新編高一數(shù)學(xué) 人教版必修3：第四章 線性回歸方程 含解析

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1、新編人教版精品教學(xué)資料 重點(diǎn)列表： 重點(diǎn) 名稱 重要指數(shù) 重點(diǎn)1 相關(guān)關(guān)系的判斷 ★★★★ 重點(diǎn)2 線性回歸方程有關(guān)概念 ★★★ 重點(diǎn)3 散點(diǎn)圖 ★★★★ 重點(diǎn)詳解： 1．變量間的相關(guān)關(guān)系 常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是確定性的函數(shù)關(guān)系，另一類是________；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種________關(guān)系，帶有隨機(jī)性． 2．兩個(gè)變量的線性相關(guān) (1)如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有____________，這條直線叫________． (2)從散點(diǎn)圖上看，如果點(diǎn)分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)

2、，那么兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為________；如果點(diǎn)分布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，那么兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為________. ※ (3)相關(guān)系數(shù) r＝，當(dāng)r＞0時(shí)，表示兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r＜0時(shí)，表示兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．r的絕對值越接近________，表示兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；r的絕對值越接近________，表示兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱．通常當(dāng)r的絕對值大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系． 3．回歸直線方程 (1)通過求Q＝的最小值而得出回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做____________．該式取最小值時(shí)的α

3、，β的值即分別為，. (2)兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸方程為，則 【答案】 1．相關(guān)關(guān)系　非確定性 2．(1)線性相關(guān)關(guān)系　回歸直線　 (2)正相關(guān)　負(fù)相關(guān) (3)1　0　 3．最小二乘法 重點(diǎn)1：相關(guān)關(guān)系的判斷 【要點(diǎn)解讀】 在研究兩個(gè)變量之間是否存在某種關(guān)系時(shí)，必須從散點(diǎn)圖入手．對于散點(diǎn)圖，可以做出如下判斷： (1)如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線上，就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系，即變量之間具有函數(shù)關(guān)系． (2)如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系． (3)如

4、果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系． 【考向1】確定性關(guān)系與隨機(jī)關(guān)系 【例題】下列變量之間的關(guān)系不是相關(guān)關(guān)系的是(　　) A．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，其中a，c是已知常數(shù)，取b為自變量，因變量是這個(gè)函數(shù)的判別式Δ＝b2－4ac B．光照時(shí)間和果樹畝產(chǎn)量 C．降雪量和交通事故發(fā)生率 D．每畝施用肥料量和糧食畝產(chǎn)量 解：由函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系的定義可知，A中Δ＝b2－4ac，因?yàn)閍，c是已知常數(shù)，b為自變量，所以給定一個(gè)b的值，就有唯一確定的Δ與之對應(yīng)，所以Δ與b之間是一種確定的關(guān)系，是函數(shù)關(guān)系．B，C，D中兩個(gè)變量之間的關(guān)系都是相關(guān)關(guān)系．故選A.

5、【評析】要注意函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系的區(qū)別：函數(shù)關(guān)系是確定性關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是隨機(jī)的、不確定的． 重點(diǎn)2：線性回歸方程有關(guān)概念 【要點(diǎn)解讀】 樣本中心點(diǎn)一定在回歸直線上 【考向1】樣本中心點(diǎn) 【例題】為了考查兩個(gè)變量x和y之間的線性關(guān)系，甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立做了10次和15次試驗(yàn)，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為l1，l2，已知兩人得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中，變量x的平均值都等于s，變量y的平均值都等于t，那么下列說法正確的是(　　) A．直線l1和l2一定有公共點(diǎn)(s，t) B．直線l1和l2相交，但交點(diǎn)不一定是(s，t) C．必有直線l1∥l2 D．直線l1和l2必定重合

6、 【評析】回歸方程一定通過樣本點(diǎn)的中心(，)；中心相同的樣本點(diǎn)的回歸方程不一定相同． 【考向2】線性回歸直線的理解 【例題】由一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到回歸直線方程，那么下面說法錯(cuò)誤的是(　　) A．直線必經(jīng)過點(diǎn)(，) B．直線至少經(jīng)過點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個(gè)點(diǎn) C．直線的斜率＝ D．直線和各點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差是該坐標(biāo)平面上所有直線與這些點(diǎn)的偏差中最小的 重點(diǎn)3：散點(diǎn)圖 【要點(diǎn)解讀】 根據(jù)散點(diǎn)圖可以直觀判斷正負(fù)相關(guān)以及數(shù)據(jù)所對應(yīng)的函數(shù)模型 【考向1】正相關(guān)與

7、負(fù)相關(guān) 【例題】(1)對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散點(diǎn)圖1；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散點(diǎn)圖2.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷(　　) 圖1 圖2 A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān) B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān) C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān) D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān) 解：由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷，變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)，故選C. 【評析】點(diǎn)分布在從左下角到右上角的區(qū)域時(shí)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系為正相關(guān)；點(diǎn)分布在從左上角到右下角的區(qū)域時(shí)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)． (2)下面

8、是一塊田的水稻產(chǎn)量與施化肥量的一組觀測數(shù)據(jù)(單位：kg)： 施化肥量15　 20　　25　　30　35　 40　45 水稻產(chǎn)量 320 330 360 410 460 470 480 (Ⅰ)將上述數(shù)據(jù)制成散點(diǎn)圖； (Ⅱ)你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)施化肥量與水稻產(chǎn)量近似成什么關(guān)系嗎？水稻產(chǎn)量會一直隨施化肥量的增加而增長嗎？ 解：(Ⅰ)散點(diǎn)圖如下： (Ⅱ)從圖中可以發(fā)現(xiàn)施化肥量與水稻產(chǎn)量具有線性相關(guān)關(guān)系，當(dāng)施化肥量由小到大變化時(shí)，水稻產(chǎn)量由小變大．圖中的數(shù)據(jù)點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，因此施化肥量和水稻產(chǎn)量近似成線性相關(guān)關(guān)系，但水稻產(chǎn)量只是在一定范圍內(nèi)隨著化肥施用量的增加而增長

9、，不會一直隨化肥施用量的增加而增長． 【評析】任何一組數(shù)據(jù)(二元數(shù)據(jù))都可以作出散點(diǎn)圖，散點(diǎn)圖可以直觀地觀察兩個(gè)變量間的關(guān)系． 【考向2】散點(diǎn)圖的畫法及相關(guān)關(guān)系識別 【例題】(1)從左至右，觀察下列三個(gè)散點(diǎn)圖，變量x與y的關(guān)系依次為________(正相關(guān)記作①；負(fù)相關(guān)記作②；不相關(guān)記作③)． (2)科研人員為了全面掌握棉花新品種的生產(chǎn)情況，查看了氣象局對該地區(qū)年降雨量與年平均氣溫的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(單位分別是mm，℃)，并作了統(tǒng)計(jì)： 年平均氣溫 12.51 12.84 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05 年降 雨量 748 542 5

10、07 813 574 701 432 (Ⅰ)試畫出散點(diǎn)圖； (Ⅱ)判斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系． 解：(Ⅰ)作出散點(diǎn)圖如圖所示． (Ⅱ)由散點(diǎn)圖可知，各點(diǎn)并不在一條直線附近，所以兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系． 難點(diǎn)列表： 難點(diǎn) 名稱 難度指數(shù) 難點(diǎn)1 求回歸方程及用回歸方程進(jìn)行估計(jì) ★★★★ 難點(diǎn)2 復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù) ★★★★★ 難點(diǎn)詳解： 求線性回歸直線方程的步驟 (1)用散點(diǎn)圖或進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)判斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系； (2)求系數(shù)：公式有兩種形式，＝＝，根據(jù)題目具體情況靈活選用； (3)求：＝－； (4)寫出回歸直線方程．

11、 說明：當(dāng)數(shù)據(jù)較復(fù)雜時(shí)，題目一般會給出部分中間結(jié)果，觀察這些中間結(jié)果可確定選用公式的哪種形式求. 難點(diǎn)1：求回歸方程及用回歸方程進(jìn)行估計(jì) 【要點(diǎn)解讀】 (1)回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)際意義，否則無意義． (2)根據(jù)回歸方程進(jìn)行的估計(jì)僅是一個(gè)預(yù)測值，而不是真實(shí)發(fā)生的值． (3)用最小二乘法求回歸方程，關(guān)鍵在于正確求出系數(shù)，，由于，的計(jì)算量大，計(jì)算時(shí)應(yīng)仔細(xì)小心，分層進(jìn)行(最好列出表格)，避免因計(jì)算而產(chǎn)生錯(cuò)誤． 【考向1】求線性回歸方程 【例題】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(

12、噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照數(shù)據(jù)： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程； (3)已知該廠技術(shù)改造前100噸甲產(chǎn)品能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤，試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？ (參考值3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解：(1)散點(diǎn)圖如下： (2)由系數(shù)公式可知，＝4.5，＝3.5， ＝＝0.7， ＝3.5－0.7×4.5＝0.35， 所以線性回歸方程為＝0

13、.7x＋0.35. (3)x＝100時(shí)，＝0.7x＋0.35＝70.35，所以預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低19.65噸標(biāo)準(zhǔn)煤． 【評析】牢記求線性回歸方程的步驟：(1)列表；(2)計(jì)算，，，;(3)代入公式求，再利用求，（4）寫出回歸方程. 【考向2】利用線性回歸方程進(jìn)行預(yù)測 【例題】從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，獲得第i個(gè)家庭的月收入xi（單位：千元）與月儲蓄yi（單位：千元）的數(shù)據(jù)資料，算得=80, =20,=184,=720. (1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y＝bx＋a； (2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)； (3)若該居民區(qū)某

14、家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭的月儲蓄． 附：線性回歸方程y＝bx＋a中， b＝，， 其中，為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為＝x＋. 解：(1)由題意知n＝10，＝＝＝8， ＝＝＝2，又- n2 =720 -10×82=80， -n＝184－10×8×2＝24， 由此得b＝＝0.3， a＝－b＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求回歸方程為y＝0.3x－0.4. (2)由于變量y的值隨x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x與y之間是正相關(guān)． (3)將x＝7代入回歸方程可以預(yù)測該家庭的月儲蓄為y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 難點(diǎn)2：非線性相關(guān)轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)

15、【要點(diǎn)解讀】 通過觀察散點(diǎn)圖，分析其函數(shù)模型，然后轉(zhuǎn)化成線性相關(guān) 【考向1】非線性相關(guān)轉(zhuǎn)化為線性相關(guān) 【例題】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i＝1，2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值． (1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋d哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程． (3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，

16、y的關(guān)系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題： ①年宣傳費(fèi)x＝49時(shí)，年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少？ ②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大？ 附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋β u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為＝ 解題指導(dǎo)]　切入點(diǎn)：回歸分析中對散點(diǎn)圖的理解，回歸方程的求法和應(yīng)用；關(guān)鍵點(diǎn)：通過換元把非線性回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程求解． 解]　(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，y＝c＋d適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型． (2)令w＝，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程． ＝y(tǒng)－ w＝563－68×6.8

17、＝100.6， 所以y關(guān)于w的線性回歸方程為＝100.6＋68w， 因此y關(guān)于x的回歸方程為＝100.6＋68. (3)①由(2)知，當(dāng)x＝49時(shí)， 年銷售量y的預(yù)報(bào)值＝100.6＋68＝576.6， 年利潤z的預(yù)報(bào)值＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報(bào)值 ＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12. 所以當(dāng)＝＝6.8，即x＝46.24時(shí)，取得最大值． 故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大． 【趁熱打鐵】 1．兩個(gè)變量成負(fù)相關(guān)關(guān)系時(shí)，散點(diǎn)圖的特征是(　　) A．點(diǎn)分布在從左下角到右上角的區(qū)域 B．

18、散點(diǎn)圖在某方形區(qū)域內(nèi) C．散點(diǎn)圖在某圓形區(qū)域內(nèi) D．點(diǎn)分布在從左上角到右下角的區(qū)域 2．對于給定的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，下列說法正確的是(　　) A．都可以分析出兩個(gè)變量的關(guān)系 B．都可以用一條直線通過近似表示兩者關(guān)系來估計(jì)總體的均值 C．都可以作出散點(diǎn)圖 D．都可以用確定的表達(dá)式表示兩者的關(guān)系 3．下列命題： ①任何兩個(gè)變量都具有相關(guān)關(guān)系； ②圓的周長與該圓的半徑具有相關(guān)關(guān)系； ③某商品的需求與該商品的價(jià)格是一種非確定性關(guān)系； ④根據(jù)散點(diǎn)圖求得的回歸直線方程可能是沒有意義的； ⑤兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系可以通過回歸直線把非確定性問題轉(zhuǎn)化為確定性問題進(jìn)行研究． 其中正確的

19、命題為(　　) A．①③④ B．②④⑤ C．③④⑤ D．②③⑤ 4．對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)比較，正確的是(　　) A．r2

20、不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為(　　) A．67 B．68 C．69 D．70 6．變量X與Y相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；變量U與V相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則(　　) A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1 C．r2＜0＜r1 D．r2＝r1 7．某市物價(jià)部門對本市的5家商場的某商品的一天銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，得到售價(jià)x(元)和銷

21、售量y(件)之間的一組數(shù)據(jù)如下表： 價(jià)格x 9 9.5 10 10.5 11 銷售量y 11 10 8 6 5 由散點(diǎn)圖可知，銷售量y與價(jià)格x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是：＝－3.2x＋a，則a＝______． 8．某數(shù)學(xué)老師身高176 cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173 cm、170 cm和182 cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測他孫子的身高為________cm. 9．假設(shè)關(guān)于某種設(shè)備的使用年限x(年)與所支出的維修費(fèi)用y(萬元)有如下統(tǒng)計(jì)資料： x 2 3 4 5 6 y 2.2

22、 3.8 5.5 6.5 7.0 已知=90，＝112.3. (1)求，； (2)如果x與y具有線性相關(guān)關(guān)系，求出線性回歸方程； (3)估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用約是多少？ 10．某班主任為了對本班學(xué)生的月考成績進(jìn)行分析，決定從全班25名女同學(xué)，15名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為8的樣本進(jìn)行分析． (1)如果按性別比例分層抽樣，應(yīng)選男女生各多少人； (2)隨機(jī)抽取8位同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理分?jǐn)?shù)對應(yīng)如表： 學(xué)生編號 1 2 3 4 5 6 7 8 數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分?jǐn)?shù)y 72 77

23、 80 84 88 90 93 95 根據(jù)上表數(shù)據(jù)用散點(diǎn)圖說明物理成績y與數(shù)學(xué)成績x之間是否具有線性相關(guān)性？如果具有線性相關(guān)性，求出線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01)；如果不具有線性相關(guān)性，請說明理由． 第四章 1解：正確的只有D選項(xiàng)．故選D. 2解：任兩個(gè)變量均可作出散點(diǎn)圖，從散點(diǎn)圖上看有相關(guān)關(guān)系的才具有分析的價(jià)值，無相關(guān)關(guān)系的則作不出什么結(jié)論．故選C. 4解：由相關(guān)系數(shù)定義及散點(diǎn)圖所表達(dá)含義可知r2

24、∴＝0.67×30＋54.9＝75，因此圖表中的模糊數(shù)據(jù)為75×5－(62＋75＋81＋89)＝68.故選B. 6解：對于變量Y與X而言，Y隨X的增大而增大，故Y與X正相關(guān)；對于變量V與U而言，V隨U的增大而減小，故V與U負(fù)相關(guān)，故r2＜0＜r1.故選C. 7解：價(jià)格的平均數(shù)＝＝10，銷售量的平均數(shù)＝＝8，由＝－3.2x＋a知b＝－3.2，所以a＝－b＝8＋3.2×10＝40.故填40. 8解：根據(jù)題中所提供的信息，可知父親與兒子的身高的對應(yīng)數(shù)據(jù)可列表如下： 父親的身高(x) 173 170 176 兒子的身高(y) 170 176 182 ?。?73，＝176，∴＝＝＝1，＝－＝176－173＝3. ∴回歸直線方程為＝x＋3，從而可預(yù)測他孫子的身高為182＋3＝185(cm)．故填185. 10解：(1)按性別比例分層抽樣，應(yīng)選男生15×＝3(人)，選女生25×＝5(人)． (2)以數(shù)學(xué)成績x為橫坐標(biāo)，物理成績y為縱坐標(biāo)作散點(diǎn)圖如圖所示． 從散點(diǎn)圖可以看出這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，并且在逐步上升，故物理與數(shù)學(xué)成績線性正相關(guān)． 設(shè)y與x的線性回歸方程是＝bx＋a，根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出≈0.65，≈34.5， 所以y與x的回歸方程是＝0.65x＋34.5.