
9.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2>a1，S4＝a1＋28，且a3＋2是a2，a4的等差中項，若數(shù)列的前n項和Tn≤2n－2＋M恒成立，則M的最小值為________.
答案?。?
解析 設等比數(shù)列{an}的公比為q，依題意得2(a3＋2)＝a2＋a4，又S4＝a1＋28，∴a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8，
∴解得或
又a2>a1，∴a1＝2，q＝2，∴an＝2n，Sn＝2n＋1－2.
令bn＝，
∴bn＝＝－，
∴Tn＝＋＋…＋＝－＝－.
故Tn－2n－2＝－－2n－2.
又Tn－2n－2－(Tn＋1－2n－1)＝2n－2－>2n－2－＝≥0，
即Tn－2n－2>Tn＋1－2n－1，
故數(shù)列{Tn－2n－2}單調(diào)遞減，故(Tn－2n－2)max＝－－2－1＝－.
又Tn≤2n－2＋M恒成立，
即M≥Tn－2n－2恒成立，故M≥－，所以M的最小值為－.
10.已知數(shù)列{an}的奇數(shù)項是首項為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項是首項為2的等比數(shù)列，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a4＝S3，a9＝a3＋a4，則使得恰好為數(shù)列{an}的奇數(shù)項的正整數(shù)k的值為________.
答案 1
解析 設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，
則a1＝1，a2＝2，a3＝1＋d，a4＝2q，a9＝1＋4d.
因為a4＝S3，a9＝a3＋a4，
所以1＋2＋1＋d＝2q,1＋4d＝1＋d＋2q，
解得d＝2，q＝3，
則對于n∈N*，有a2n－1＝2n－1，a2n＝23n－1，
所以S2n＝[1＋3＋…＋(2n－1)]＋2(1＋3＋32＋…＋3n－1)＝3n＋n2－1，S2n－1＝S2n－a2n＝3n－1＋n2－1.
若恰好為數(shù)列{an}的奇數(shù)項，則可設＝m(m為正奇數(shù))，
所以＝＝m，
即(3－m)3k－1＝(m－1)(k2－1).當k＝1時，m＝3，滿足條件；
當k≠1時，＝，由>0，得>0，
解得1
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