《三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》教學(xué)設(shè)計(jì).doc

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1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 （名師：楊峻峰） 一、教學(xué)目標(biāo) （一）核心素養(yǎng) 從對(duì)稱性出發(fā)，獲得一些三角函數(shù)的性質(zhì).會(huì)選擇合適的誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù). （二）學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 牢固掌握五組誘導(dǎo)公式. 2. 理解和掌握公式的內(nèi)涵及結(jié)構(gòu)特征，熟練運(yùn)用公式進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)及恒等證明. 3. 通過(guò)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、分析歸納能力. 4.滲透把未知轉(zhuǎn)化為已知以及分類討論的數(shù)學(xué)思想. （三）學(xué)習(xí)重點(diǎn) 熟練、準(zhǔn)確地運(yùn)用公式進(jìn)行三角函數(shù)求值、化簡(jiǎn)及證明. （四）學(xué)習(xí)難點(diǎn) 相關(guān)角終邊的幾何對(duì)稱關(guān)系及誘導(dǎo)公式結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí)，誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)、記憶及符號(hào)判斷. 二、教學(xué)設(shè)計(jì) （一）課前設(shè)計(jì) 1. 閱讀教材第23頁(yè)至第27頁(yè)，填空： （1）如圖，的終邊與角的終邊關(guān)于 原點(diǎn) 對(duì)稱； （2）如圖，的終邊與角的終邊關(guān)于 x軸 對(duì)稱； （3）如圖，的終邊與角的終邊關(guān)于 y軸 對(duì)稱； （4）如圖，的終邊與角的終邊關(guān)于 直線y＝x 對(duì)稱； （5）誘導(dǎo)公式： 公式二：，，； 公式三：，，； 公式四：，，； 公式五：，； 公式六：，． 2．預(yù)習(xí)自測(cè) 1.下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（ ） A.利用誘導(dǎo)公式二可以把第三象限的三角函數(shù)化為第一象限的三角函數(shù). B.利用誘導(dǎo)公式三可以把負(fù)角的三角函數(shù)化為正角的三角函數(shù). C. . D.若為第四象限角，則. 答案：C. （二）課堂設(shè)計(jì) 1．知識(shí)回顧 （1）任意角的正弦、余弦、正切是怎樣定義的？ 在角的終邊上任取一點(diǎn)，則，，. 當(dāng)為角的終邊和單位圓的交點(diǎn)時(shí)，有sinα=y，cosα=x，. （2）誘導(dǎo)公式一： （3）終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等，即公式一.利用公式一可以把絕對(duì)值較大的角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0到360(0到)內(nèi)的角的三角函數(shù)值. 對(duì)于任何一個(gè)內(nèi)的角，以下四種情況有且只有一種成立： （其中為銳角） 所以，我們研究，，與的同名三角函數(shù)即可. 2．問(wèn)題探究 探究一 角與角之間的關(guān)系 ●活動(dòng)① 結(jié)合圖象，探究角與角終邊之間的關(guān)系 結(jié)合圖象思考： ①銳角的終邊與角的終邊位置關(guān)系如何？ ②它們與單位圓的交點(diǎn)的位置關(guān)系如何？ ③任意角與呢？ 引導(dǎo)學(xué)生充分利用單位圓，并和學(xué)生一起討論： ①無(wú)論為銳角還是任意角，的終邊都是的終邊的反向延長(zhǎng)線； ②角的終邊與單位圓的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. ●活動(dòng)② 結(jié)合定義，辨析角與角三角函數(shù)之間的關(guān)系 設(shè)任意角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，由對(duì)稱可知，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為.由三角函數(shù)的定義得： ， ， ； ， ， . 從而，我們得到誘導(dǎo)公式二： ， ， . 探究二 角、與角之間的關(guān)系 ●活動(dòng)① 結(jié)合圖象，探究角、與角終邊之間的關(guān)系 結(jié)合圖象思考： ①任意角、的終邊與角的終邊位置關(guān)系如何？ ②它們與單位圓的交點(diǎn)的位置關(guān)系如何？ 引導(dǎo)學(xué)生充分利用單位圓，并和學(xué)生一起討論： ①任意角的終邊與任意角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，與單位圓的交點(diǎn)也關(guān)于x軸對(duì)稱； ②任意角角的終邊與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，與單位圓的交點(diǎn)也關(guān)于y軸對(duì)稱. ●活動(dòng)② 類比探究一，辨析角、與角三角函數(shù)之間的關(guān)系 引導(dǎo)學(xué)生類比探究一的方法，得到： 公式三： ， ， . 公式四： ， ， . 探究三 理解公式的內(nèi)涵及結(jié)構(gòu)特征 ●活動(dòng)① 互動(dòng)交流、初步實(shí)踐 引導(dǎo)學(xué)生觀察分析公式三的特點(diǎn)，得出公式四的用途：可將求角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求角的三角函數(shù)值. 讓學(xué)生分析總結(jié)誘導(dǎo)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，概括說(shuō)明，加強(qiáng)記憶.我們可以用下面一段話來(lái)概括公式一~四：，、的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào). 進(jìn)一步簡(jiǎn)記為：“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限” . 點(diǎn)撥、引導(dǎo)學(xué)生注意公式中的是任意角. ●活動(dòng)② 鞏固基礎(chǔ)，理解升華 例1 利用公式求下列三角函數(shù)值. （1）； （2）； （3）； （4）. 【知識(shí)點(diǎn)】公式一~四． 【數(shù)學(xué)思想】化歸思想 【解題過(guò)程】 解：（1）； （2）． （3）； （4）． 【思路點(diǎn)撥】利用公式一~四把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 通過(guò)例1運(yùn)用講解，引導(dǎo)學(xué)生歸納，任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的一般步驟： 變式訓(xùn)練 化簡(jiǎn)： 【知識(shí)點(diǎn)】公式一~四． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過(guò)程】 解： ． 【思路點(diǎn)撥】利用公式一~四把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)． 【答案】 探究四 角與角之間的關(guān)系 ●活動(dòng)① 探究角與角之間的關(guān)系 設(shè)任意角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為．由于角的終邊與角的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，因此點(diǎn)，從而有： ， ； ， ． 所以得到公式五： ， ． ●活動(dòng)② 探究角與角之間的關(guān)系 我們可以類比探究與角三角函數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)行角與角之間關(guān)系的探究．另一方面，由于，是否可以結(jié)合公式四及公式五推導(dǎo)出角與角三角函數(shù)之間關(guān)系呢？請(qǐng)學(xué)生進(jìn)行推導(dǎo)． 可以得到公式六： ， ． 我們可以用下面一段話來(lái)概括公式五、六：正弦(余弦)函數(shù)值，分別等于的余弦(正弦)函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)． 進(jìn)一步可以簡(jiǎn)記為：函數(shù)名改變，符號(hào)看象限． ●活動(dòng)③ 探究角與角之間的關(guān)系 例2 證明：（1）； （2） 【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式四、五． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過(guò)程】 證明：（1）； （2）． 【思路點(diǎn)撥】將變形為利用公式四、五進(jìn)行轉(zhuǎn)化． 【答案】（1） ；(2) ． 學(xué)了六組誘導(dǎo)公式及上例的結(jié)果后,能否進(jìn)一步歸納概括誘導(dǎo)公式． 誘導(dǎo)公式一~四，函數(shù)名稱不改變，這些公式左邊的角分別是，，（可看作）．其中，，0是橫坐標(biāo)軸上的角，因此，上述公式可歸結(jié)為橫坐標(biāo)軸上的角，函數(shù)名稱不改變．而公式五、六及上面的例2，這些公式左邊的角分別是，，其中，是縱坐標(biāo)軸上的角，因此這些公式可歸結(jié)為縱坐標(biāo)上的角，函數(shù)名稱要改變．兩類誘導(dǎo)公式的符號(hào)的考查是一致的，故而所有的誘導(dǎo)公式可用十個(gè)字來(lái)概括：縱變橫不變，符號(hào)看象限． ●活動(dòng)④ 靈活應(yīng)用，融會(huì)貫通 例3 化簡(jiǎn) ． 【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式一~六． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過(guò)程】 解： ． 【思路點(diǎn)撥】合理利用誘導(dǎo)公式，抓住“負(fù)化正，大化小，化到銳角終了”的原則． 【答案】 變式訓(xùn)練 已知，求的值． 【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式六． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過(guò)程】 解：∵，∴ ∴==． 【思路點(diǎn)撥】當(dāng)兩個(gè)角的和或差是的整數(shù)倍時(shí)，它們的三角函數(shù)值可通過(guò)誘導(dǎo)公式聯(lián)系起來(lái)． 【答案】 3. 課堂總結(jié) ①有關(guān)角的終邊對(duì)稱性 1)的終邊與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； 2)的終邊與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱； 3)的終邊與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱； 4)的終邊與角的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱． ②利用五組誘導(dǎo)公式就可以將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)．其化簡(jiǎn)方向仍為：“負(fù)化正，大化小，化到銳角終了” ． ③縱變橫不變，符號(hào)看象限． （三）課后作業(yè) 基礎(chǔ)型 自主突破 1．（ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式． 【數(shù)學(xué)思想】化歸思想． 【解題過(guò)程】． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)誘導(dǎo)公式求值． 【答案】D． 2．（ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式． 【數(shù)學(xué)思想】化歸思想． 【解題過(guò)程】． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)誘導(dǎo)公式求值． 【答案】D． 3． （ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式． 【數(shù)學(xué)思想】化歸思想． 【解題過(guò)程】． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)誘導(dǎo)公式求值． 【答案】C． 4．（ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式． 【數(shù)學(xué)思想】化歸思想． 【解題過(guò)程】． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)誘導(dǎo)公式求值． 【答案】B． 5．若,則． 【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式． 【數(shù)學(xué)思想】化歸思想． 【解題過(guò)程】因?yàn)椋裕? 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)誘導(dǎo)公式求值． 【答案】． 6．已知角終邊上的一點(diǎn)，則． 【知識(shí)點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)定義、誘導(dǎo)公式． 【數(shù)學(xué)思想】化歸思想． 【解題過(guò)程】． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)誘導(dǎo)公式求值． 【答案】． 能力型 師生共研 7．已知，則． 【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式． 【數(shù)學(xué)思想】化歸思想． 【解題過(guò)程】 方法一：由，得，所以； 方法二：； 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)誘導(dǎo)公式求值． 【答案】． 8．已知，則． 【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式． 【數(shù)學(xué)思想】化歸思想． 【解題過(guò)程】； 【思路點(diǎn)撥】觀察與關(guān)系，根據(jù)誘導(dǎo)公式求值． 【答案】． 探究型 多維突破 9．現(xiàn)有下列三角函數(shù)： ①；②；③； ④.其中函數(shù)值與的值相同的序號(hào)是_______． 【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式． 【數(shù)學(xué)思想】化歸思想． 【解題過(guò)程】 ①；②； ③；④． 【思路點(diǎn)撥】奇變偶不變，符號(hào)看象限． 【答案】②④． 10．已知角是第三象限角，且. (1)化簡(jiǎn)； (2)若，求的值; (3)若，求的值; 【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式． 【數(shù)學(xué)思想】化歸思想． 【解題過(guò)程】 （1）； （2）因?yàn)?，所以，因?yàn)榻鞘堑谌笙藿牵? 所以； （3）． 【思路點(diǎn)撥】先化簡(jiǎn)，再求值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 自助餐 1．的值為（ ） A．1 B． C．0 D．2 【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系． 【數(shù)學(xué)思想】化歸思想． 【解題過(guò)程】． 【思路點(diǎn)撥】化簡(jiǎn)． 【答案】B． 2．已知，則（ ） A． B． C．2 D． 【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系． 【數(shù)學(xué)思想】化歸思想． 【解題過(guò)程】因?yàn)椋? 所以， 【思路點(diǎn)撥】1與轉(zhuǎn)化． 【答案】D． 3．． 【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式． 【數(shù)學(xué)思想】化歸思想 【解題過(guò)程】 ． 【思路點(diǎn)撥】觀察與關(guān)系． 【答案】． 4．化簡(jiǎn)： ． 【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、三角函數(shù)符號(hào)判斷． 【數(shù)學(xué)思想】化歸思想 【解題過(guò)程】 因?yàn)?，所以原? 【思路點(diǎn)撥】誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)、1的轉(zhuǎn)化、符號(hào)的判斷． 【答案】． 5．已知，求． 【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式． 【數(shù)學(xué)思想】化歸思想 【解題過(guò)程】 ． 【思路點(diǎn)撥】關(guān)鍵在于利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化． 【答案】．