精校版高中數(shù)學(xué)人教版選修45評(píng)估驗(yàn)收卷：第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 Word版含答案

《精校版高中數(shù)學(xué)人教版選修45評(píng)估驗(yàn)收卷：第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 Word版含答案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《精校版高中數(shù)學(xué)人教版選修45評(píng)估驗(yàn)收卷：第四講 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 Word版含答案（8頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料 評(píng)估驗(yàn)收卷(四) (時(shí)間：120分鐘　滿分：150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．下列說法中正確的是(　　) A．若一個(gè)命題當(dāng)n＝1，2時(shí)為真，則此命題為真命題 B．若一個(gè)命題當(dāng)n＝k時(shí)成立且推得n＝k＋1時(shí)也成立，則此命題為真命題 C．若一個(gè)命題當(dāng)n＝1，2時(shí)為真，則當(dāng)n＝3時(shí)此命題也為真 D．若一個(gè)命題當(dāng)n＝1時(shí)為真，n＝k時(shí)為真能推得n＝k＋1時(shí)亦為真，則此命題為真命題 解析：由數(shù)學(xué)歸納法定義可知，只有當(dāng)n的初始取值成立且由n＝k成立能推得n＝k

2、＋1時(shí)也成立時(shí)，才可以證明結(jié)論正確，二者缺一不可．A，B，C項(xiàng)均不全面． 答案：D 2．等式12＋22＋32＋…＋n2＝(5n2－7n＋4)(　　) A．n為任何正整數(shù)時(shí)都成立 B．僅當(dāng)n＝1, 2，3時(shí)成立 C．當(dāng)n＝4時(shí)成立，n＝5時(shí)不成立 D．僅當(dāng)n＝4時(shí)不成立 解析：把n＝1，2，3，4，5代入驗(yàn)證可知B正確． 答案：B 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式(　　) A．1＋＜2－ B．1＋＋＜2－ C．1＋＜2－ D．1＋＋＜2－ 解析：因?yàn)閚≥2， 所以第一步驗(yàn)證不等式應(yīng)為n＝2時(shí)1＋＜2－. 答案：

3、A 4．設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，則f(n＋1)－f(n)等于(　　) A. B.＋ C.＋ D.＋＋ 解析：因?yàn)閒(n)＝1＋＋＋…＋，所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋. 答案：D 5．已知f(n)＝＋＋＋…＋，則(　　) A．f(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋ B．f(n)中共有n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋＋ C．f(n)中共有n2－n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋ D．f(n)中共有n2－n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋＋ 解析：本題主要考查數(shù)列的概念． 由n到n2一共有整數(shù)n2－n＋1個(gè)，

4、所以f(n)有n2－n＋1項(xiàng)， 當(dāng)n＝2時(shí)代入得， f(2)＝＋＋. 故本題正確答案為D. 答案：D 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　) A．假設(shè)n＝2k＋1時(shí)正確，再推n＝2k＋3時(shí)正確(k∈N＋) B．假設(shè)n＝2k－1時(shí)正確，再推n＝2k＋1時(shí)正確(k∈N＋) C．假設(shè)n＝k時(shí)正確，再推n＝k＋1時(shí)正確(k∈N＋) D．假設(shè)n≤k(k≥1)時(shí)正確，再推n＝k＋2時(shí)正確(k∈N＋) 解析：n為正奇數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟，第二步應(yīng)先假設(shè)n取第k個(gè)正奇數(shù)也成立，本題即假設(shè)n＝2k－1時(shí)正確，再推n取第(k＋1)個(gè)正奇數(shù)，即

5、n＝2k＋1時(shí)正確． 答案：B 7．平面內(nèi)原有k條直線，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)記為f(k)，則增加一條直線l后，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為(　　) A．f(k)＋1　　　　　　 B．f(k)＋k C．f(k)＋k＋1 D．k·f(k) 解析：第k＋1條直線與前k條直線都相交有交點(diǎn)，所以應(yīng)比原先增加k個(gè)交點(diǎn)．故應(yīng)選B. 答案：B 8．用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1×3×…·(2n－1)(n∈N＋)成立時(shí)，從k到k＋1左邊需增乘的代數(shù)式是(　　) A. B．2(2k＋1) C．2k＋1 D. 解析：要求左邊從k到k＋1左邊需增乘的代數(shù)式，可以先寫出n＝

6、k時(shí)，左邊＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，再寫出n＝k＋1時(shí)，左邊＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2)，然后比較兩式，得出需增乘＝2(2k＋1)． 答案：B 9．如果命題P(n)對(duì)于n＝k成立，則它對(duì)n＝k＋2亦成立，又若P(n)對(duì)n＝2成立，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．P(n)對(duì)所有自然數(shù)n成立 B．P(n)對(duì)所有偶自然數(shù)n成立 C．P(n)對(duì)所有正自然數(shù)n成立 D．P(n)對(duì)所有比1大的自然數(shù)n成立 解析：因?yàn)閚＝2時(shí)，由n＝k＋2的“遞推”關(guān)系，可得到n＝4成立，再得到n＝6成立，依次類推，因此，命題P(n)對(duì)所有偶自然數(shù)n成立． 答案：

7、B 10．設(shè)0＜θ＜，已知a1＝2cos θ，an＋1＝，則猜想an為(　　) A．2cos B．2cos C．2cos D．2sin 解析：a1＝2cos θ，a2＝＝2cos ，a3＝＝2cos ， 猜想an＝2cos . 答案：B 11．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當(dāng)f(k)≥k2成立時(shí)，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．那么下列命題總成立的是(　　) A．若f(3)≥9成立，則當(dāng)k≥1時(shí)，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，則當(dāng)k≤5時(shí)，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)＜49成立，則當(dāng)k≥8時(shí)，均有f

8、(k)＜k2成立 D．若f(4)＝25成立，則當(dāng)k≥4時(shí)，均有f(k)≥k2成立 解析：根據(jù)題中條件可知：由f(k)≥k2，必能推得f(k＋1)≥(k＋1)2，但反之不成立，因?yàn)镈中f(4)＝25＞42，故可推得k≥4時(shí)，f(k)≥k2，故只有D正確． 答案：D 12．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意n∈ N＋，都能使m整除f(n)，則最大的m的值為(　　) A．30 B．26 C．36 D．6 解析：f(1)＝36，f(2)＝108，n≥3時(shí)f(n)＝9[(2n＋7)3n－2＋1]，(2n＋7)·3n－2＋1，當(dāng)n≥3時(shí)能被4整除，結(jié)合選

9、項(xiàng)知C正確． 答案：C 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上) 13．若用數(shù)學(xué)歸納法證明：2n＋1＞n2＋n＋2成立時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證_______________________________________________________． 答案：n0＝3，24＞32＋3＋2 14．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1(n∈N＋)，(從“第k步到k＋1步”時(shí)，兩邊應(yīng)同時(shí)加上________． 答案：(－1)k(k＋1)2 15．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n是非負(fù)整數(shù)時(shí)，55n＋1＋45n＋2＋35n

10、能被11整除”的第一步應(yīng)寫成：當(dāng)n＝___________時(shí)，55n＋1＋45n＋2＋35n＝________＝________，能被11整除． 解析：本題考查對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的掌握情況，由于n是非負(fù)整數(shù)，所以第一步應(yīng)考慮n＝0. 答案：0　51＋42＋30　22 16．假設(shè)凸k邊形的對(duì)角線有f(k)條，則凸(k＋1)邊形的對(duì)角線的條數(shù)f(k＋1)為________． 解析：凸(k＋1)邊形的對(duì)角線的條數(shù)等于凸k邊形的對(duì)角線的條數(shù)，加上多的那個(gè)點(diǎn)向其他點(diǎn)引的對(duì)角線的條數(shù)k－2，再加上原來有一邊成為對(duì)角線，共有[f(k)＋k－1]條對(duì)角線． 答案：f(k)＋k－1 三、解

11、答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)用數(shù)學(xué)歸納法證明：＋＋＋…＋＝(n∈N*)． 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)， 左邊＝＝，右邊＝＝， 左邊＝右邊． 所以當(dāng)n＝1時(shí)，等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即有 ＋＋＋…＋＝， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋＋＋＋＝＋＝＝ ＝＝. 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 由(1)(2)可知，對(duì)于一切n∈N*等式都成立． 18．(本小題滿分12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：＋＋＋…＋＞1(n∈N＋，且n＞1)． 證明：(1)當(dāng)n＝2時(shí)，＋＋＝＞1成立； (

12、2)設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2)時(shí)， ＋＋＋…＋＞1； 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋…＋＋＋…＋＝ ＋＋…＋－＞1＋－＝1＋＝ 1＋＞1， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)也成立． 由(1)(2)知對(duì)任意n＞1(n∈N＋)，原不等式成立． 19．(本小題滿分12分)求證：對(duì)于整數(shù)n≥0時(shí)，11n＋2＋122n＋1能被133整除． 證明：(1)n＝0時(shí)，原式＝112＋12＝133能被133整除． (2)假設(shè)n＝k(k≥0，k∈N)時(shí)，11k＋2＋122k＋1能被133整除， n＝k＋1時(shí)，原式＝11k＋3＋122k＋3＝11(11k＋2＋122k＋1)－11×122k＋1＋122k＋3＝11(11k＋2

13、＋122k＋1)＋122k＋1·133也能被133整除． 由(1)(2)可知，對(duì)于整數(shù)n≥0，11n＋2＋122n＋1能被133整除． 20．(本小題滿分12分)設(shè){xn}是由x1＝2，xn＋1＝＋(n∈N＋)定義的數(shù)列，求證：xn＜＋. 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，x1＝2＜＋1，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，不等式成立， 即xk＜＋，那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，xk＋1＝＋. 由歸納假設(shè)，xk＜＋，則＜＋，＞. 因?yàn)閤k＞，所以＜. 所以xk＋1＝＋＜＋＋＝＋≤＋. 即xk＋1＜＋. 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式xn＜＋成立． 綜上所述，得xn＜＋(n∈N＋)．

14、 21．(本小題滿分12分)數(shù)列的前n項(xiàng)和記為Sn. (1)求出S1，S2，S3的值； (2)猜想出Sn的表達(dá)式； (3)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想． (1)解：an＝， S1＝a1＝； S2＝a1＋a2＝＋＝； S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋＝. (2)解：猜想：Sn＝(n∈N＋)． (3)證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝，右邊＝.等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，Sk＝，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝＋＝＝＝ . 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立． 由①②可得Sn＝(n∈N＋)． 22．(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn，an的等差中項(xiàng)為1. (1)寫出a1，a2，a3； (2)猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． 解：(1)由題意Sn＋an＝2，可得a1＝1，a2＝，a3＝. (2)猜想an＝. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，＝＝1，等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，等式成立，即ak＝， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由Sk＋1＋ak＋1＝2，Sk＋ak＝2， 得(Sk＋1－Sk)＋ak＋1－ak＝0， 即2ak＋1＝ak， 所以ak＋1＝ak＝·＝， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立． 由①②可知，對(duì)n∈N＋，an＝. 最新精品資料