新版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題05 立體幾何理高考題和高考模擬題數(shù)學(xué)理分項(xiàng)版匯編 Word版含解析

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1、 1

2、 1 5．立體幾何 1．【浙江卷】已知四棱錐S?ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段AB上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S?AB?C的平面角為θ3，則 A. θ1≤θ2≤θ3 B. θ3≤θ2≤θ1 C. θ1≤θ3≤θ2 D. θ2≤θ3≤θ1 【答案】D 從而因?yàn)椋约?，選D. 點(diǎn)睛

3、：線線角找平行，線面角找垂直，面面角找垂面. 2．【浙江卷】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】分析:先還原幾何體為一直四棱柱，再根據(jù)柱體體積公式求結(jié)果. 詳解：根據(jù)三視圖可得幾何體為一個(gè)直四棱柱，高為2，底面為直角梯形，上下底分別為1，2，梯形的高為2，因此幾何體的體積為選C. 點(diǎn)睛：先由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀,再在具體幾何體中求體積或表面積等. 3．【理新課標(biāo)I卷】已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面α所成的角相等，則α截此正方體所得截面面

4、積的最大值為 A. B. C. D. 【答案】A 詳解：根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體中，平面與線所成的角是相等的，所以平面與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個(gè)面與中間的，且過(guò)棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長(zhǎng)為，所以其面積為，故選A. 點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面被正方體所截得的截面多邊形的面積問(wèn)題，首要任務(wù)是需要先確定截面的位置，之后需要從題的條件中找尋相關(guān)的字眼，從而得到其為過(guò)六條棱的中點(diǎn)的正六邊形，利用六邊形的面積的求法，應(yīng)用相關(guān)的公式

5、求得結(jié)果.+ 4．【理新課標(biāo)I卷】某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如右圖．圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為 A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的三視圖，得到點(diǎn)M和點(diǎn)N在圓柱上所處的位置，點(diǎn)M在上底面上，點(diǎn)N在下底面上，并且將圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖平鋪，點(diǎn)M、N在其四分之一的矩形的對(duì)角線的端點(diǎn)處，根據(jù)平面上兩點(diǎn)間直線段最短，利用勾股定理，求得結(jié)果. 詳解：根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長(zhǎng)方形的寬，圓柱底

6、面圓周長(zhǎng)的四分之一為長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的對(duì)角線的端點(diǎn)處，所以所求的最短路徑的長(zhǎng)度為，故選B. 點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點(diǎn)之間的最短距離的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要明確兩個(gè)點(diǎn)在幾何體上所處的位置，再利用平面上兩點(diǎn)間直線段最短，所以處理方法就是將面切開(kāi)平鋪，利用平面圖形的相關(guān)特征求得結(jié)果. 5．【全國(guó)卷Ⅲ理】設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為 A. B. C. D. 【答案】B 詳解：如圖所示，點(diǎn)M為三角形ABC的重心，E為AC中點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大，此時(shí)，，，,點(diǎn)M為三角形ABC的重心，，中，有

7、，， ，故選B. 點(diǎn)睛：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大很關(guān)鍵，由M為三角形ABC的重心，計(jì)算得到，再由勾股定理得到OM，進(jìn)而得到結(jié)果，屬于較難題型。 6．【理數(shù)全國(guó)卷II】在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為 A. B. C. D. 【答案】C 點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”. 7．【理數(shù)天津

8、卷】已知正方體的棱長(zhǎng)為1，除面外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐的體積為_(kāi)_________. 【答案】 點(diǎn)睛：本題主要考查四棱錐的體積計(jì)算，空間想象能力等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 8．【江蘇卷】如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為_(kāi)_______． 【答案】 【解析】分析：先分析組合體的構(gòu)成，再確定錐體的高，最后利用錐體體積公式求結(jié)果. 詳解：由圖可知，該多面體為兩個(gè)全等正四棱錐的組合體，正四棱錐的高為1，底面正方形的邊長(zhǎng)等于，所以該多面體的體積為 點(diǎn)睛：解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理

9、解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行判斷；求一些不規(guī)則幾何體的體積時(shí)，常用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決． 9．【理數(shù)全國(guó)卷II】已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_________． 【答案】 點(diǎn)睛：本題考查線面角，圓錐的側(cè)面積，三角形面積等知識(shí)點(diǎn)，考查學(xué)生空間想象與運(yùn)算能力. 10．【浙江卷】如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2． （Ⅰ）證明：AB

10、1⊥平面A1B1C1； （Ⅱ）求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ） （Ⅰ）由得，所以. 故.由， 得，由得， 由，得，所以，故.因此平面. （Ⅱ）如圖，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連結(jié). 由平面得平面平面，由得平面， 所以是與平面所成的角.由得，所以，故. 因此，直線與平面所成的角的正弦值是. 方法二： （Ⅰ）如圖，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz. 由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下： 因此由得. 由得.所以平面. 點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”

11、，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”. 11．【理數(shù)天津卷】如圖，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2. （I）若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：； （II）求二面角的正弦值； （III）若點(diǎn)P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60°，求線段DP的長(zhǎng). 【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ)；(Ⅲ). 詳解：依題意，可以建立以D為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得D（0，0，0），A（2，

12、0，0），B（1，2，0），C（0，2，0）， E（2，0，2），F(xiàn)（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）． （Ⅰ）依題意=（0，2，0），=（2，0，2）．設(shè)n0=(x，y，z)為平面CDE的法向量，則 即 不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）．又=（1，，1），可得，又因?yàn)橹本€MN平面CDE，所以MN∥平面CDE． （Ⅲ）設(shè)線段DP的長(zhǎng)為h（h∈［0，2］），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0，h），可得． 易知，=（0，2，0）為平面ADGE的一個(gè)法向量，故，由題意，可得=sin60°=，解得h=∈［0，2］．所以線段的長(zhǎng)為. 點(diǎn)睛：本題主要考查空間向

13、量的應(yīng)用，線面平行的證明，二面角問(wèn)題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 12．【理北京卷】如圖，在三棱柱ABC-中，平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為，AC，，的中點(diǎn)，AB=BC=，AC==2． （Ⅰ）求證：AC⊥平面BEF； （Ⅱ）求二面角B-CD-C1的余弦值； （Ⅲ）證明：直線FG與平面BCD相交． 【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) B-CD-C1的余弦值為(3)證明過(guò)程見(jiàn)解析 （Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC． ∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．如圖建立空間直角坐稱系E-xyz．由題意得B（0，2，0

14、），C（-1，0，0），D（1，0，1），F(xiàn)（0，0，2），G（0，2，1）．∴，設(shè)平面BCD的法向量為，∴，∴，令a=2，則b=-1，c=-4，∴平面BCD的法向量，又∵平面CDC1的法向量為，∴．由圖可得二面角B-CD-C1為鈍角，所以二面角B-CD-C1的余弦值為． （Ⅲ）平面BCD的法向量為，∵G（0，2，1），F(xiàn)（0，0，2），∴，∴，∴與不垂直，∴GF與平面BCD不平行且不在平面BCD內(nèi)，∴GF與平面BCD相交． 點(diǎn)睛：垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型. (1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行. (2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直. (3

15、)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直. 13．【江蘇卷】如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn)． （1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值； （2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值． 【答案】（1）（2） 【解析】分析：（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積求得向量的夾角，再根據(jù)向量夾角與異面直線所成角的關(guān)系得結(jié)果；（2）利用平面的方向量的求法列方程組解得平面的一個(gè)法向量，再根據(jù)向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)線面角與所求向量夾角之間的關(guān)系得結(jié)果. 詳解：如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，設(shè)A

16、C，A1C1的中點(diǎn)分別為O，O1，則OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以為基底，建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz．因?yàn)锳B=AA1=2， 所以． 所成角的正弦值為． 點(diǎn)睛：本題考查空間向量、異面直線所成角和線面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用空間向量解決問(wèn)題的能力.利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”. 14．【江蘇卷】在平行六面體中，． 求證：（1）； （2）． 【答案】答案見(jiàn)解析 詳解：證明：（1）在平行六面體AB

17、CD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因?yàn)锳B平面A1B1C，A1B1平面A1B1C， 所以AB∥平面A1B1C． （2）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形．又因?yàn)锳A1=AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，因此AB1⊥A1B．又因?yàn)锳B1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC． 又因?yàn)锳1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因?yàn)锳B1平面ABB1A1， 所以平面ABB1A1⊥平面A1BC． 點(diǎn)睛：本題可能會(huì)出現(xiàn)對(duì)常見(jiàn)幾何體的結(jié)構(gòu)不熟悉導(dǎo)致幾何體中的位置關(guān)系無(wú)法得到運(yùn)用或者運(yùn)用錯(cuò)誤，如柱體的

18、概念中包含“兩個(gè)底面是全等的多邊形，且對(duì)應(yīng)邊互相平行，側(cè)面都是平行四邊形”，再如菱形對(duì)角線互相垂直的條件，這些條件在解題中都是已知條件，缺少對(duì)這些條件的應(yīng)用可導(dǎo)致無(wú)法證明. 15．【理新課標(biāo)I卷】如圖，四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且. （1）證明：平面平面； （2）求與平面所成角的正弦值. 【答案】(1)證明見(jiàn)解析.(2) . (2)結(jié)合題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，正確寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，求得平面ABFD的法向量，設(shè)DP與平面ABFD所成角為，利用線面角的定義，可以求得，得到結(jié)果. 詳解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又，所

19、以BF⊥平面PEF. 又平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD. （2）作PH⊥EF，垂足為H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閥軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H?xyz.由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.可得.則 為平面ABFD的法向量.設(shè)DP與平面ABFD所成角為，則. 所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為. 點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有面面垂直的證明以及線面角的正弦值的求解，屬于常規(guī)題目，在解題的過(guò)程中，需要明確面面垂直的判定定理的條件，這里

20、需要先證明線面垂直，所以要明確線線垂直、線面垂直和面面垂直的關(guān)系，從而證得結(jié)果；對(duì)于線面角的正弦值可以借助于平面的法向量來(lái)完成，注意相對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系即可. 16．【全國(guó)卷Ⅲ理】如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)． （1）證明：平面平面； （2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值． 【答案】（1）見(jiàn)解析（2） 詳解：（1）由題設(shè)知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD.因?yàn)锽C⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn),且DC為直徑，所以 DM⊥CM.又 BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.而

21、DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC. （2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D?xyz. 點(diǎn)睛：本題主要考查面面垂直的證明，利用線線垂直得到線面垂直，再得到面面垂直，第二問(wèn)主要考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角，考查數(shù)形結(jié)合，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力，屬于中檔題。 17．【理數(shù)全國(guó)卷II】如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)． （1）證明：平面； （2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值． 【答案】（1）見(jiàn)解析（2） 詳解：（1）因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，且. 連結(jié).因

22、為，所以為等腰直角三角形，且，. 由知.由知平面. （2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.由已知得取平面的法向量.設(shè)，則.設(shè)平面的法向量為. 由得，可取，所以.由已知得.所以.解得（舍去），.所以.又，所以.所以與平面所成角的正弦值為. 點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”. 優(yōu)質(zhì)模擬試題 18．【安徽省宿州市三?！咳鐖D所示，垂直于所在的平面，是的直徑，，是上的一點(diǎn)，，分別是點(diǎn)在，上的投

23、影，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，與底面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 詳解：設(shè)，由題意可知，設(shè)與底面所成的角為，則，由圓的性質(zhì)可知：，由線面垂直的定義可知：，結(jié)合線面垂直的判斷定理可得：平面，則，結(jié)合可知平面，據(jù)此有，則，由平面可知，結(jié)合可得平面，則.在中，，利用面積相等可得：，在中，，則， ，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可知，當(dāng)，即時(shí)三棱錐的體積最大，此時(shí).本題選擇D選項(xiàng). 點(diǎn)睛：本題主要考查線面垂直的定義與判斷定理，均值不等式的應(yīng)用，立體幾何中的最值問(wèn)題，三棱錐的體積公式等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 19．【遼寧

24、省葫蘆島市二?！吭陂L(zhǎng)方體中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱為矩形內(nèi)部（含邊界）一點(diǎn)，為中點(diǎn)，為空間任一點(diǎn)且，三棱錐的體積的最大值記為，則關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論確的是（ ） A. 為奇函數(shù) B. 在上不單調(diào)； C. D. 【答案】D 詳解：∵在長(zhǎng)方體中，為中點(diǎn)， 為矩形內(nèi)部（含邊界）一點(diǎn)， 即 ，則在以為球心的球面上，而到面的距離為，則 由此可知A,B,C選項(xiàng)都不正確，而.故選D. 點(diǎn)睛：本題考查了空間幾何體中的最值問(wèn)題，關(guān)鍵是列出式子，轉(zhuǎn)化為距離問(wèn)題，借助函數(shù)求解即可，屬于難題． 20．【河南省洛陽(yáng)市三?！吭谌忮F中，平面，，，，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線與平面所

25、成角的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 由勾股定理得 ∴三棱錐的外接球的表面積是 故選B. 點(diǎn)睛：本題考查了幾何體外接球的應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵求外接球的半徑，是中檔題． 21．【四川省沖刺演練（一）】某幾何體的三視圖如圖所示，三個(gè)視圖中的曲線都是圓弧，則該幾何體的體積為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 點(diǎn)睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問(wèn)題是考查學(xué)生空間想象能力最常見(jiàn)題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖

26、并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長(zhǎng)對(duì)正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響，對(duì)簡(jiǎn)單組合體三視圖問(wèn)題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀. 22．【安徽省示范高中（皖江八校）第八聯(lián)考】某棱錐的三視圖如下圖所示,則該棱錐的外接球的表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】A ， 故三棱錐外接球的半徑 ，表面積為.故選A. 點(diǎn)睛：本題考查了三棱錐的性質(zhì)、空間幾何位置關(guān)系、三垂線定理、球的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 23

27、．【山東省濟(jì)南二?！恳阎c(diǎn)均在表面積為的球面上,其中平面,,,則三棱錐的體積的最大值為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：由球的表面積明確半徑，利用條件,明確△的外接圓半徑，進(jìn)而得到外接球半徑與△的外接圓半徑及ＰＡ的關(guān)系，表示三棱錐的體積，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值即可． 點(diǎn)睛：本題考查了球與幾何體的問(wèn)題，是高考中的重點(diǎn)問(wèn)題，要有一定的空間想象能力，這樣才能找準(zhǔn)關(guān)系，得到結(jié)果，一般內(nèi)切球需要求球心和半徑，首先應(yīng)確定球心的位置，借助于內(nèi)切球的性質(zhì)，球心到各面距離相等計(jì)算即可，當(dāng)球心位置不好確定時(shí)，可以用等體積法求球半徑. 24．【福建省廈門(mén)

28、市二?！恳阎痴忮F的側(cè)棱長(zhǎng)大于底邊長(zhǎng)，其外接球體積為，三視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】分析：根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)可得球心在正三棱錐的高上，由正棱錐的性質(zhì)可得頂點(diǎn)在底面的射影是正三角形的中心，列方程可解得棱錐的高，從而可得結(jié)果. 詳解：設(shè)正三棱錐外接球的半徑為，則，由三視圖可得底面邊長(zhǎng)為，底面正三角形的高為，底面三角形外接圓半徑為，由勾股定理得，得，側(cè)視圖面積為 ，故選D. 點(diǎn)睛：本題主要考查三棱錐外接球問(wèn)題，屬于難題.要求外接球的表面積和體積，關(guān)鍵是求出求的半徑，求外接球半徑的常見(jiàn)方法

29、有：①若三條棱兩垂直則用（為三棱的長(zhǎng)）；②若面（），則（為外接圓半徑）；③可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球；④特殊幾何體可以直接設(shè)出球心和半徑，列方程求解. 25．【山東省威海市二?！浚阎庵?，側(cè)面的面積為，則該正三棱柱外接球表面積的最小值為_(kāi)_____. 【答案】. 點(diǎn)睛：(1)本題主要考查幾何體的外接球問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和空間想象能力.(2) 求幾何體外接球的半徑一般有兩種方法:模型法和解三角形法.模型法就是把幾何體放在長(zhǎng)方體中，使幾何體的頂點(diǎn)和長(zhǎng)方體的若干個(gè)頂點(diǎn)重合，則幾何體的外接球和長(zhǎng)方體的外接球是重合的，長(zhǎng)方體的外接球的半徑就是幾何體的外接球半徑.如果已知

30、中有多個(gè)垂直關(guān)系，可以考慮用此種方法.解三角形法就是找到球心和截面圓的圓心，找到、球的半徑、截面圓的半徑確定的,再解求出球的半徑. 26．【山東省煙臺(tái)市適應(yīng)性練習(xí)（二）】如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的正方形的中心為，為圓上的點(diǎn)， 分別是以為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開(kāi)后，分別以為折痕折起 ，使重合得到一個(gè)四棱錐，則該四棱錐的體積的最大值為_(kāi)______. 【答案】. .所以.體積最大值為．故答案為：. 點(diǎn)睛：求實(shí)際問(wèn)題中的最大值或最小值時(shí)，一般是先設(shè)自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)最值的方法求解，注意結(jié)果要與實(shí)際情況相結(jié)合，用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)

31、際問(wèn)題中的最大（?。┲禃r(shí)，如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么依據(jù)實(shí)際意義，該極值點(diǎn)也就是最值點(diǎn). 27．【湖南省益陽(yáng)市5月統(tǒng)考】如圖，在三棱錐中，，，兩兩垂直，，平面平面，且與棱，，分別交于，，三點(diǎn). （1）過(guò)作直線，使得，，請(qǐng)寫(xiě)出作法并加以證明； （2）若將三棱錐分成體積之比為8：19的兩部分，求直線與平面所成角的正弦值. 【答案】（1）見(jiàn)解析（2） 詳解：（1）作法：取的中點(diǎn)，連接，則直線即為要求作的直線. 證明如下：∵，，且，∴平面.∵平面平面，且平面，平面平面，∴，∴平面，∴. 又，為的中點(diǎn)，則，從而直線即為要求作的直線. （2）∵將三棱錐分成體積之比為8：19

32、的兩部分， ∴四面體的體積與三棱錐的體積之比為8:27， 又平面平面，∴.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得. 則.故直線與平面所成角的正弦值為. 點(diǎn)睛：本題主要考查線性垂直的證明，空間幾何體的體積，運(yùn)用空間向量求線面角的正弦值，考查了學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題。 28．【江西省南昌市三?！咳鐖D，多面體中，為正方形，，二面角的余弦值為，且. （1）證明：平面平面； （2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值. 【答案】（1）見(jiàn)解析（2）. 詳解：（1）證明：∵，由勾股定理得：,又正方形中，且,

33、∴平面，又∵面，∴平面平面 （2）由（1）知是二面角的平面角,作于，則 且由平面平面，平面平面，面,所以，面,取中點(diǎn)，連結(jié)，則，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則 ∴,又，知的一個(gè)方向向量 設(shè)面法向量，則,取，得 又面一個(gè)法向量為：∴ 設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則 點(diǎn)睛：本題考查直線與平面垂直的判斷，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及邏輯推理能力計(jì)算能力． 29．【河南省鄭州市三模】如圖，在四棱錐中，底面，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn). （Ⅰ）證明：； （Ⅱ）若點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且，求二面角的余弦值． 【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）. 可得，然后結(jié)合圖形可得所求．

34、 詳解：（Ⅰ）證明：底面， 平面，面，∴，， 又，∴．兩兩垂直．以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系. 則由題意得，∴，∴，∴． 面角的余弦值為． 點(diǎn)睛：用坐標(biāo)法解答立體幾何問(wèn)題的幾個(gè)注意點(diǎn)： （1）建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)首先要判斷是否滿足條件，即是否有三條兩兩垂直的直線； （2）求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)一定要準(zhǔn)確，對(duì)于不容易求的點(diǎn)的坐標(biāo)，可根據(jù)向量的共線等方法求解； （3）求二面角的余弦值時(shí)，在求得兩平面法向量夾角的余弦值后，還要根據(jù)圖形判斷出二面角為銳角還是鈍角，最后再下結(jié)論． 30．【河北省唐山市三?！咳鐖D，四棱錐的底面是平行四邊形，. （1）求證：平面平面； （

35、2）若，為的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，平面，求二面角的余弦值. 【答案】(1)見(jiàn)解析.(2) . 詳解：（1）∵AB∥CD，PC⊥CD，∴AB⊥PC，∵AB⊥AC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PA，又∵PA⊥AD，AB∩AD＝A，∴PA⊥平面ABCD，PA平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD． （2）連接BD交AE于點(diǎn)O，連接OF，∵E為BC的中點(diǎn)，BC∥AD，∴＝＝， ∵PD∥平面AEF，PD平面PBD，平面AEF∩平面PBD＝OF，∴PD∥OF，∴＝＝， 以AB，AC，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz， ＝－，∵二面角A-DF-E為鈍二面角，∴二面角A-DF-E的余弦值為－． 點(diǎn)睛：本題主要考查利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.