高考數(shù)學復習：第二章 ：第六節(jié)　對數(shù)與對數(shù)函數(shù)突破熱點題型

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1、 精品資料 第六節(jié)　對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 考點一 對數(shù)式的化簡與求值 　 [例1]　(1)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n； (2)計算； (3)計算(log32＋log92)·(log43＋log83)． [自主解答]　(1)法一：∵loga2＝m，loga3＝n， ∴am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12. 法二：∵loga2＝m，loga3＝n， ∴a2m＋n＝(am)2·an＝(aloga2)2·aloga3＝22×3＝12. (2)原式＝ ＝ ＝

2、 ＝＝＝＝1. (3)原式＝· ＝· ＝· ＝. 【互動探究】 在本例(1)的條件下，求loga36的值． 解：loga36＝loga4＋loga9＝2＝2(m＋n)．　　　　　 【方法規(guī)律】 對數(shù)運算的一般思路[來源:] (1)首先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運算性質(zhì)化簡合并． (2)將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運算． 1．計算÷100－＝________. 解析：原式＝÷＝－20. 答案：－20 2．設2a＝5b＝m，且

3、＋＝2，則m＝________. 解析：∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m， ∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2. ∴m2＝10，∴m＝. 答案： 考點二 對數(shù)函數(shù)的圖象及其應用 　 [例2]　(1)函數(shù)y＝logax與y＝－x＋a在同一坐標系中的圖象可能是(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D (2)已知函數(shù)f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的圖象如圖所示，則a，b滿足的關系是(　　) A．0

4、－1<1 [自主解答]　(1)當a＞1時，函數(shù)y＝logax的圖象為選項B，D中所示過(1,0)點的曲線，此時函數(shù)y＝－x＋a的圖象與y軸的交點的縱坐標a應滿足a＞1，選項B，D中所示的圖象都不符合要求； 當0＜a＜1時，函數(shù)y＝logax的圖象為選項A，C中所示過(1,0)點的曲線，此時函數(shù)y＝－x＋a的圖象與y軸的交點的縱坐標a應滿足0＜a＜1，選項A中所示的圖象符合要求，選項C中所示的圖象不符合要求． (2)令g(x)＝2x＋b－1，這是一個增函數(shù)，而由圖象可知函數(shù)f(x)＝logag(x)是單調(diào)遞增的，所以必有a>1. 又由圖象知函數(shù)圖象與y軸交點的縱坐標介于－1和0之間，即－

5、1

6、．x2 ＜x3＜x1　　　　　　　B．x1＜x3＜x2 C．x1 ＜x2＜x3 D．x3＜x2＜x1 解析：選A　在同一坐標系中畫出三個函數(shù)的圖象及直線y＝a(a＜0)(圖略)，易知x1＞x3＞x2，故選A. 2．函數(shù)y＝log2|x＋1|的單調(diào)遞減區(qū)間為________，單調(diào)遞增區(qū)間為________． 解析：作出函數(shù)y＝log2x的圖象，將其關于y軸對稱得到函數(shù)y＝log2|x|的圖象，再將圖象向左平移1個單位長度就得到函數(shù)y＝log2|x＋1|的圖象(如圖所示)．由圖知，函數(shù)y＝log2|x＋1|的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－1，

7、＋∞)． 答案：(－∞，－1)　(－1，＋∞) 高頻考點 考點三 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應用　　 1．對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是每年高考的必考內(nèi)容之一，多以選擇題或填空題的形式考查，難度低、中、高檔都有．[來源:] 2．高考對對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的考查主要有以下兩個命題角度： (1)考查對數(shù)函數(shù)的定義域； (2)考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在比較大小、解不等式、求最值等問題中的應用． [例3]　(1)(2013·廣東高考)函數(shù)y＝的定義域是(　　) A．(－1，＋∞)　　　　　　B．[－1，＋∞)[來源:] C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞) (2)(

8、2013·新課標全國卷Ⅱ)設a＝log32，b＝log52，c＝log23，則(　　) A．a(chǎn)＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b (3) (2014·杭州模擬)設函數(shù)f(x)＝若f(a)>f(－a)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)[來源:] (4)(2014·中山模擬)已知函數(shù)f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，a≠1)，若f(x)＞1在區(qū)間[1,2]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為

9、________． [自主解答]　(1)要使有意義，需滿足x＋1＞0且x－1≠0，得x＞－1且x≠1. (2)∵＜2＜3,1＜2＜，3＞2，∴l(xiāng)og3＜log32＜log33，log51＜log52＜log5，log23＞log22， ∴＜a＜1,0＜b＜，c＞1. ∴c＞a＞b. (3)由題意可得 或 解得a＞1或－1＜a＜0. (4)當a＞1時，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是減函數(shù)，由f(x)＞1恒成立，則f(x)min＝loga(8－2a)＞1， 解得1＜a＜. 若0＜a＜1時，f(x)在x∈[1,2]上是增函數(shù)， 由f(x)＞1恒成立， 則f(x

10、)min＝loga(8－a)＞1， 且8－2a＞0，∴a＞4，且a＜4，故不存在． 綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是. [答案]　(1)C　(2)D　(3)C　(4) 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應用問題的常見類型及解題策略 (1)求函數(shù)的定義域．要注意對數(shù)函數(shù)的底數(shù)和真數(shù)的取值范圍，列出對應的不等式(組)求解即可． (2)比較對數(shù)式的大?。偃舻讛?shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進行判斷；若底數(shù)為同一字母，則需對底數(shù)進行分類討論． ②若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進行比較． ③若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助1,0等中間量進行比較． (3)解對數(shù)不等式．形如

11、logax＞logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論；形如logax＞b的不等式，需先將b化為以a為底的對數(shù)式的形式． 1．已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝log30.3，則(　　) A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．c＞a＞b 解析：選C　a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝log30.3＝5log3. 又∵log23.4＞log3＞1,0＜log43.6＜1， ∴5log23.4＞log30.3＞5log43.6，即a＞c＞

12、b. 2．(2014·嘉興模擬)已知函數(shù)f(x)＝loga(3－ax)． (1)當x∈[0,2]時，函數(shù)f(x)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍； (2)是否存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由． 解：(1)∵a>0且a≠1，設t＝3－ax，則t＝3－ax為減函數(shù)，x∈[0,2]時，t最小值為3－2a.當x∈[0,2]時，f(x)恒有意義，即x∈[0,2]時，3－ax>0恒成立． ∴3－2a>0，即a<. 又a>0且a≠1， ∴a∈(0,1)∪. (2)t＝3－ax，∵a>0，∴函數(shù)t(x)在R

13、上為減函數(shù)． ∵f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，∴y＝logat為增函數(shù)．∴a>1，x∈[1,2]時，t(x)最小值為3－2a，f(x)最大值為f(1)＝loga(3－a)， ∴即故這樣的實數(shù)a不存在．[來源:] ——————————[課堂歸納——通法領悟]———————————————— 1種關系——指數(shù)式與對數(shù)式的互化 　ab＝N?logaN＝b(a＞0，a≠1，N＞0)． 2個注意點——解決對數(shù)問題應注意的兩點 　解決與對數(shù)有關的問題時：(1)務必先研究函數(shù)的定義域；(2)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a，應注意底數(shù)的取值范圍． 3個關鍵點——對數(shù)函數(shù)圖象的畫法 　畫對數(shù)函數(shù)y＝logax的圖象應抓住三個關鍵點：(a,1)，(1,0)，. 4種方法——對數(shù)值的大小比較方法 (1) 化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性；(2)作差或作商法；(3)利用中間量(0或1)； (4)化同真數(shù)后利用圖象比較.