第五章-定積分
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第五章 定積分 一、內容精要 （一） 基本概念 定積分的概念是由求曲邊梯形面積，變力作功，已知變速直線運動的速度求路程，密度不均質線段的質量所產生。 定義3.3 設函數f(x)在閉區(qū)間上有定義，在閉區(qū)間[a,b]內任意插入n-1個分點將分成 n個小區(qū)間，記，，作乘積（稱為積分元），把這些乘積相加得到和式（稱為積分和式）設，若極限存在唯一且該極限值與區(qū)是[a,b]的分法及分點的取法無關，則稱這個唯一的極限值為函數f(x)在上的定積分，記作，即. 否則稱f(x)在上不可積. 注1由牛頓萊布尼茲公式知，計算定積分與原函數有關，故這里借助了不定積分的符號。 注2若存在，區(qū)間進行特殊分割，分點進行特殊的取法得到的和式極限存在且與定積分的值相等，但反之不成立，這種思想在考題中經常出現，請讀者要真正理解。 注3定積分是否存在或者值是多少只與被積函數式和積分區(qū)間有關與積分變量用什么字母表示無關，即 定積分的幾何意義: 若f(x)在上可積，且則表示曲線與直線所圍成的曲邊梯形的面積. 同樣，變力所作的功（其中f(x)是變力）變速直線運動的路程（是瞬時速度），密度不均質直線段的質量（其中是線密度）。 規(guī)定 廣義積分 定義3.4 設函數在區(qū)間上連續(xù)，稱記號 （1） 為函數在無窮區(qū)間上的廣義積分（或第一類廣義積分）若（1）式右端極限存在，稱廣義積分收斂，該極限值稱為廣義積分的值，否則稱廣義積分發(fā)散。 由在連續(xù)必有原函數，設的原函數為。于是 從而廣義積分可以按照正常定積分計算方式來計算，即 若（存在）=A，則收斂，且若不存在，則發(fā)散。 同理可得 若存在，則廣義積分收斂，否則發(fā)散。 若，都存在，則收斂，否則發(fā)散。 定義3.5 設在區(qū)間上連續(xù)，不存在（稱a點為瑕點），且，稱記號 與上面研究方式相同，可得 若存在，則廣義積分收斂，否則發(fā)散。 同理若在上連續(xù)，不存在（稱b點為瑕點），有 若在上連續(xù)，不存在（稱c點為瑕點），定義 當且僅當都收斂時，收斂，且值等于的值之和。 注 若在上連續(xù)，（常數），則可看成正常積分， 事實上，定義知在上連續(xù)，即存在，而，由于在上連續(xù)，知變下限函數在上連續(xù)，有，即故可看成正常積分。 若廣義積分收斂，也有線性運算法則，不等式性質，也有湊微分，變量替換，分部積分公式，換句話說可以像正常的定積分一樣運算。 第一p廣義積分（a>0，常數）. 當時， 當時， 知時收斂，時發(fā)散 第二p廣義積分. 令，有 由第一p廣義積分知，當，即時收斂，當，即時發(fā)散。 （二）重要定理與公式 定理3.2 若函數f(x)在閉區(qū)間上可積，則f(x)在上有界，反之不成立。 例 . 事實上，因為不論把[0，1]分割得多么細，在每個小區(qū)間中，總能找到有理數，無理數，知 知不存在。 定理3.3 若f(x)在閉區(qū)間上連續(xù)，則f(x)在上可積，反之不成立. 定理3.4 若f(x)在閉區(qū)間上只有有限個間斷點且有界，則f(x)在上可積，反之不成立. 定理3.5 若f(x)在閉區(qū)間上單調，則f(x)在上可積，反之不成立. 定積分的性質 性質1 性質2 （線性運算法則）設在上可積，對任何常數則 . 該性質用于定積分的計算與定積分的證明. 性質3 （區(qū)間的可加性），若f(x)在以a,b,c為端點構成的最大區(qū)間上可積，則不論a,b,c順序如何，有 該性質用于計算分段函數的定積分與定積分的證明. 性質4 若f(x)在上可積且則. 性質5 若f(x),g(x)在上可積且則 性質6 若f(x)在上連續(xù)，且f(x) 0則 性質7 若f(x),g(x)在上連續(xù)且但,則. 性質8 若f(x)在上可積，則. 性質9 若f(x)在上可積，在區(qū)間上，m≤f(x)≤M，m，M是常數，則 性質4、5、6、7、8、9主要用于定積分不等式的證明及不通過定積分的計算，估計定積分值的范圍. 性質10 （積分中值定理）若f(x)在閉區(qū)間上連續(xù)，則至少存在一點，使 而稱為f(x)在區(qū)間上的平均值，即閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數f(x)的平均值是 注：這里的與是不同的。 性質131 變上限積分求導定理 設f(x)連續(xù)，可導，則 1．定積分計算的方法 （1）牛頓一萊布尼茲公式 若f(x)在上連續(xù),則 . （2）湊微分 （3）變量替換 （4）分部積分 設在上導數連續(xù)，則 具體的用法是 如果能夠計算出就可以計算出 定積分的湊微分、變量替換、分部積分與不定積分中三種方法適合的被積函數相同，即不定積分用三種的哪一種方法，定積分也用三種方法的哪一種。 （5）設f(x)在上連續(xù)，則 事實上， 而 故得證 推論 證 由于 且為偶函數， 為奇函數，于是 （6）設f(x)為周期函數且連續(xù)，周期為T，則. 事實上 由于于是 （7）設f(x)在[0,1]上連續(xù)，則 事實上 移項兩邊同除以2得. 微元法 根據所給條件，畫圖，適當建立坐標系，在圖中把所需曲線的方程表示出來，確定要求量Q所分布的區(qū)間且區(qū)間上的總量Q具有等于各小區(qū)間上部分量之和的特點. （1）取近似求微元.選取區(qū)間。寫出部分量的近似值即 要求是的線性主部即計算的過程中，可以略的高階無窮小。 這一步是關鍵、本質的一步，所以稱為微元分析法或簡稱微元法. （2）得微分. （3）計算積分. 注：第一步一定要把表示成x的函數與的乘積形式. 由，于是又可寫成下面的步驟： （1）選取求的線性主部，, （2） 二、考題類型、解題策略及典型例題 類型1.1涉及到定積分的方程根的存在性 解題策略利用積分中值理，定積分的13條性質，尤其是變上限積分求導定理及微分中值定理，證明方法與技巧與第三章我們介紹的證明思想完全類似。 例3.2.1設函數f(x)在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內可導，且證明在（0。1）內存在一點，使. 分析 由結論知對被積函數用羅爾定理. 證由積分中值定理知，在上存在一點c，使 且，由f(x)在(0，c)上連續(xù)，在[0，c]內可導，f(0)=f(c)，由羅爾定理知至少存在一點使 類型1.2涉及到定積分的適合某種條件的等式. 解題策略利用積分中值理，定積分的13條性質，尤其是變上限積分求導定理及微分中值定理，證明方法與技巧與第三章我們介紹的證明思想完全類似。 例3.2.2 設在[0,1]上連續(xù)，在（0，1）內可導，且滿足 證明至少存在一點,使 分析 由前面的例知原理相同，對被積函數用羅爾定理. 證 由及積分中值定理，知至少存在一點，使得 令由在[c,1]上連續(xù)，在（c,1）內可導。由羅爾定理知，至少存在一點，使得，由 得 即 類型1.3涉及到定積分的不等式. 解題策略利用積分中值理，定積分的13條性質，尤其是變上限積分求導定理及微分中值定理，證明方法與技巧與第三章我們介紹的證明思想完全類似。 例3.2.3 設上連續(xù)且遞減，證明當0＜＜1時，。 分析 利用積分中值定理與函數的單調性. 證法一 其中0上遞減，知 0＜＜1，0＜1＜1，從而 ，即。 分析 利用函數的單調性與積分不等式性質. 證法二 ， 由0＜＜1，知 遞減，知得. 從而 . 分析 利用單調性定理與積分中值定理. 證法三 要證原不等式成立，只要證成立，令， 由 （1） 成立，由內可導，且 其中知上遞減，又0＜＜1，有 即（1）式成立，由每一步可遞，故原等式成立。 類型1.4 涉及到定積分的等式證明. 解題策略 用變量代換較多或利用周期函數的性質. 例3.2.4 證明. 證 類型1.5 涉及到定積分變上下限函數的等式證明. 解題策略 用分變上下限函數的求導，注意要化成標準形式.以下兩題類似. 例3.2.5 設連續(xù)函數f(x)滿足 . 分析 要化成變上下限函數的標準形式，然后等式兩邊對x求導 解 令，有 從而得到 ，令x=1有 例3.2. 6 求連續(xù)函數f(x)，使?jié)M足 分析 通過變量代換把左邊的積分化成變上限函數的標準形式，然后等式兩邊對x求導 解 代入等式并化簡有 ， 等式兩邊同時對x求導有 ， 得. 于是 . 分析 通過變量代換把左邊的積分化成變上限函數的標準形式，然后等式兩邊對x求導 類型1.6 涉及到f(x)與其定積分的等式，求f(x) 解題策略 令該積分為k,求出k，從而求出f(x) 例3.2.7 設連續(xù)函數f(x) 滿足. 解 設由于 得. 例3.2.8 已知f(x)滿足方程 分析如果令又有一個等式中就會有兩個未知數，解不出來，因此把等式兩邊平方后再積分. 解 設 得兩邊平方后再積分有 整理得 ，解得，所以 類型1.7 上連續(xù)f(x)定積分的計算. 解題策略利用區(qū)間的對稱性與被積函數的奇偶性 例3.2.9 計算. 分析 利用區(qū)間的對稱性與被積函數的奇偶性. 解 原式 （利用定積分幾何意義）. 類型1.8定積分的計算. 解題策略利用定積分的線性運算法則、湊微分、變量代換、分部積分 例3.2.10 計算. 解 原式 。 例3.2.11 計算. 解法一 原式 . 解法二 令則于是 原式 例3.2.12 計算. 分析 被積函數含有根式不能湊微分，用變量代換. 解 設則于是 原式 類型1.9求平面圖形的面積 解題策略（i）曲線圍成的曲邊梯形面積是 . 事實上，由所求平面圖形面積S分布 在區(qū)間[a,b]上. （1）選取， . （2）. 注：計算時，需去絕對值進行定積分計算. （ii）特別地圍成的平面圖形面積S為 . （iii）同理 所圍成的平面圖形面積S為 . （iv）特別地所圍成的平面圖形面積S為 . 如果所求平面圖形是屬于上述情形之一，就不需畫圖，直接用上述公式，否則就需畫圖選用相應公式. 求平面圖形的步驟： （1）求出邊界曲線交點，畫出經過交點的邊界曲線，得所求平面圖形（若邊界曲線簡，可在畫圖的過程中求交點）。 2．根據具體情形選擇x或y作為自變量，選擇上述相應的公式計算或把所求平面形分成幾塊，每一塊可選用上述相應公式計算，然后大塊面積等于小塊面積之和。 例3.2.13 計算由拋物線及直線所圍成的平面圖形的面積。 解 由 即交點為（2，-2），（8，4）. 故所求的曲邊形是由直 線，曲線及直線所 圍成（圖3-3），其面積 . 注：本題如用公式（4.3）來計算，就需要將整個面積分成兩部分S1及S2，分別計算S1，S2，相加才得讀者可以計算一下，這樣做就復雜多了。 例3.2.14 計算曲線及直線所圍成的平面圖形面積。 解 曲邊形如圖3-4所示，故有 注：曲線較簡單時，可在畫曲線的過程中求交點。 圖3-4 圖5-9 類型1.10求立體的體積 解題策略（a）設Ω為一空間立體，它夾在垂直于Ox軸的兩平面x=a與x=b之間（a
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- 第五 積分
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