圖論的發(fā)展及其在現(xiàn)實生活中的幾個應用

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菏澤學院本科生畢業(yè)設計（論文） 圖論的發(fā)展及其在生活中的應用 數(shù)學與應用數(shù)學 張佳麗 指導教師 劉秀麗 摘要 主要介紹了圖論的起源與發(fā)展及其生活中的若干應用，如：渡河問題、旅游推銷員問題、最小生成樹問題、四色問題、安排問題、中國郵遞員問題。同時也涉及到了幾種在圖論中應用比較廣泛的方法，如：最鄰近法、求最小生成樹的方法、求最優(yōu)路線的方法等。 關鍵詞 圖論 生活 問題 應用 Graph Theory Development and the Application in Life Mathematics and applied mathematics Zhang Jiali Tutor Liu Xiuli Abstract This paper mainly introduces the origin and development of graph theory and its several applications in our life, such as: crossing river problem, traveling salesman problem, minimum spanning tree problem, four color problem，arrangement problem，Chinese postman problem．It also researches several methods that are more widely applied in graph theory, for example: the method of most neighboring, the method of solving the minimum spanning tree，the method of the best route，and so on． Key words graph theory life problem application 引言 圖論是一門古老的學科，是數(shù)學中有廣泛應用的一個分支，與其他的數(shù)學分支，如群論、矩陣論、概率論、拓撲學、數(shù)分析等有著密切的聯(lián)系．圖論中以圖為研究對象，圖形中我們用點表示對象，兩點之間的連線表示對象之間的某種特定的關系．事實上，任何一個包含了二元關系的系統(tǒng)都可以用圖論來模擬．而且,圖論能把紛雜的信息變的有序、直觀、清晰．由于我們感興趣的是兩對象之間是否有某種特定關系，所以圖形中兩點間連接與否尤為重要，而圖形的位置、大小、形狀及連接線的曲直長短則無關緊要． 圖論在自然科學、社會科學等各個領域都有廣泛的應用．隨著科學的發(fā)展，以及生產(chǎn)管理、軍事、交通運輸?shù)确矫嫣岢隽舜罅繉嶋H的需要，圖論的理論及其應用研究得到飛速發(fā)展。從20世紀50年代以后，由于計算機的迅速發(fā)展，有力地推動了圖論的發(fā)展，加速了圖論向各個學科的滲透，尤其是網(wǎng)絡理論的建立，圖論與線性規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃等優(yōu)化理論和方法互相滲透。同時，計算機的發(fā)展使圖論成為數(shù)學領域中發(fā)展最快的分支之一． 1 圖論的起源與發(fā)展 1．1 圖論的起源[1] 1736年是圖論的歷史元年．這一年，歐拉（L?Euler）研究了哥尼斯堡（Knigsberg）七橋問題，并發(fā)表了關于圖論的首篇文章．歐拉也因此被稱為圖論之父．哥尼斯堡城瀕臨藍色的波羅的海，城中有一條普萊格爾（Pregel）河，河的兩條支流在這里匯合，然后橫穿全城，流入大海．河水把城市分成4塊，于是，人們建造了7座各具特色的橋，把哥尼斯堡城連成一體，如圖一所示． 早在18世紀，這些形態(tài)各異的小橋吸引了眾多的游客，他們在陶醉于美麗風光的同時，不知不覺間，腳下的橋觸發(fā)了人們的靈感，一個有趣的問題在居民中傳開． 圖一 圖二 誰能夠從兩岸A，B， C，D四個陸地中的任一個地方出發(fā)一次走遍所有的7座橋，而且每座橋都無重復的只通過一次？這個問題看起來似乎不難，誰都樂意用這個問題來測試一下自己的智力．但是，誰也沒有找到一條這樣的路線．這個問題極大的刺激了人們的好奇心，許多人都熱衷于解決這個問題，然而始終沒有人能夠成功．“七橋問題” 難住了哥尼斯堡城的所有居民．哥尼斯堡城也因“七橋問題” 而出了名．這就是數(shù)學史上著名的七橋問題． 問題看來并不復雜，但就是誰也解決不了，也說不出所以然來．1736年，當時著名的數(shù)學家歐拉仔細研究了這個問題，他將上述四塊陸地與七座橋間的關系用一個抽象圖形來描述(見圖二)，其中A、B、C、D四個陸地分別用四個點來表示，而陸地之間有橋相連者則用連接兩個點的連線來表示，這樣，上述的哥尼斯堡七橋問題就變成了由點和邊所組成的如下問題： 試求從圖中的任一點出發(fā)，不重復的通過每條邊一次，最后返回到該點，這樣的路線是否存在？這樣問題就變得簡潔明了了，同時問題也變得更一般、更深刻了．這樣，七橋問題就轉變?yōu)閳D論中的一筆畫問題．即能不能不重復的一筆畫出圖二中的這個圖形． 原先人們是要求找出一條不重復的路線，歐拉想，既然成千上萬的人都失敗了，那么這樣的路線也許根本就不存在．于是，歐拉就想：這樣不重復的路線究竟存不存在？由于改變了一下提問的角度，歐拉抓住了問題的實質．最后，歐拉認真考慮了一筆畫圖形的結構特征． 歐拉發(fā)現(xiàn)，凡是能用一筆畫成的圖形，都有這樣一個特點：每當畫一條線進入中間的一個點時，還必須畫一條線離開這個點．否則，這個圖形就不可能用一筆畫出．也就是說，單獨考察圖中的任何一點（起點和終點除外），這個點都應該與偶數(shù)條線相連；如果起點與終點重合，那么，連這個點也應該與偶數(shù)條線相連． 在七橋問題的幾何圖中，A、B、D三點分別與3條線相連，C點與5條線相連．連線數(shù)都是奇數(shù)條．因此，歐拉斷定：一筆畫出這個圖形是不可能的．也就是說，不重復地通過7座橋的路線是根本不存在的！天才的歐拉只用了一步就證明了這個難題，從這里我們也可以看到圖論的強大威力. 歐拉對七橋問題的研究，是拓撲學研究的先聲． 1750年，歐拉又發(fā)現(xiàn)了一個有趣的的現(xiàn)象．歐拉因此得到了后人以他的名字命名的“多面體歐拉公式”．正4面體有4個頂點、6條棱，它的面數(shù)加頂點數(shù)減去棱數(shù)等于2；正6面體有8個頂點、12條棱，它的面數(shù)加頂點數(shù)減去棱數(shù)也等于2．接著，歐拉又考察了正12面體、正24面體，發(fā)現(xiàn)都有相同的結論．于是繼續(xù)深入研究這個問題，終于發(fā)現(xiàn)了一個著名的定理： (面數(shù)) ＋ (頂點數(shù)) －(棱數(shù)) ＝2 這個公式證明了多面體只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體五種．這個定理成為拓撲學的第一個定理，這個公式被認為開啟了數(shù)學史上新的一頁，促成了拓撲學的發(fā)展． 1．2 圖論的發(fā)展 圖論的產(chǎn)生和發(fā)展經(jīng)歷了二百多年的歷史，大體上可以分為三個階段： 第一階段是從1736年到19世紀中葉．當時的圖論問題是盛行的迷宮問題和游戲問題．最具代表性的工作是著名數(shù)學家歐拉于1736年解決的哥尼斯堡七橋問題(見1．1)． 第二階段是從19世紀中葉到1936年．圖論主要研究一些游戲問題:迷宮問題、博弈問題、棋盤上馬的行走路線問題等，[2]隨著對這些問題的深入研究，圖論又產(chǎn)生了新的一系列問題，例如：連通性、嵌入問題、染色問題、矩陣表示以及網(wǎng)絡流等．連通性是圖論研究的基本問題之一，歐拉路、中國郵路問題、哈密頓問題、樹與圖的支撐樹、匹配問題都是連通性的典型問題；地圖著色問題即是對無論多么復雜的地圖，只需用四種顏色就足夠將相鄰的區(qū)域分開．平面圖的染色問題是與四色問題緊密相聯(lián)的．于是產(chǎn)生了著色問題即給定一個圖，如果要求把所有頂點涂上顏色，使得相鄰頂點具有不同的顏色，問最少需要幾種不同的顏色?這個問題叫做圖的點著色問題．如果對給定圖的全部邊都涂上顏色，使相鄰的邊有不同的顏色，問至少需要幾種顏色?這個問題叫做邊的著色問題，邊的著色問題可以轉化為點著色問題．由這些問題人們逐漸豐富并發(fā)展了圖論學科知識．同時出現(xiàn)了以圖為工具去解決其他領域中一些問題的成果．1847年德國的克希霍夫將樹的概念和理論應用于工程技術的電網(wǎng)路方程組的研究．1936年匈牙利的數(shù)學家哥尼格寫出了第一本圖論專著《有限圖與無限圖的理論》．標志著圖論成為了一門獨立學科． 第三階段是1936年以后.由于生產(chǎn)管理、軍事、交通運輸、計算機和通訊網(wǎng)路等方面大量實際問題的出現(xiàn)，大大促進了圖論的發(fā)展．特別是電子計算機的大量應用，使大規(guī)模問題的求解成為可能．實際問題如電網(wǎng)絡、交通網(wǎng)絡、電路設計、數(shù)據(jù)結構以及社會科學中的問題所涉及到的圖形都很復雜的，需要計算機的幫助才有可能進行分析和解決．目前，圖論在物理、化學、運籌學、計算機科學、電子學、信息論、控制論、網(wǎng)絡理論、社會科學及經(jīng)濟管理等幾乎所有學科領域中都有應用． 2 圖論在生活中幾種應用 2．1 渡河問題 2．1．1 基本理論 定義2.1[3] 有向圖：一個有向圖是一個有序的二元組，記作，其中 （1）稱為頂點集，其元素稱為頂點或結點． （2）為邊集，它是笛卡爾積的多重子集，其元素稱為有向邊，簡稱邊． 2．1．2 應用舉例 例[4] （渡河問題） 一個擺渡人要把一只狼，一只羊和一捆菜運過河去，由于船很小，每次擺渡人至多只能帶一樣東西．另外，如果人不在旁時，狼就要吃羊，羊就要吃菜．問這個人怎樣才能安全的將它們運過河去？ 解 用表示擺渡人，表示狼，表示羊，表示菜 若用表示人和其他三樣東西在河的原岸的狀態(tài)，這樣原岸全部可能出現(xiàn)的狀態(tài)為以下16種： 表示原岸什么也沒有，即人、狼、羊、菜都運到河對岸了 根據(jù)題意，我們知道這16種情況中有6種是不允許的，它們是、、、、、，如表示人和菜在原岸而狼和羊在對岸，這當然是不允許的．因此，允許出現(xiàn)的情況只有10種．以這10種狀態(tài)為結點，以擺渡前原岸的一種狀態(tài)與擺渡一次后出現(xiàn)在原岸的狀態(tài)所對應的結點之間的連線為邊，作有向圖2.1： 圖2.1 上圖給出了兩種方案，方案為上圖中從到的不同的基本通路： ⑴ ⑵． 它們的長度均為7故擺渡人只需擺渡7次就能將它們?nèi)窟\到對岸，并且羊和菜完好無損． 2．2 旅行推銷員問題 該問題是說：“給定個城市和它們之間的距離，問如何設計一條路線，使得一個推銷員從他所在的城市出發(fā)途經(jīng)其余個城市剛好一次，最后回到原駐地并使得行程最短[5]？” 2．2．1 基本理論 定義2.2[6] 給定圖（為無向圖或有向圖），設：（為實數(shù)集），對中任意的邊 ( 為有向圖時，)，設，稱實數(shù)為邊上的權，并將標注在邊上，稱為帶權圖，此時常將帶權圖記作．設，稱為的權，記作，即=． 最鄰近法[7] (1)由任意選擇的結點開始，找與該點最近（即權最小）的點，形成有一條邊的初始路徑． (2)設表示最新加到這條路上的結點，從不在路上的所有結點中選一個與最靠近的結點，把連接與這一結點的邊加到這條路上，重復這一步，直到中所有結點包含在路上． (3)將連接起始點與最后加入的結點之間的邊加到這條路上，就得到一個圈，即為問題的近似解． 2．2．2 應用舉例 例[8] 某流動售票員居住在城，為推銷貨物他要訪問、、城后返回城，若該四城間的距離如下圖2.2所示，找出完成該訪問的最短路線． 圖2.2 解 步驟如下圖①—④ ① ② ③ ④ 最短距離為：8+6+7+11=32． 2．3 最小生成樹 2．3．1 基本理論 定義2.3.1[9] 設，為兩個圖（同為無向圖或同為有向圖），若且，則稱是的子圖，為的母圖，記作．又若或，則稱為的真子圖，若，則稱為的生成子圖． 定義2.3.2[10] 不含圈的連通圖稱為樹． 定義2.3.3[11] 如果是的一個生成子圖而且又是一棵樹，則稱是圖的一棵生樹． 定義2.3.4[12] 設無向連通帶權圖，是的一棵生成樹，的各邊權之和稱為的權．的所有生成樹中，權最小的生成樹稱為的最小生成樹． ⑴破圈法[13] 在中任取一個圈，去掉其中一條邊，然后再取一個圈，再去掉這個圈中的一條邊，如此繼續(xù)下去，最后得到的連通圖的無圈的生成子圖就是的一棵生成樹． ⑵用破圈法求帶權的最小生成樹的方法 在賦權圖中任取一個圈，然后去掉這個圈中權最大的邊，如此繼續(xù)進行直到中不再有圈時為止，這時剩下的邊組成的子圖就是最小樹．[14] 2．3．2 應用舉例 旅游線路中的最短問題 對于旅客來說，要求在最短的時間內(nèi)用最少的錢來旅游最多的景點，考慮到無論采取哪種方案，在門票的花費均相同且路費在速度恒定的情況下可由路程的多少來求得，從而把問題轉化為求最短的旅游路線的問題．[15] 例[16] 公園的路徑系統(tǒng)圖如圖2.3，其中為入口，為出口，，，，，為五個景點，現(xiàn)求如何能使觀光旅游車從入口到出口所經(jīng)過的距離最短． 圖2.3 解 用破圈法求帶權的最小生成樹的方法求解，求解步驟如下圖①—⑥ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 由圖可知，從如口到出口的最短路徑為 最短距離為：2+2+3+1+5=13． 2．4 四色問題 1852年10月23日英國數(shù)學家德?摩根寫給當時還屬于英國的愛爾蘭數(shù)學家哈密爾頓的一封信中，他寫道：“我的一位學生今天請我解釋一個我過去不知道，現(xiàn)在仍不甚了了的事實．他說任意劃分一個地圖并給各部分著上顏色，使任何具有公共邊界的部分顏色不同，那么需要且僅需要四種顏色就夠了．”德?摩根提到的這位學生名叫弗雷德里克?格里斯．而據(jù)他后來撰文披露，該問題的真正發(fā)現(xiàn)者實際是他是的哥哥弗蘭西斯?格里斯．[17] 2.4.1 基本理論 定義2.4.1[18] 設為無向標定圖，中的頂點與邊的交替序列 …稱為到的通路，其中，為的端點，=1,2, …， ，分別稱為的始點與終點，中邊的條數(shù)稱為它的長度，若 =，則稱通路為回路．若的所有邊各異，則稱為簡單通路，又若=，則稱為簡單回路．若的所有頂點（除 與可能相同外）各異，所有邊也各異，則稱為初級通路或路徑，此時又若=，則稱為初級回路或圈，將長度為奇數(shù)的圈稱為奇圈，長度為偶數(shù)的圈稱為偶圈． 定義2.4.2[19] 對無環(huán)圖的每個頂點涂上一種顏色，使相鄰的頂點涂不同的顏色，稱為對圖的一種著色．若能用種顏色給的頂點著色，就稱對進行了著色，也稱是—可著色的．若是—可著色的，但不是—可著色的，就稱是色圖，并稱這樣的為的色數(shù)，記作． 定義2.4.3[20] 在（4）邊形內(nèi)放置一個頂點，使這個頂點與上的所有頂點均相鄰，所得階簡單圖稱為階輪圖．為奇數(shù)的輪圖稱為奇階輪圖，為偶數(shù)的輪圖稱為偶階輪圖． 定理2.4.1（四色定理）[21] 每個平面的色數(shù)至多是4． 定理2.4.2[19] 奇圈和奇階輪圖的色數(shù)均為3，而偶階輪圖的色數(shù)為4． 2．4．2 應用舉例 例1[22] 在期末考試周期間，一所學院的8名選修數(shù)學的學生得到許可去參加大學生科研討論會．假設他們回來之后需要在星期一對所錯過的考試進行補考，星期一安排這些考試的可能時間段為： ⑴8:00——10:00 ⑵10:15——12:15 ⑶12:30——2:30 ⑷2:45——4:45 ⑸5:00——7:00 ⑹7:15——9:15 應用圖論的相關知識，確定這8名學生完成考試的最早時間．要求：如果有某個學生必須要參加某兩門課的考試，那么，這兩門課程就不能安排在同一時間段內(nèi)．這8名學生以及他們選修的課程：高等微積分（）、微分方程（）、幾何學（）、圖論（）、線性規(guī)劃（）、近世代數(shù)（）、統(tǒng)計學（）、拓撲學（），列表如下： ：，， ：，， ：，， ：，， ：，， ：，， ：，， ：，， 解 首先構造圖2.4.1，其頂點為這8門課程，如果有某個學生同時考兩門課程則在這兩個頂點間連一條邊．1、2、3、4表示四種不同的顏色，如1表示用第一種顏色著色． 記最小的時間段數(shù)為，由于中含有奇圈，，，，，，由定理2知，需要3種顏色為該圖上的頂點著色．由于與該圖上的所有頂點都鄰接，所以需要用第四種顏色來為染色．因此≥4；又由定理1知≤4，因而＝4． 圖2.4.1 故在四個時間段內(nèi)可安排這8門課程的考試，安排方法為： 時間段1：統(tǒng)計學、幾何學、圖論 時間段2：高等微積分、拓撲學 時間段3：微分方程、近世代數(shù) 時間段4：線性規(guī)劃 故可在安排時間段(1) 8:00—10:00 (2) 10:15—12:15 (3) 12:30—2：30 (4) 2:45—4:45 故完成考試的最短時間為4:45． 例2[22] 有8種化學藥品需要空運飛越整個國家.運費根據(jù)運送的容器數(shù)量來確定.運送一個容器需要125元.某些藥品之間可以發(fā)生化學反應,所以把它們放在同一個容器中是很危險的.這些化學藥品被標記成,,,,,, ,.下面列出的是與某個給定藥品能夠發(fā)生反應的其他藥品名稱: :,, : ,,, : ,, : ,,, : ,,,, : ,,, : ,,,, : ,,, 這些化學藥品應該如何放置于那些容器中使得運送這些化學藥品所需的費用最少?最少是多少? 解 首先構造圖2.4.2,其頂點為這8種化學藥品.如果某兩種藥品能發(fā)生化學反應就在這兩個頂點間連一條邊.1，2，3，4表示四種不同的顏色，如1表示用第一種顏色著色． 記最小的容器數(shù)為，由于中含有奇圈,,,，,由定理2知，需要3種顏色為該圖上的頂點著色．由于與該圖上的所有頂點都鄰接，所以需要用第四種顏色來為染色．因此≥4；又由定理1知≤4，因而＝4． 圖2.4.2 故將這8種化學藥品放置在四個容器內(nèi),安排方法為： 第一個容器: , 第二個容器: , 第三個容器: , 第四個容器: , 最少費用為4125＝500. 2．5 用邊染色解決安排問題 2.5.1 基本理論 定義2.5.1[23] 非空圖的一個邊染色是指給的邊分配顏色，每條邊分配一種顏色，使得鄰接的邊分配不同的顏色．對的邊染色所需的最少顏色數(shù)稱為是邊色數(shù)，記為．應用種顏色的邊染色稱為是邊染色． 定義2.5.2[24] 設為一無向圖，，稱作為邊的端點次數(shù)之和為的度數(shù)，簡記為度，記作，在不發(fā)生混淆時，簡記為． 定理2.5.1[23] 對于任意非空圖， ＝或者． 定理2.5.2[23] 設是一個階為，邊數(shù)為的圖．若 則． 2.5.2 應用舉例 例1[23] ()曾邀請3對夫婦到他的避暑別墅住一個星期,他們是 ()和 (), ()和 (), ()和 ()．由于這6位客人都喜歡網(wǎng)球運動,所以他決定進行一些網(wǎng)球比賽．6位客人中的每一位都要與其配偶之外的每位客人比賽．另外, 將分別與, , , 進行一場比賽．若沒有人在同一天進行兩場比賽,則要在最少天數(shù)完成比賽,該如何安排? 解 首先構造圖2.5.1,其頂點為住在的避暑別墅的人,因此, 中的兩個頂點是鄰接的,如果這兩個頂點(人)需要進行一場比賽．為了解答這個問題,我們需要確定的邊色數(shù)． 圖2.5.1 易見, ．根據(jù)定理2．5．1, 或者．此外, 的階為,邊數(shù)為．由于 由定理2．5．2,可知．圖列出了的一個6邊染色,從而也給出了一個具有最少天數(shù)(6)的時間安排表． 第一天: — — — 第二天: — — — 第三天: — — — 第四天: — — — 第五天: — — 第六天: — — 例2[25]　來自亞特蘭大、波士頓、芝加哥、丹佛、路易維爾、邁阿密以及納什維爾的7支壘球隊受邀請參加比賽，其中每只隊都被安排與一些其他隊比賽，如下： 亞特蘭大（）：波士頓，芝加哥，邁阿密，納什維爾 波士頓（）：亞特蘭大，芝加哥，納什維爾 芝加哥（）：亞特蘭大，波士頓，丹佛，路易維爾 丹佛()：芝加哥，路易維爾，邁阿密，納什維爾 路易維爾()：芝加哥，丹佛，邁阿密 邁阿密()：亞特蘭大，丹佛，路易維爾，納什維爾 納什維爾()：亞特蘭大，波士頓，丹佛，邁阿密 每支隊在同一天最多只能進行一場比賽。建立一個具有最少天數(shù)的比賽時間表. 解 首先構造圖2.5.2,其頂點為7支球隊,因此, 中的兩個頂點是鄰接的,如果這兩個頂點需要進行一場比賽．為了解答這個問題,我們需要確定的邊色數(shù)． 圖2.5.2 易見, ．根據(jù)定理2．5．1, 或者．此外, 的階為,邊數(shù)為．由于 由定理2．5．2,可知．圖列出了的一個5邊染色,從而也給出了一個具有最少天數(shù)(5)的時間安排表． 第一天：　亞特蘭大－波士頓　　納什維爾－邁阿密　　芝加哥－路易維爾 第二天：　波士頓－納什維爾　　亞特蘭大－芝加哥　　丹佛－路易維爾 第三天：　亞特蘭大－邁阿密　　芝加哥－波士頓　　　丹佛－納什維爾 第四天：　芝加哥－丹佛　　　　路易維爾－邁阿密　　亞特蘭大－納什維爾 第五天：　丹佛－邁阿密 2.6 中國郵遞員問題 中國郵遞員問題即為郵遞員路線問題．郵遞員從郵局出發(fā),經(jīng)過他所投遞范圍的每一條街道至少一次,完成郵件的投遞任務以后返回郵局．如何安排郵遞員的行走路線,以使總路程最短,這個問題是中國學者管梅谷1962年首先提出,并給出了一個解法,被國際上稱為中國郵遞員問題． 2.6.1 基本理論 定義2.6.1[26] 在圖上,從某個頂點出發(fā),對各條邊只通過一次,這樣的跡稱為跡．閉跡叫做環(huán)游．一個圖若包含環(huán)游,則這個圖稱為圖． 定義2.6.2[27] 將邊的兩個端點再用一條權同樣為的新邊連接，即得重復邊． 定理2.6.1 [27] 若是圖，則中任意用Fleury算法做出的跡都是上午環(huán)游． 定理2.6.2[27]　 設賦權圖經(jīng)添加重復邊集后得到賦權歐拉圖，重復邊集權值總和最小的充要條件是：每條邊最多重復一次，并且中任一個圈，其所含重復邊的權值之和都不大于所在圈中所有邊權值的二分之一． 算法[27] : (1) 任意選取一個頂點,置； (2) 假設跡已經(jīng)選定，那么按下述方法從中選取邊： 1）和相關聯(lián)； 2）除非沒有別的邊可選擇，否則不是的割邊． (3)當2）不能再執(zhí)行時，算法停止，得到中一條跡． 非圖求最優(yōu)環(huán)游的算法步驟[27] ： (1)開始．任給一個初始方案，使非賦權圖各頂點變?yōu)榕键c，得到一個初始賦權圖； (2)檢查．檢查各圈是否滿足圈中“重復邊總權值小于等于非重復邊總權值”的最優(yōu)解條件．若條件已滿足，則現(xiàn)行方案為最優(yōu)解，再由算法得到一條最優(yōu)環(huán)游，否則轉（3）； (3)調整．調整重復邊并保持圖仍為賦權圖．轉（2）． 2．6．2　應用舉例 例[28] 設郵遞員所轄的投遞區(qū)如下圖2.6所示，其中邊旁的數(shù)字為街道長度，問從郵局出發(fā)，如何走遍全區(qū)各街最后回到郵局而又最短的路徑． 圖2.6 解 ，故此圖為非歐拉圖．添加重復邊使其變?yōu)闅W拉圖，如下圖2.6.1，　經(jīng)檢查所有圈皆符合定理2．6．2，故下圖為最優(yōu)方案． 圖2.6.1 按算法可得到一條最優(yōu)環(huán)游,這條最優(yōu)環(huán)游是: . 參考文獻 [1]李冰．圖論的起源和發(fā)展[J]．大眾文藝，2010（9）：34． [2]黃會蕓．圖論思想在生活中的運用[J]．赤峰學院學報（自然科學版），2009,25(12):23-24． [3]耿素云、屈婉玲．離散數(shù)學[M]．2版．北京：高等教育出版社，2004:267． [4]傅彥．離散數(shù)學基礎及應用[M]．成都：電子科技大學出版社，2000：149—150． [5]程釗．圖論中若干著名問題的歷史標記[J]．數(shù)學的實踐與認識，2009，39（24）：75． [6]耿素云、屈婉玲．離散數(shù)學[M]．2版．北京：高等教育出版社，2004:302． [7]喬維聲、湯惟．離散數(shù)學[M]．西安：西安電子科技大學出版社，2005:157． [8]喬維聲、湯惟． 離散數(shù)學[M]．西安：西安電子科技大學出版社，2005:158． [9]耿素云、屈婉玲．離散數(shù)學[M]．2版．北京：高等教育出版社，2004:274． [10]王朝瑞．圖論[M]．3版．北京：北京理工大學出版社，2002:26． [11]王朝瑞．圖論[M]．3版．北京：北京理工大學出版社，2002:33． [12]耿素云、屈婉玲．離散數(shù)學[M]．2版．北京：高等教育出版社，2004:311． [13]王朝瑞．圖論[M]．3版．北京：北京理工大學出版社，2002:34． [14]王朝瑞．圖論[M]．3版．北京：北京理工大學出版社，2002:232． [15]方冬云．圖論在旅游路線選擇中的應用[J]．長春工業(yè)大學學報（自然科學版），2009,30（5）：583． [16]劉海英．最短路徑問題在管理中的應用[J]．福建廣播電視大學學報,2010，4（29）：87． [17]程釗．圖論中若干著名問題的歷史標記[J]．數(shù)學的實踐與認識，2009，39（24）：78． [18]耿素云、屈婉玲．離散數(shù)學[M]．2版．北京：高等教育出版社，2004:276． [19]耿素云、屈婉玲．離散數(shù)學[M]．2版．北京：高等教育出版社，2004:333． 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[26]劉纘武．應用圖論[M]．長沙：國防科技大學出版社，2004：83． [27]劉纘武．應用圖論[M]．長沙：國防科技大學出版社，2004：85—87． [28]劉纘武．應用圖論[M]．長沙：國防科技大學出版社，2004：97． 致謝 在此論文撰寫過程中，要特別感謝我的導師劉秀麗老師的指導與督促。劉秀麗老師對該論文從選題，構思到最后定稿的各個環(huán)節(jié)都給予細心指導和不懈的支持,使我得以最終完成畢業(yè)論文設計。 此外，本文最終得以順利完成，也是與數(shù)學系其他老師的幫助分不開的，雖然他們沒有直接參與我的論文指導，但在這個過程中卻給我提供了不少的意見，提出了一系列可行性的建議，在此向他們表示深深的感謝！ 最后再一次感謝所有在畢業(yè)設計中曾經(jīng)幫助過我的良師益友和同學，以及在設計中被我引用或參考的論著的作者。 19