2014屆高考數(shù)學(xué)一輪檢測(cè)“考黃金”精講精析(人教版)：第5講函數(shù)與方程函數(shù)模型及其應(yīng)用

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考點(diǎn) 5 函數(shù)與方程 函數(shù)模型及其應(yīng)用 2013 年考題 1 2013 福建高考 函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱 據(jù)此 2 0 fxabc 2bxa 可推測(cè) 對(duì)任意的非零實(shí)數(shù) a b c m n p 關(guān)于 x 0 的方程 的解集不可能是 2 0mfxnf A B C D 1 1 4 1 234 1 46 解析 選 D 本題用特例法解決簡(jiǎn)潔快速 對(duì)方程 中 分 2 0fxnfP mnp 別賦值求出 檢驗(yàn)即得 fx 2 2013 福建高考 若函數(shù) 的零點(diǎn)與 的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超 fx 42 xg 過 0 25 則 可以是 fx A B C D 41f 2 1 fx 1xfe 12fInx 解析 選 A 的零點(diǎn)為 x 的零點(diǎn)為 x 1 fx4 2 f 的零點(diǎn)為 x 0 的零點(diǎn)為 x 現(xiàn)在我們來(lái)估算 1 xfe 1fxIn 3 的零點(diǎn) 因?yàn)?g 0 1 g 1 所以 g x 的零點(diǎn) x 0 又函數(shù)42 xg 221 的零點(diǎn)與 的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過 0 25 只有 f 42 xg 的零點(diǎn)適合 41x 3 2013 海南寧夏高考 用 min a b c 表示 a b c 三個(gè)數(shù)中的最小值 設(shè) f x min x 2 10 x x 0 則 f x 的最大值為 2x A 4 B 5 C 6 D 7 解析 選 C 畫出 y 2x y x 2 y 10 x 的圖象 如右圖 觀察圖象 可知 當(dāng) 0 x 2 時(shí) f x 2x 當(dāng) 2 x 3 時(shí) f x x 2 當(dāng) x 4 時(shí) f x 10 x f x 的最大值在 x 4 時(shí)取得為 6 故選 C 4 2013 湖南高考 設(shè)函數(shù) yf 在 內(nèi)有定義 對(duì)于給定的 正數(shù) K 定義函數(shù) KfxKf 取函數(shù) 2 xf 當(dāng) 1 時(shí) 函數(shù) Kfx的單 調(diào)遞增區(qū)間為 A 0 B 0 C 1 D 解析 選 C 函數(shù) 12xxf 作圖易知 2 fxK 1 x 故在 1 上是單調(diào)遞增的 5 2013 江西高考 設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)?若所有點(diǎn) 2 0 fxabxc 構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域 則的值為 sftD A B C D 不能確定 2 4 8 解析 選 B 設(shè) 為 和軸的交點(diǎn) 則在 D 內(nèi)由題意得 12 x f 12max xf 24bacb a 4 6 2013 重慶高考 已知以 為周期的函數(shù) 其中4T 21 1 3xfx 若方程 恰有 5 個(gè)實(shí)數(shù)解 則的取值范圍為 0m 3 fx A B C D 158 1 7 48 34 7 3 解析 選 B 因?yàn)楫?dāng) 時(shí) 將函數(shù)化為方程 實(shí)質(zhì)上為一個(gè)半 x 21 0 yxm 橢圓 其圖像如圖所示 同時(shí)在坐標(biāo)系中作出當(dāng) 得圖像 再根據(jù)周期性作出函數(shù) 3 其它部分的圖像 由圖易知直線 與第二個(gè)橢圓3 xy 相交 而與第三個(gè)半橢圓 2 4 1 0 yxm 無(wú)公共點(diǎn)時(shí) 方程恰有 5 個(gè)實(shí)數(shù)解 將 2 8 代入 得3 xy 2 4 1 0 ym 令 222 91735 x229 0 1850tmttxt 則 由 2 28 4 1 0 5 3ttt m 得 由 且 得 同樣因?yàn)?與第三個(gè)橢圓 無(wú)公共點(diǎn) 由 可計(jì)算得3 xy2 8 1 0 yxm 0 7m 綜上知 15 3 7 2013 山東高考 若函數(shù) f x a x a a 0 且 a1 有兩個(gè)零點(diǎn) 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 x 解析 設(shè)函數(shù) 且 和函數(shù) 則函數(shù) f x a 1 0 xya 1 2yxa 01 且x x a a 0 且 a1 有兩個(gè)零點(diǎn) 就是函數(shù) 且 與函數(shù) 有兩個(gè)交點(diǎn) x 2yx 由圖象可知當(dāng) 時(shí)兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn) 不符合 當(dāng) 時(shí) 因?yàn)楹瘮?shù)0 的圖象過點(diǎn) 0 1 而直線 所過的點(diǎn)一定在點(diǎn) 0 1 的上方 所以一定有 1 xya yxa 兩個(gè)交點(diǎn) 所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 1 答案 8 2013 山東高考 已知定義在 R 上的奇函數(shù) 滿足 且在區(qū)間 xf 4 fxfx 0 2 上是增函數(shù) 若方程 f x m m 0 在區(qū)間 上有四個(gè)不同的根 則 8 1234 1234 xx 解析 因?yàn)?是定義在 R 上的奇函數(shù) 且滿足 所以 f 4 fxfx 所以函數(shù)圖象關(guān)于直線 對(duì)稱且 由 知 fxx 2 04 fx 所以函數(shù)是以 8 為周期的周期函數(shù) 又因?yàn)?在區(qū)間 0 2 上是增函數(shù) 8 f xf 所以 在區(qū)間 2 0 上也是增函數(shù) 如圖所示 x 那么方程 f x m m 0 在區(qū)間 上有四個(gè)不同的根 不妨設(shè) 8 1234 x 由對(duì)稱性知 所以1234xx 12x 34 答案 8 9 2013 上海高考 已知對(duì)于任意實(shí)數(shù) 函數(shù) 滿足 若方程 xf xff 有 2013 個(gè)實(shí)數(shù)解 則這 2013 個(gè)實(shí)數(shù)解之和為 0 xf 解析 由奇函數(shù)的性質(zhì)得 f 0 0 其余 2012 個(gè)實(shí)數(shù)解互為相反數(shù) 則這 2013 個(gè)實(shí)數(shù)解之 和為 0 答案 0 10 2013 山東高考 兩縣城 A 和 B 相距 20km 現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外以 AB 為直徑的半圓弧 上選擇一點(diǎn) C 建造垃圾處理廠 其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān) 對(duì) 城 A 和城 B 的總影響度為城 A 與城 B 的影響度之和 記 C 點(diǎn)到城 A 的距離為 x km 建在 C 處的垃圾處理廠對(duì)城 A 和城 B 的總影響度為 y 統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明 垃圾處理廠對(duì)城 A 的影響 度與所選地點(diǎn)到城 A 的距離的平方成反比 比例系數(shù)為 4 對(duì)城 B 的影響度與所選地點(diǎn)到 城 B 的距離的平方成反比 比例系數(shù)為 k 當(dāng)垃圾處理廠建在 的中點(diǎn)時(shí) 對(duì)城 A 和城 B 的總影響度為 0 065 1 將 y 表示成 x 的函數(shù) 11 討論 1 中函數(shù)的單調(diào)性 并判斷弧 上是否存在一點(diǎn) 使建在此處的垃圾處理 廠對(duì)城 A 和城 B 的總影響度最小 若存在 求出該點(diǎn)到城 A 的距離 若不存在 說明理由 解析 方法一 1 如圖 由題意知 AC BC 2240BCx 2 4 0 kyx 其中當(dāng) 時(shí) y 0 065 所以 k 902x 所以 y 表示成 x 的函數(shù)為 22 9 0 4yxx A B C x 2 令 得22 490yx 4232389 18 0 40 xxyx 0y 所以 即 當(dāng) 時(shí) 即 418 16 4218 x 所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù) 當(dāng) 時(shí) 即 所以函數(shù) y 2x 4218 0 xx y 為單調(diào)增函數(shù) 所以當(dāng) 時(shí) 即當(dāng) C 點(diǎn)到城 A 的距離為 時(shí) 函數(shù)40 x 4 有最小值 22 49 0yx 方法二 1 同上 2 設(shè) 則 所以 22 4mxnx 40mn 9yn 當(dāng)且僅當(dāng) 49111 3 32 0406y n 即 時(shí)取 24160m 下面證明函數(shù) 在 0 160 上為減函數(shù) 在 160 400 上為增函數(shù) 940ym 設(shè) 0 m1 m2 160 則 12112249 0m 1212 49 04mm 1212 4 0 1212 0 12122 9 4 mm 因?yàn)?0 m1 m24 240 240 9 m1m2 9 160 160 所以 12122 9004m 所以 即 所以函數(shù) 1122124 0 m 12y 在 0 160 上為減函數(shù) 490ym 同理 證明函數(shù) 在 160 400 上為增函數(shù) 設(shè) 160 m1 m2 400 則 490ym121122 4y 1212124 0 9 40mm 因?yàn)?1600 m1 m2 400 所以 4 9 160 160120 所以 所以 即 12224 0 9mm 1212124 0 0 4 m 所以函數(shù) 在 160 400 上為增函數(shù) 12y 40y 所以當(dāng) m 160 即 時(shí)取 函數(shù) y 有最小值 所以弧 上存在一點(diǎn) 當(dāng)1x 時(shí)使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城 A 和城 B 的總影響度最小 40 x 11 2013 上海高考 有時(shí)可用函數(shù) 15ln 6 4 axfx 描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)的掌握程度 其中 x 表示某學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)次數(shù) xN 表示對(duì)該學(xué)科知識(shí)的掌握程度 正實(shí)數(shù) a 與學(xué)科知識(shí)有關(guān) fx 證明 當(dāng) 時(shí) 掌握程度的增加量 總是下降 7 1 fxf 根據(jù)經(jīng)驗(yàn) 學(xué)科甲 乙 丙對(duì)應(yīng)的 a 的取值區(qū)間分別為 512 7 123 當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí) 6 次時(shí) 掌握程度是 85 請(qǐng)確定相應(yīng)的學(xué)科 解析 1 當(dāng) 0 47 1 3 xfxfx 時(shí) 而當(dāng) 函數(shù) 單調(diào)遞增 且 0 3 分x時(shí) 34y x 故 單調(diào)遞減 ff 當(dāng) 掌握程度的增長(zhǎng)量 總是下降 6 分7x 時(shí) 1 fxf B CD A O P 2 由題意可知 0 1 15ln 0 85 9 分 整理得6 a 0 56ae 解得 13 分 0 52 013 20 1 7 1ea 由此可知 該學(xué)科是乙學(xué)科 14 分 w w w 2012 年考題 1 2012 廣東高考 某單位用 2160 萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地 計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少 10 層 每層 2000 平方米的樓房 經(jīng)測(cè)算 如果將樓房建為 x x 10 層 則每平方米的平均建筑 費(fèi)用為 560 48x 單位 元 為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少 該樓房應(yīng)建為多 少層 注 平均綜合費(fèi)用 平均建筑費(fèi)用 平均購(gòu)地費(fèi)用 平均購(gòu)地費(fèi)用 購(gòu) 地 總 費(fèi) 用建 筑 總 面 積 解析 設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為 f x 元 則 216010856048564fxx xZ 令 得 2 f fx 5 當(dāng) 時(shí) 當(dāng) 時(shí) 15x 0fx 1 0fx 因此 當(dāng) 時(shí) f x 取最小值 2f 答 為了樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少 該樓房應(yīng)建為 15 層 2 2012 江蘇高考 如圖 某地有三家工廠 分別位于矩形 ABCD 的兩個(gè)頂點(diǎn) A B 及 CD 的中點(diǎn) P 處 AB 20km BC 10km 為了處理這三家工廠的污水 現(xiàn)要在該矩形區(qū) 域上 含邊界 且與 A B 等距的一點(diǎn) O 處 建造一個(gè)污水處理廠 并鋪設(shè)三條排污管道 AO BO PO 記鋪設(shè)管道的總長(zhǎng)度為 ykm 1 按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式 i 設(shè) rad 將表示成 的函數(shù) O ii 設(shè) km 將表示成的函數(shù) Px 2 請(qǐng)你選用 1 中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系確定污水處理廠的位置 使鋪設(shè)的污水管道的總長(zhǎng)度最短 解析 1 i 由條件知做 PQ 垂直平分 AB 交 AB 于點(diǎn) Q 若 BAO rad 則 故 10cosAQO 又 OP Btan 所以 1010tancosyOABP 所求函數(shù)關(guān)系式為 2iny 4 ii 若 OP km 則 OQ 10 所以 OA OB 22100 xx 所求函數(shù)關(guān)系式為 20yxx 2 選擇函數(shù)模型 i 2 210cos1sin10sincscoiy A 令 0 得 sin 因?yàn)?所以 04 6 當(dāng) 時(shí) 是 的減函數(shù) 當(dāng) 時(shí) 是 的增函數(shù) 6 y 4 0y 所以當(dāng) 時(shí) 這時(shí)點(diǎn) P 位于線段 AB 的中垂線上 在矩形區(qū)域內(nèi)min103 且距離 AB 邊 km 處 3 2011 年考題 1 2011 湖南高考 函數(shù) 的圖象和函數(shù) 的圖象 241 3xf 2 logx 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 A 4 B 3 C 2 D 1 解析 選 B 由圖像易知交點(diǎn)共有 3 個(gè) 2 2011 安徽高考 定義在 R 上的函數(shù) f x 既是奇函數(shù) 又是周期函數(shù) T 是它的一個(gè)正周期 若 將方程 f x 0 在閉區(qū) 間 T T 上的根的個(gè)數(shù)記為 n 則 n 可能為 A 0 B 1 C 3 D 5 解析 選 D 定義在 R 上的函數(shù) 是奇函數(shù) 又是周期函數(shù) 是它的一個(gè) xf 0 f 正周期 0fTf 22TTffff 02Tff 則可能為 5 O0 11 毫克 y 小時(shí) t 3 2011 湖北高考 為了預(yù)防流感 某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消 毒 已知藥物釋放過程中 室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量 毫克 與時(shí)間 小 時(shí) 成正比 藥物釋放完畢后 與的函數(shù)關(guān)系式為 為常數(shù) 16tay 如圖所示 據(jù)圖中提供的信息 回答下列問題 I 從藥物釋放開始 每立方米空氣中的含藥量 毫克 與時(shí)間 小時(shí) 之間的函數(shù)關(guān)系式為 II 據(jù)測(cè)定 當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到 毫克以下時(shí) 0 25 學(xué)生方 可進(jìn)教室 那么 藥物釋放開始 至少需要經(jīng)過 小時(shí) 后 學(xué)生才 能回到教室 解析 I 由題意和圖示可知 當(dāng) 時(shí) 可設(shè) 為待定系數(shù) 由于0 1t ykt 點(diǎn) 在直線上 01 同理 當(dāng) 時(shí) 可得k 0 1t 0 1 1 06aa II 由題意可得 即得 或 或 254y 40 1t 104 tt 10t 由題意知至少需要經(jīng)過 小時(shí)后 學(xué)生才能回到教室 0 6t 6 答案 I II 10 6ty 0 4 2011 上海高考 某工程由 四道工序組成 完成它們需用時(shí)間依次為ABCD 天 四道工序的先后順序及相互關(guān)系是 可以同時(shí)開工 完成后 可以開254x AB C 工 完成后 可以開工 若該工程總時(shí)數(shù)為 9 天 則完成工序 需要的天數(shù)最大是 BC 解析 因?yàn)橥瓿珊?才可以開工 C 完成后 才可以開工 完成 A C D 需用時(shí)間 依次為 天 且 可以同時(shí)開工 該工程總時(shí)數(shù)為 9 天 24x AB mamax93 答案 3 5 2011 上海高考 方程 的解是670 x 解析 舍去 2 331xx x 或 3log7x 答案 3log7x 6 2011 上海高考 方程 的解是 9 1 x 解析 1239x x 答案 7 2011 廣東高考 已知 a 是實(shí)數(shù) 函數(shù) 如果函數(shù) axaxf 32 在區(qū)間 上有零點(diǎn) 求 a 的取值范圍 xfy 1 解析 1 若 顯然在 上沒有零點(diǎn) 所以 0a 23fx 1 0 2 若 令 解得 248340aa 372a 當(dāng) 時(shí) 恰有一個(gè)零點(diǎn)在 上 7 yfx 1 當(dāng) 即 時(shí) 在 上也恰 0511 af 5a yfx 1 有一個(gè)零點(diǎn) 當(dāng) 在 上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí) 則yfx 或 208410af 208410af 解得 或5a 352 綜上所求實(shí)數(shù)的取值范圍是 35 12a 或 8 2011 北京高考 如圖 有一塊半橢圓形鋼板 其半軸長(zhǎng)為 短半軸長(zhǎng)為 計(jì)2r 劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀 下底 是半橢圓的短軸 上底 的端點(diǎn)在橢ABCD 4r CAB2 圓上 記 梯形面積為 2CDx S I 求面積 以為自變量的函數(shù)式 并寫出其定義域 S II 求面積 的最大值 解析 I 依題意 以 的中點(diǎn) 為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系 如圖 ABOOxy 則點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 點(diǎn) 的縱坐標(biāo)滿足方程 CC 21 0 4xyr 解得 2 0 yrxr 其定義域?yàn)?21 S A2 xrx A 0 xr II 記 則 4 0fxr 2 8 f 令 得 0f 12 因?yàn)楫?dāng) 時(shí) 當(dāng) 時(shí) 所以 是 的最 rx 0fx 2rx 0fx 12fr fx 大值 因此 當(dāng) 時(shí) 也取得最大值 最大值為 12xr S 213fr 即梯形面積 的最大值為 23r CDABOxy