菱形 復(fù)習(xí)中難題含問(wèn)題詳解

《菱形 復(fù)習(xí)中難題含問(wèn)題詳解》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《菱形 復(fù)習(xí)中難題含問(wèn)題詳解（23頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 菱形 復(fù)習(xí)中難題 含答案 1．菱形的概念：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形 2．菱形的性質(zhì) 〔1〕具有平行四邊形的一切性質(zhì) 〔2〕菱形的四條邊相等 〔3〕菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角 〔4〕菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形 3．菱形的判定 〔1〕定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 〔2〕定理1：四邊都相等的四邊形是菱形 〔3〕定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 4．菱形的面積 S菱形=底邊長(zhǎng)×高=兩條對(duì)角線乘積的一半 〔★★〕假如菱形的一條對(duì)角線與邊的夾角為25°，如此這個(gè)菱形各角的度數(shù)為． 【答案】50°、

2、 130°、50°、130°． 〔★★〕 1．菱形ABCD的周長(zhǎng)為20，兩對(duì)角線長(zhǎng)3：4，如此菱形的面積為． 【答案】2424． 〔★★〕2．如圖，E、F分別為菱形ABCD中BC、CD邊上的點(diǎn)，△AEF是等邊三角形，且AE=AB，求∠B和∠C的度數(shù)． 【答案】利用三角形角和180度和同旁角互補(bǔ)來(lái)解決問(wèn)題，易得∠B=80°和∠C=100°． 〔★★〕菱形的兩條對(duì)角線與各邊一起圍成三角形中，共有全等的等腰三角形的對(duì)數(shù)是． 【答案】4． 〔★★〕用直尺和圓規(guī)作一個(gè)菱形，如圖，能得到四邊形ABCD是菱形的依據(jù)是〔　　〕． A．一組臨邊相等的四邊形是菱形 B．四邊相等

3、的四邊形是菱形 C．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 D．每條對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形 【答案】B 〔★★★〕假如菱形一邊上的高的垂足是這邊的中點(diǎn)，如此這個(gè)菱形的最大角是． 答案：120°． 〔★★★〕 1．菱形的對(duì)稱(chēng)軸共有2條． 【答案】224． 2．：如圖，菱形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，且AO、BO的長(zhǎng)分別是方程x2-2mx+4〔m-1〕=0的兩根，菱形ABCD的周長(zhǎng)為20，求m的值． 【答案】先解方程求得兩根分別為2和〔2m-2〕，再根據(jù)周長(zhǎng)為20求得m的值為5． 〔★★★〕3．菱形的周長(zhǎng)為20，一條對(duì)角線長(zhǎng)為8，如此菱形的面積為

4、． 【答案】2424． 〔★★〕如下命題錯(cuò)誤的有〔填寫(xiě)序號(hào)〕． ①菱形四個(gè)角都相等． ②對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是矩形． ③對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是菱形． ④對(duì)角線互相平分，且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形是菱形． 【答案】①②③． 〔★★〕1．四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A、C分別作BD的平行線，過(guò)點(diǎn)B、D分別作AC的平行線，如果所作的四條直線圍成一個(gè)菱形，如此四邊形ABCD必須是〔 〕 A．矩形 B．菱形 C．AC=BD的任意四邊形 D．平行四邊形 【答案】C 〔★★〕2．〔1〕用兩個(gè)邊長(zhǎng)為a的等邊

5、三角形拼成的是形． 〔2〕用兩個(gè)全等的等腰三角形拼成的是形． 〔3〕用兩個(gè)全等的直角三角形拼成的是形． 【答案】〔1〕菱形； 〔2〕菱形和平行四邊形； 〔3〕矩形和平行四邊形． 〔★★〕如圖，在△ABC中，AB=AC，M點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，MG⊥AB于點(diǎn)G，MD⊥AC于點(diǎn)D，GF⊥AC于點(diǎn)F,DE⊥AB于點(diǎn)E，GF與DE相交于點(diǎn)H，求證：四邊形GMDH是菱形． 【答案】證明：先證明四邊形GMDH是平行四邊形，利用等腰三角形底邊中點(diǎn)到兩腰的距離相等得出四邊形GMDH是菱形． 〔★★〕在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分別是A

6、D、DC邊上的點(diǎn)，∠EBF=60°． 〔1〕判定△BEF的形狀； 〔2〕證明你的結(jié)論． 【答案】聯(lián)結(jié)BD，易證，故是等邊三角形． 〔★★★〕在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，從(1)AB=CD；(2)AB∥CD； (3)OA=OC； (4)OB=OD； (5)AC⊥BD； (6)AC平分∠BAD 這六個(gè)條件中，選取三個(gè)推出四邊形ABCD是菱形。如(1)(2)(5)ABCD是菱形，再寫(xiě)出符合要求的兩個(gè)：________ABCD是菱形；________ABCD是菱形。 【答案】〔1〕〔2〕〔6〕或〔3〕〔4〕〔5〕或〔3〕

7、〔4〕〔6〕 〔★★★〕□ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，分別添加如下條件： ①AC⊥BD； ②AB=BC； ③AC平分∠BAD ④AO=DO， 使得□ABCD是菱形的條件有〔 〕 【答案】C． 〔★★★〕如下圖形中，不一定為菱形的是〔　　〕． A．兩條對(duì)角線互相垂直平分的四邊形 B．四條邊都相等的四邊形 C．有一條對(duì)角線平分一個(gè)角的平行四邊形 D．用兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的等邊三角形拼成的圖形 【答案】D． 〔★★★〕1．如圖，在中，點(diǎn)分別在邊，，上， 且，．如下四個(gè)判斷中，不正確的答案是〔　　〕 A．四邊形是平行四邊形 Ａ

8、Ｆ Ｃ Ｄ Ｂ Ｅ B．如果，那么四邊形是矩形 C．如果平分，那么四邊形是菱形 D．如果且，那么四邊形是矩形 【答案】D． 〔★★★〕2．如圖，矩形ABCD中，O是AC與BD的交點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)的直線EF與AB、CD的延長(zhǎng)線分別交于E、F． 〔1〕求證：△DOE≌△BOF； 〔2〕當(dāng)EF與AC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是菱形，并證明你的結(jié)論． 【答案】〔1〕∵四邊形ABCD是矩形， ∴OD＝OB，AB∥CD , ∴∠E＝∠F， ∵∠DOE＝∠BOF ∴△DOE≌△BOF ． (2)當(dāng)EF⊥AC時(shí)，四邊形AECF是菱形， 利用對(duì)角線

9、互相垂直的平行四邊形是菱形的判定定理即可證明． 1．熟練掌握菱形的概念、性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵，也是區(qū)別矩形、正方形的根底． 2．幾何證明需要讀題仔細(xì)，挖掘隱含的結(jié)論從而推導(dǎo)結(jié)論． 3．要想真正學(xué)好四邊形，需要一定的練習(xí)量才能產(chǎn)生質(zhì)變． 1．如下條件中，不能判定四邊形ABCD為菱形的是〔 〕． A．AC⊥BD，AC與BD互相平分 B．AB=BC=CD=DA C．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD 2．點(diǎn)A、B、C、D在同一平面，下面列有6個(gè)條件：①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥CD，④

10、BC=AD，⑤AC⊥BD，⑥AC平分∠DAB與∠DCB．從這6個(gè)條件中選出〔直接填寫(xiě)序號(hào)〕___________3個(gè)，能使四邊形ABCD是菱形． 3．：如圖，在ABCD中，O為AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線，與AD、BC相交于點(diǎn)E、F，求證：四邊形AFCE是菱形． 4．：如圖，在ABCD中，AE平分∠BAD，與BC相交于點(diǎn)E，EF∥AB，與AD相交于點(diǎn)F，求證：四邊形ABEF是菱形． 5．如圖，將一矩形紙片ABCD先折出一條對(duì)角線AC，再將點(diǎn)A與點(diǎn)C重合折出折痕EF，最后分別沿AE、CF折疊．得到的四邊形AECF是什么樣的四邊形？試證明你的猜測(cè)．與第3題對(duì)照，

11、你有什么發(fā)現(xiàn)？ 6．結(jié)合所給的圖形，編一道幾何證明題，證明四邊形AEDF是菱形．并利用所給的條件，寫(xiě)出“〞“求證〞和“證明〞的過(guò)程． 7．：如圖，四邊形ABCD是菱形，∠ABC=30°，求證：． 8．，如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)M，AN平分∠DAC，交BC于點(diǎn)N．求證：四邊形AMNE是菱形． 答案： 1．C 2．〔答案不惟一，只要正確即可〕①②⑤或③④⑤等． 3．可證出△AEO≌△CFO，得AE=CF．再由AC是EF的垂直平分線，得EC=EA，AF=

12、CF． 由此得EC=AF=CF，所以四邊形AFCE是菱形． 4．先證四邊形ABEF是平行四邊形，再由AE平分∠BAF，得∠FAE=∠BAE． 又由∠FAE=∠AEB，得∠BAE=∠BEA，所以AB=BE，所以ABEF是菱形． 5．四邊形AECF是菱形，無(wú)論原圖形是什么圖形，只要能得到平行四邊形， 在此根底上滿足“對(duì)角線相互垂直〞，該平行四邊形就一定是菱形． 6．〔答案不惟一，只要合理，符合題意即可〕略． 7. 過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BA，垂足為E．在Rt△BEC中，∠ABC=30°， ∴，∵四邊形ABCD為菱形， ∴．． 又∵，∴． 8. 證明：∵AD⊥BC，∴∠BDA=90

13、°，∵∠BAC=90°， ∴∠ABC+∠C=90°，∠ABC+∠BAD=90°，∴∠BAD=∠C， ∵AN平分∠DAC，∴∠CAN=∠DAN， ∵∠BAN=∠BAD+∠DAN，∠BNA=∠C+∠CAN，∴∠BAN=∠BNA， ∵BE平分∠ABC，∴BE⊥AN，OA=ON，同理：OM=OE， ∴四邊形AMNE是平行四邊形，∴四邊形AMNE是菱形。 知識(shí)結(jié)構(gòu) 菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形． 菱形的性質(zhì)： 1、菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)： 2、菱形的性質(zhì)定理1 菱形的四條邊都相等． 菱形的性質(zhì)定理2 菱形的

14、對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角． 菱形的對(duì)稱(chēng)性 菱形既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形． 菱形的面積等與對(duì)角線乘積的一半 菱形的判定定理： 有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形?！捕x作為第一判定〕 四條邊相等的四邊形是菱形． 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 一、菱形的性質(zhì) 菱形的周長(zhǎng)是它的高的8倍，如此菱形較小的一個(gè)角為〔　　〕(★★) A． 60° B． 45° C． 30° D． 15° 解答方法：菱形的周長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的4倍， 又∵菱形周長(zhǎng)為高的8倍， ∴AB=2AE， ∵△AB

15、E為直角三角形， ∴∠ABC=30°． 應(yīng)當(dāng)選 C． 答案： 此題考查了菱形各邊長(zhǎng)相等的性質(zhì)，考查了直角三角形中的特殊角，此題中根據(jù)特殊角求得∠ABC=30°是解題的關(guān)鍵． 菱形的一條對(duì)角線與邊長(zhǎng)相等，如此菱形中較小的角是〔　　〕(★★) A． 60° B． 15° C． 30° D． 90° 解答方法：因?yàn)榱庑蔚囊粭l對(duì)角線與邊長(zhǎng)相等，所以該對(duì)角線和菱形的兩邊組成的是等邊三角形， 可得該菱形較小角的度數(shù)是60°． 解答： 如果菱形的周長(zhǎng)等于一條對(duì)角線長(zhǎng)的4倍，那么這個(gè)菱形較小的一個(gè)角等于度．(★★) 解答方法：∵菱形的周長(zhǎng)等于一條對(duì)角

16、線長(zhǎng)的4倍， ∴AB=BD=AD， ∴△ABD是等邊三角形， ∴∠A=60°． 即這個(gè)菱形較小的一個(gè)角等于60°． 解答：60 ：如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于E．求證：∠AFD=∠CBE． (★★) 答案：證明：∵　四邊形ABCD是菱形， ∴． ∴, ∴△BCE≌△COB〔SAS〕． ∴∠CBE=∠CDE． ∵　在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠FDC ∴∠AFD=∠CBE． 通過(guò)菱形的根本性質(zhì)可以得到三角形全等，進(jìn)而推出對(duì)應(yīng)角相等，然后利用平行錯(cuò)角相等進(jìn)展轉(zhuǎn)化即可得到要證明的結(jié)論。

17、 1、如圖，在菱形ABCD中，E為AD中點(diǎn)，EF⊥AC交CB的延長(zhǎng)線于F． 求證：AB與EF互相平分．〔★★〕 解題分析：連接BD，AF，BE， 在菱形ABCD中，AC⊥BD ∵EF⊥AC， ∴EF∥BD，又ED∥FB， ∴四邊形EDBF是平行四邊形，DE=BF， ∵E為AD的中點(diǎn)， ∴AE=ED，∴AE=BF， 又AE∥BF， ∴四邊形AEBF為平行四邊形， 即AB與EF互相平分． 2、：如圖，菱形ABCD中，過(guò)AD的中點(diǎn)E作AC的垂線EF，交AB于點(diǎn)M，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．如果FB的長(zhǎng)是2，求菱形ABCD的周長(zhǎng)．〔★★〕 解答方法：連接BD．∵在菱形A

18、BCD中， ∴AD∥BC，AC⊥BD． 又∵EF⊥AC， ∴BD∥EF． ∴四邊形EFBD為平行四邊形． ∴FB=ED=2． ∵E是AD的中點(diǎn)． ∴AD=2ED=4． ∴菱形ABCD的周長(zhǎng)為4×4=16． 如圖，菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°， 如此∠CEF=　_________　．〔★★★〕 解題分析：連接AC， ∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD， ∵∠B=∠EAF=60°，∴△ABC是等邊三角形，∠BCD=120°， ∴AB=AC，∠B=∠ACF=60°， ∵

19、∠BAE+∠EAC=∠FAC+∠EAC，∴∠BAE=∠FAC， ∴ ∴△ABE≌△ACF，〔ASA〕∴AE=AF， 又∵∠EAF=∠D=60°，∴△AEF是等邊三角形， ∴∠AFE=60°，又∠AEC=∠B+∠BAE=78°， 如此∠CEF=78°﹣60°=18°． 故答案為：18°． 答案：18° 答案：18° 菱形的性質(zhì)定理1 菱形的四條邊都相等． 菱形的性質(zhì)定理2 菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角． 如圖，在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，如此∠CEF的大小為_(kāi)________．〔★★★〕

20、 解答方法：連接AC， 在菱形ABCD中，AB=CB，∵∠B=60°， ∴∠BAC=60°，△ABC是等邊三角形， ∵∠EAF=60°，∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAF﹣∠EAC，即：∠BAE=∠CAF， 在△ABE和△ACF中，， ∴△ABE≌△ACF〔ASA〕，∴AE=AF， 又∠EAF=∠D=60°，如此△AEF是等邊三角形， ∴∠AFE=60°，又∠AEC=∠B+∠BAE=80°， 如此∠CEF=80°﹣60°=20°． 故答案為20°． 如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥AB．求證：四邊形AEDF是菱形．〔★★〕 解答分析

21、：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠EAD=∠FAD， ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四邊形AEDF是平行四邊形，∠EAD=∠ADF， ∴∠FAD=∠FDA ∴AF=DF， ∴四邊形AEDF是菱形． 菱形的判定定理： 有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形?！捕x作為第一判定〕 四條邊相等的四邊形是菱形． 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別是為E 、F，并且DE=DF．求證：四邊形ABCD是菱形．〔★★〕 解題分析：在△ADE和△CDF中， ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C， ∵DE⊥AB，D

22、F⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°． 又∵DE=DF， ∴△ADE≌△CDF〔AAS〕∴DA=DC， ∴平行四邊形ABCD是菱形． 〔2014秋?膠南市校級(jí)期末〕如圖：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F． 求證：四邊形AEFG是菱形． 考點(diǎn)： 菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的判定與性質(zhì)． 專(zhuān)題： 證明題． 分析： 根據(jù)三角形角和定理求出∠B=∠CAD，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出AE=EF，由勾股定理求出AC=CF，證△ACG≌△FCG，推出∠CAD=∠CF

23、G，得出∠B=∠CFG，推出GF∥AB，AD∥EF，得出平行四邊形，根據(jù)菱形的判定判斷即可． 解答： 證明：證法一：∵AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°， ∴∠B=∠CAD， ∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC=90°〔EA⊥CA〕， ∴AE=EF〔角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等〕， ∵CE=CE， ∴由勾股定理得：AC=CF， ∵△ACG和△FCG中 ， ∴△ACG≌△FCG， ∴∠CAD=∠CFG， ∵∠B=∠CAD， ∴∠B=∠CFG， ∴GF∥AB， ∵AD⊥BC，E

24、F⊥BC， ∴AD∥EF， 即AG∥EF，AE∥GF， ∴四邊形AEFG是平行四邊形， ∵AE=EF， ∴平行四邊形AEFG是菱形． 證法二：∵AD⊥BC，∠CAB=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB， ∴AD∥EF，∠4=∠5，AE=EF， ∵∠1=180°﹣90°﹣∠4，∠2=180°﹣90°﹣∠5， ∴∠1=∠2， ∵AD∥EF， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3， ∴AG=AE， ∵AE=EF， ∴AG=EF， ∵AG∥EF， ∴四邊形AGFE是平行四邊形， ∵AE=EF， ∴平行四邊形AGFE是菱形． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)

25、和判定，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，通過(guò)做此題培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力，題目比擬好，綜合性也比擬強(qiáng)． 菱形的判定定理： 有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形?！捕x作為第一判定〕 四條邊相等的四邊形是菱形． 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 如圖，△ABC中，∠BAC=90°，BG平分∠ABC，GF⊥BC于點(diǎn)F，AD⊥BC于點(diǎn)D，交BG于點(diǎn)E，連接EF．求證：①AE=AG；②四邊形AEFG為菱形．〔★★〕 解答方法：①∵BG平分∠ABC， ∴∠ABE=∠DBE， ∵∠ABE

26、+∠AGE=90°，∠EBD+∠DEB=90°，∠GEA=∠BED， ∴∠AEG=∠EGA， 即AG=AE． ②∵GF⊥BC于點(diǎn)F，AD⊥BC于點(diǎn)D，BG平分∠ABC， ∴AD∥GF，AG=GF， 又∵AG=AE，∴AE=GF， ∴四邊形AEFG是平行四邊形， 又∵AG=AE， ∴四邊形AEFG為菱形 1.〔2015?〕如圖1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB與CE交于F，ED與AB，BC，分別交于M，H． 〔1〕求證：CF=CH； 〔2〕如圖2，△ABC不動(dòng)，將△EDC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到∠BCE=45°時(shí)，試判斷四邊形A

27、CDM是什么四邊形？并證明你的結(jié)論． 考點(diǎn)： 菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)． 專(zhuān)題： 幾何綜合題． 分析： 〔1〕要證明CF=CH，可先證明△BCF≌△ECH，由∠ABC=∠DCE=90°，AC=CE=CB=CD，可得∠B=∠E=45°，得出CF=CH； 〔2〕根據(jù)△EDC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到∠BCE=45°，推出四邊形ACDM是平行四邊形，由AC=CD判斷出四邊形ACDM是菱形． 解答： 〔1〕證明：∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°， ∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°． 在△BCF和△ECH中，， ∴△BCF≌△ECH〔ASA〕， ∴CF=

28、CH〔全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等〕； 〔2〕解：四邊形ACDM是菱形． 證明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°， ∴∠1=∠2=45°． ∵∠E=45°， ∴∠1=∠E， ∴AC∥DE， ∴∠AMH=180°﹣∠A=135°=∠ACD， 又∵∠A=∠D=45°， ∴四邊形ACDM是平行四邊形〔兩組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形〕， ∵AC=CD， ∴四邊形ACDM是菱形． 點(diǎn)評(píng)： 菱形的判別方法是說(shuō)明一個(gè)四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法： ①定義； ②四邊相等； ③對(duì)角線互相垂直平分．具體選擇哪種方法需要根據(jù)條件來(lái)確定． 2.〔2015?黃岡模

29、擬〕：如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BE=2DE，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使得EF=BE，連接CF． 求證：四邊形BCFE是菱形． 考點(diǎn)： 菱形的判定． 專(zhuān)題： 證明題． 分析： 由題意易得，EF與BC平行且相等，∴四邊形BCFE是平行四邊形．又EF=BE，∴四邊形BCFE是菱形． 解答： 解：∵BE=2DE，EF=BE， ∴EF=2DE． ∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)， ∴BC=2DE且DE∥BC． ∴EF=BC． 又EF∥BC， ∴四邊形BCFE是平行四邊形． 又EF=BE， ∴四邊形BCFE是菱形． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查菱形的判

30、定，綜合利用了平行四邊形的性質(zhì)和判定． 3〔2014?縣模擬〕如圖，四邊形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延長(zhǎng)線于E，CF⊥AD交AD延長(zhǎng)線于F， 求證：CE=CF． 考點(diǎn)： 菱形的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)． 專(zhuān)題： 證明題． 分析： 連接AC，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC平分∠DAE，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CE=FC． 解答： 證明：連接AC， ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC平分∠DAE， ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE=FC． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了菱形的性質(zhì)，以與角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角

31、；角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等． 一、 能力檢測(cè) 〔2014?質(zhì)檢〕如圖，在邊長(zhǎng)為10的菱形ABCD中，對(duì)角線BD=16，點(diǎn)O是直線BD上的動(dòng)點(diǎn)，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F． 〔1〕對(duì)角線AC的長(zhǎng)是　12　，菱形ABCD的面積是　96??； 〔2〕如圖1，當(dāng)點(diǎn)O在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OE+OF的值是否會(huì)發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由； 〔3〕如圖2，當(dāng)點(diǎn)O在對(duì)角線BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，OE+OF的值是否會(huì)發(fā)生變化？假如不變，請(qǐng)說(shuō)明理由；假如變化，請(qǐng)?zhí)骄縊E、OF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由． 考點(diǎn)： 菱形的性質(zhì)． 分析： 〔1〕連接AC與BD相交

32、于點(diǎn)G，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分求出BG，再利用勾股定理列式求出AG，然后根據(jù)AC=2AG計(jì)算即可得解；再根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半列式計(jì)算即可得解； 〔2〕連接AO，根據(jù)S△ABD=S△ABO+S△ADO列式計(jì)算即可得解； 〔3〕連接AO，根據(jù)S△ABD=S△ABO﹣S△ADO列式整理即可得解． 解答： 解：〔1〕如圖，連接AC與BD相交于點(diǎn)G， 在菱形ABCD中，AC⊥BD，BG=BD=×16=8， 由勾股定理得，AG===6， ∴AC=2AG=2×6=12， 菱形ABCD的面積=AC?BD=×12×16=96； 故答案為：12；96； 〔2〕如圖1，連

33、接AO，如此S△ABD=S△ABO+S△ADO， 所以，BD?AG=AB?OE+AD?OF， 即×16×6=×10?OE+×10?OF， 解得OE+OF=9.6是定值，不變； 〔3〕如圖2，連接AO，如此S△ABD=S△ABO﹣S△ADO， 所以，BD?AG=AB?OE﹣AD?OF， 即×16×6=×10?OE﹣×10?OF， 解得OE﹣OF=9.6，是定值，不變， 所以，OE+OF的值變化，OE、OF之間的數(shù)量關(guān)系為：OE﹣OF=9.6． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了菱形的性質(zhì)，三角形的面積，主要利用了菱形的對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，〔2〕〔3〕作輔助線構(gòu)造出兩個(gè)三角形是解

34、題的關(guān)鍵． 二、典型例題 〔2015?樂(lè)陵市模擬〕，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC〔或它們的延長(zhǎng)線〕于點(diǎn)M、N，AH⊥MN于點(diǎn)H． 〔1〕如圖①，當(dāng)∠MAN點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：　AH=AB　； 〔2〕如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，〔1〕中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫(xiě)出理由，如果成立請(qǐng)證明； 〔3〕如圖③，∠MAN=45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH=2，NH=3，求AH的長(zhǎng)．〔可利用〔2〕得到的結(jié)論〕 考點(diǎn)： 正方形的性質(zhì)

35、；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理． 專(zhuān)題： 證明題；壓軸題；探究型． 分析： 〔1〕由三角形全等可以證明AH=AB， 〔2〕延長(zhǎng)CB至E，使BE=DN，證明△AEM≌△ANM，能得到AH=AB， 〔3〕分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分別延長(zhǎng)BM和DN交于點(diǎn)C，得正方形ABCE，設(shè)AH=x，如此MC=x﹣2，NC=x﹣3，在Rt△M中，由勾股定理，解得x． 解答： 解：〔1〕如圖①AH=AB． 〔2〕數(shù)量關(guān)系成立．如圖②，延長(zhǎng)CB至E，使BE=DN． ∵ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°， 在Rt△AEB和

36、Rt△AND中，， ∴Rt△AEB≌Rt△AND， ∴AE=AN，∠EAB=∠NAD， ∴∠EAM=∠NAM=45°， 在△AEM和△ANM中，， ∴△AEM≌△ANM． ∴S△AEM=S△ANM，EM=MN， ∵AB、AH是△AEM和△ANM對(duì)應(yīng)邊上的高， ∴AB=AH． 〔3〕如圖③分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND， ∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°． 分別延長(zhǎng)BM和DN交于點(diǎn)C，得正方形ABCD， 由〔2〕可知，AH=AB=BC=CD=AD． 設(shè)AH=x，如此MC=x﹣2，NC=x﹣3， 在Rt△M中，由勾股

37、定理，得MN2=MC2+NC2 ∴52=〔x﹣2〕2+〔x﹣3〕2〔6分〕 解得x1=6，x2=﹣1．〔不符合題意，舍去〕 ∴AH=6． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查正方形的性質(zhì)和三角形全等的判斷，難度中等． 作業(yè) 1〔2014?丹陽(yáng)市校級(jí)模擬〕如圖，△ABC中，BD、CE是△ABC的兩條高，點(diǎn)F、M分別是DE、BC的中點(diǎn)．求證：FM⊥DE． 考點(diǎn)： 直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的性質(zhì)． 專(zhuān)題： 證明題． 分析： 連接MD、ME，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MD=BC=ME，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證得結(jié)論． 解答

38、： 證明：連接MD、ME． ∵BD是△ABC的高，M為BC的中點(diǎn)， ∴在Rt△CBD中，MD=BC，〔直角三角形斜邊上那的中線等于斜邊的一半〕 同理可得ME=BC， ∴MD=ME， ∵F是DE的中點(diǎn)，〔等腰三角形三線合一〕 ∴FM⊥DE． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)與直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用． 2〔2014?〕如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過(guò)點(diǎn)C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE． 〔1〕求證：CE=AD； 〔2〕當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說(shuō)

39、明你的理由； 〔3〕假如D為AB中點(diǎn)，如此當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECD是正方形？請(qǐng)說(shuō)明你的理由． 考點(diǎn)： 正方形的判定；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定． 專(zhuān)題： 幾何綜合題． 分析： 〔1〕先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可； 〔2〕求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD=BD，根據(jù)菱形的判定推出即可； 〔3〕求出∠CDB=90°，再根據(jù)正方形的判定推出即可． 解答： 〔1〕證明：∵DE⊥BC， ∴∠DFB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠DFB， ∴AC∥DE， ∵M(jìn)N∥AB，即CE∥AD，

40、 ∴四邊形ADEC是平行四邊形， ∴CE=AD； 〔2〕解：四邊形BECD是菱形， 理由是：∵D為AB中點(diǎn)， ∴AD=BD， ∵CE=AD， ∴BD=CE， ∵BD∥CE， ∴四邊形BECD是平行四邊形， ∵∠ACB=90°，D為AB中點(diǎn)， ∴CD=BD， ∴?四邊形BECD是菱形； 〔3〕當(dāng)∠A=45°時(shí)，四邊形BECD是正方形，理由是： 解：∵∠ACB=90°，∠A=45°， ∴∠ABC=∠A=45°， ∴AC=BC， ∵D為BA中點(diǎn)， ∴CD⊥AB， ∴∠CDB=90°， ∵四邊形BECD是菱形， ∴菱形BECD是正方形， 即當(dāng)∠A=4

41、5°時(shí)，四邊形BECD是正方形． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了正方形的判定、平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)展推理的能力． 3〔2015春?期末〕如圖，在等邊三角形ABC中，BC=6cm，射線AG∥BC，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AG以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿線射BC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t〔s〕． 〔1〕連接EF，當(dāng)EF經(jīng)過(guò)AC邊的中點(diǎn)D時(shí)，求證：△ADE≌△CDF； 〔2〕當(dāng)t為多少時(shí)，四邊形ACFE是菱形． 考點(diǎn)： 菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 專(zhuān)題： 證明題；動(dòng)點(diǎn)型．

42、 分析： 〔1〕由題意得到AD=CD，再由AG與BC平行，利用兩直線平行錯(cuò)角相等得到兩對(duì)角相等，利用AAS即可得證； 〔2〕假如四邊形ACFE是菱形，如此有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間即可． 解答： 〔1〕證明：∵AG∥BC， ∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC， ∵D為AC的中點(diǎn)， ∴AD=CD， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF〔AAS〕； 〔2〕解：①假如四邊形ACFE是菱形，如此有CF=AC=AE=6， 如此此時(shí)的時(shí)間t=6÷1=6〔s〕． 故答案為：6s． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，弄清題意是解此題的關(guān)鍵，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是中考的熱點(diǎn)，應(yīng)加強(qiáng)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的訓(xùn)練． 23 / 23