經濟數(shù)學基礎教案

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備 課 教 案 第 一 周 星期五 課 題 函數(shù) 所需課時 2 教學目的 理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的幾何特性，為研究微分做好準備。掌握基本初等函數(shù)的各種狀態(tài)，為研究更深一步的函數(shù)作準備。 重 點 函數(shù)的概念，函數(shù)的幾何特性，各種基本初等函數(shù)的性態(tài)。 難 點 反函數(shù)的理解，分段函數(shù)的理解，復合函數(shù)的理解。 教學過程： 一、組織教學 點名、組織課堂紀律 二、復習引入 同學們就以前學過的函數(shù)的知識談談自己對函數(shù)的理解。 三、講授新課 一、 函數(shù)的概念： 1、 函數(shù)的定義： 1） Def：設x和y是兩個變量，D是給定的非空數(shù)集。若對于每一個數(shù)xD，按照某一確定的對應法則f，變量y總有唯一確定的數(shù)值與之對應，則稱y是x的函數(shù)，記作y=f(x), xD。 Note：（1）x稱為自變量, y稱為因變量或函數(shù)； （2）D稱為定義域, 記作D f, 即D f=D； （3）f稱為函數(shù)的對應法則； （4）集合{ y|y=f(x), xD}稱為值域。 當自變量x在定義域內取定某確定值x0時，因變量y按照所給函數(shù)關系求出的對應值y0叫做當x= x0時的函數(shù)值，記作或f (x0) 例1：已知，求 解： 例2：求下列函數(shù)的定義域 （1） （2） （3） （4） （5） 解：（1）在分式中，分母不能為零，所以，解得，且 即定義域為。 （2）在偶次方根中，被開方式必須大于等于零，所以，解得即定義域為 （3）在對數(shù)式中，真數(shù)必須大于零，所以，解得，即定義域為 （4）反正弦或反余弦中的式子的絕對值必須小于等于1，所以有，解得，即定義域為[0，1] （5）該函數(shù)為（3）（4）兩例中函數(shù)的代數(shù)和，此時函數(shù)的定義域為（3）（4）兩例中定義域的交集，即 小結：定義域的求解原則： （1） （2） （3） （4） （5）同時含有上述四種情況的人以兩種或兩種以上時，要求各部分都成立的交集。 2）鄰域： 設為兩個實數(shù)，，則稱滿足不等式即以為中心的開區(qū)間為點的鄰域。 點為該鄰域的中心，為該鄰域的半徑。 四、練習： 求下列函數(shù)的定義域： （1） （2） （3） （4） （5） 五、歸納小結 本節(jié)主要復習了函數(shù)的定義及函數(shù)定義域值域的求法。這部分內容的掌握將為我們以后的繼續(xù)學習打下良好的基礎。 課后作業(yè)： 1、求函數(shù)的定義域；2、作函數(shù)的圖像 反 思 錄： 備 課 教 案 第 二 周 星期三 課 題 函數(shù) 所需課時 2 教學目的 （1）理解復合函數(shù)、分段函數(shù)的概念。 （2）掌握函數(shù)的特性。 重 點 函數(shù)特性的理解。 難 點 函數(shù)特性的理解。 教學過程： 一、組織教學 點名、組織課堂紀律 二、復習引入 1、什么叫做函數(shù)？ 2、求下列函數(shù)的定義域及值域。 （1） （2） 三、講授新課 分段函數(shù) 對于自變量的不同取值范圍，又不完全相同的對應法則的函數(shù)，稱為分段函數(shù)。 例3：函數(shù). 這是一個分段函數(shù), 其定義域為D=[0, 1](0, +)= [0, +). 當0x1時, ; 當x>1時, y=1+x. ; ; f(3)=1+3=4. Note：（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)； （2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集。 3、顯函數(shù)和隱函數(shù) 若函數(shù)中的因變量y用自變量x的表達式直接表示出來，這樣的函數(shù)稱為顯函數(shù)。 一般地，若兩個變量x,y的函數(shù)關系用方程F(x,y)=0的形式表示，即x,y的函數(shù)關系隱藏在方程里，這樣的函數(shù)叫做隱函數(shù)。 例如： 有的隱函數(shù)可以轉化成顯函數(shù)，由隱函數(shù)轉化成顯函數(shù)的過程叫做隱函數(shù)的顯化。 二、函數(shù)的幾種特性： 1、函數(shù)的有界性 設函數(shù)f(x)的定義域為D, 數(shù)集XD. 如果存在數(shù)K1, 使對任一xX, 有f(x)K1, 則稱函數(shù)f(x)在X上有上界, 而稱K1為函數(shù)f(x)在X上的一個上界. 圖形特點是y=f(x)的圖形在直線y=K1的下方. 如果存在數(shù)K2, 使對任一xX, 有f(x) K2, 則稱函數(shù)f(x)在X上有下界, 而稱K2為函數(shù)f(x)在X上的一個下界. 圖形特點是, 函數(shù)y=f(x)的圖形在直線y=K2的上方. 如果存在正數(shù)M, 使對任一xX, 有| f(x) |M, 則稱函數(shù)f(x)在X上有界; 如果這樣的M不存在, 則稱函數(shù)f(x)在X上無界. 圖形特點是, 函數(shù)y=f(x)的圖形在直線y= - M和y = M的之間. 函數(shù)f(x)無界, 就是說對任何M, 總存在x1X, 使| f(x) | > M. 例如 (1)f(x)=sin x在(-, +)上是有界的: |sin x|1. (2)函數(shù)在開區(qū)間(0, 1)內是無上界的. 或者說它在(0, 1)內有下界, 無上界. 這是因為, 對于任一M>1, 總有x1: , 使 , 所以函數(shù)無上界. 函數(shù)在(1, 2)內是有界的. 2、函數(shù)的單調性 設函數(shù)y = f(x)的定義域為D, 區(qū)間I D. 如果對于區(qū)間I上任意兩點x1及x2, 當x1 f(x2), 則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調減少的. 單調增加和單調減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調函數(shù). 函數(shù)單調性舉例: 函數(shù)y = x2在區(qū)間(-, 0]上是單調增加的, 在區(qū)間[0, +)上是單調減少的, 在（-, +）上不是單調的. 3、函數(shù)的奇偶性 設函數(shù)f(x)的定義域D關于原點對稱(即若xD, 則-xD). 如果對于任一xD, 有f(-x) = f(x), 則稱f(x)為偶函數(shù). 如果對于任一xD, 有f(-x) = -f(x), 則稱f(x)為奇函數(shù). 偶函數(shù)的圖形關于y軸對稱, 奇函數(shù)的圖形關于原點對稱, 奇偶函數(shù)舉例: y=x2, y=cos x 都是偶函數(shù). y=x3, y=sin x都是奇函數(shù), y=sin x+cos x是非奇非偶函數(shù). 例4： 判斷函數(shù)的奇偶性. 解 函數(shù)的定義域為D=,又因為 所以函數(shù)是奇函數(shù). 4、函數(shù)的周期性 設函數(shù)f(x)的定義域為D. 如果存在一個正數(shù)l , 使得對于任一xD有(xl)D, 且 f(x+l) = f(x) 則稱f(x)為周期函數(shù), l 稱為f(x)的周期. 周期函數(shù)的圖形特點: 在函數(shù)的定義域內, 每個長度為l 的區(qū)間上, 函數(shù)的圖形有相同的形狀. 例如,的周期,的周期,正弦型曲線函數(shù)的周期為. 四、練習 已知函數(shù)，求f(0.04)和f(9)。 五、歸納小結 本節(jié)主要總結了函數(shù)的幾種特性，適當時候可以結合圖像來分析理解。 課后作業(yè)： 求函數(shù) 反 思 錄： 備 課 教 案 第 三 周 星期五 課 題 基本初等函數(shù) 所需課時 2 教學目的 （1）理解反函數(shù)，會求一個函數(shù)的反函數(shù)。 （2）掌握五類基本初等函數(shù)。 重 點 掌握五類基本初等函數(shù)。 難 點 理解反函數(shù)，會求一個函數(shù)的反函數(shù)。 教學過程： 一、組織教學 點名、組織課堂紀律 二、復習引入 1、計算： ；；；；；； 2、怎樣畫函數(shù)的圖像？ 三、講授新課 一、初等函數(shù) 1、反函數(shù) 定義1.1 設函數(shù).若對于任意一個,D中都有惟一的一個,使得成立,這時是以Z為定義域的的函數(shù),稱它為的反函數(shù),記作. 在函數(shù)中, 是自變量,表示函數(shù).但按照習慣,我們需對調函數(shù)中的字母,,把它改寫成 . 今后凡不特別說明,函數(shù)的反函數(shù)都是這種改寫過的形式. 函數(shù)與互為反函數(shù),它們的定義域與值域互換. 在同一直角坐標系下, 與互為反函數(shù)的圖形關于直線對稱。 例如,函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù),其圖形如圖1.1所示,關于直線對稱. 函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù),它們的圖形在同一坐標系中是關于直線對稱的.如圖1.2所示. 1 -2 0 1 0 1 -2 　　　　　　　 圖　1.1 　 圖　1.2 定理１.１（反函數(shù)存在定理）　單調函數(shù)必有反函數(shù),且單調增加(減少)的函數(shù)的反函數(shù)也是單調增加(減少)的. 求反函數(shù)可以按以下步驟進行: (1) 從方程中解出惟一的,并寫成; (2) 將中的字母對調,得到函數(shù),這就是所求的函數(shù)的反函數(shù). 2 . 復合函數(shù) 定義1.2 假設有兩個函數(shù),與對應的值能使有定義,將代入,得到函數(shù).這個新函數(shù)就叫做是由和經過復合而成的復合函數(shù),稱為中間變量. 例如,由可以復合成復合函數(shù). 復合函數(shù)不僅可用兩個函數(shù)復合而成,也可以有多個函數(shù)相繼進行復合而成.如由可以復合成復合函數(shù). 需要指出,不是任何兩個函數(shù)都能復合成復合函數(shù).由定義易知,只有當?shù)闹涤蚺c的定義域的交集非空時,這兩個函數(shù)才能復合成復合函數(shù).例如函數(shù)和就不能復合成一個復合函數(shù).因為 的值域為,而的定義域為，顯然無意義. 3 . 基本初等函數(shù) 我們學過的五類函數(shù):冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù). 為了便于應用,下面就其圖像和性質作簡要的復習.參看表1-1 . 表1-1 基本初等函數(shù)及圖像性質 序號 函數(shù) 圖像 性質 1 冪函數(shù) 　 　 (1,1) 0 　 在第一象限，時函數(shù)單增；時函數(shù)單減．都過點（1，1） 2 指數(shù)函數(shù) 　 1 0 時函數(shù)單增；時函數(shù)單減． 共性：過（0，1）點，以軸為漸近線 3 對數(shù)函數(shù) 0 　1 時函數(shù)單增；時函數(shù)單減． 共性：過（1，0）點，以軸為漸近線 4 三角函數(shù) 正弦函數(shù) 　 1 - 　 0 　 -1 奇函數(shù),周期T=2,有界 余弦函數(shù) 　 1 - 0 　 -1 偶函數(shù),周期T=2,有界 正切函數(shù) 　- 0　 奇函數(shù),周期T=,無界 余切函數(shù) 　　 - - 　0 奇函數(shù),周期T=,無界 5 反三角函數(shù) 反正弦函數(shù) 　 -1 0 　1 　 　- 奇函數(shù)，單調增加，有界 反余弦函數(shù) -1 0 1 ,單調減少，有界 反正切函數(shù) 0 奇函數(shù)，單調增加，有界，為兩條水平漸近線 反余切函數(shù) 0 單調減少，有界，為兩條水平漸近線 四、練習 1、基本初等函數(shù)有哪幾類？ 2、是不是所有函數(shù)都有反函數(shù)？ 五、歸納小結 這一節(jié)課我們復習了五類基本初等函數(shù)，它們的性質可以結合圖像來理解和記憶。 課后作業(yè)： 指出下列函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)（或簡單函數(shù)）構成？ (1) (2) (3) 反 思 錄： 備 課 教 案 第 三 周 星期三 課 題 初等函數(shù) 所需課時 2 教學目的 理解初等函數(shù)的定義，并能把兩個以上的基本初等函數(shù)合并成一個初等函數(shù)；也能把一個初等函數(shù)拆分成幾個基本初等函數(shù)。 重 點 把兩個以上的基本初等函數(shù)合并成一個初等函數(shù)和把一個初等函數(shù)拆分成幾個基本初等函數(shù)。 難 點 把兩個以上的基本初等函數(shù)合并成一個初等函數(shù)和把一個初等函數(shù)拆分成幾個基本初等函數(shù)。 教學過程： 一、組織教學 點名、組織課堂紀律 二、復習引入 填空： 1、糾正作業(yè)。 2、畫出五種基本初等函數(shù)的草圖。 三、講授新課 定義1.3 由基本初等函數(shù)經過有限次四則運算或有限次復合所構成的，并能用一個式子表示的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù). 【例1．4】 下列函數(shù)是由哪幾個簡單函數(shù)復合而成的. （1） （2） （3） 解 （1）令，則. 于是 是由，復合而成的. （2） 令，，則. 所以 是由，，復合而成的. （3） 令，，則. 所以 是由 ，，復合而成的. 本課程研究的函數(shù)，主要是初等函數(shù).凡不是初等函數(shù)的函數(shù)，皆稱為非初等函數(shù). 【例1．5】將下列幾個基本初等函數(shù)復合成一個初等函數(shù)。 （1） . （2） （3），， 四、練習 將下列幾個基本初等函數(shù)復合成一個初等函數(shù)。 （1） . （2） （3）， 五、歸納小結 初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經過有限次的四則運算及有限次的復合所構成的函數(shù)。 注意：要掌握好將一個初等函數(shù)分解成較簡單函數(shù)，其步驟是自外層向內層逐層分解，切忌漏層。 課后作業(yè)： 2、判定下列函數(shù)的奇偶性？ (1) (2) (3) 3、作下列函數(shù)的圖像？ (1) (2) (3) 反 思 錄： 備 課 教 案 第 三 周 星期五 課 題 常用的經濟函數(shù) 所需課時 2 教學目的 1、理解幾個常用的經濟函數(shù) 2、會用函數(shù)的知識解決經濟問題 重 點 理解經濟函數(shù)的含義及應用 難 點 運用經濟函數(shù)解決經濟問題 教學過程： 一、組織教學 點名、組織課堂紀律 二、復習引入 函數(shù)是由 ， 這兩個函數(shù)復合而成的。 三、講授新課 經濟函數(shù)主要包括： 1、需求函數(shù)q(p) (p為價格) 2、成本函數(shù)C(q) 3、收入函數(shù)R(q) 4、利潤函數(shù)L(q) 1 需求函數(shù)與價格函數(shù) 1.1 線性需求函數(shù) 1.2 二次曲線需求函數(shù) 1.3 指數(shù)需求函數(shù) 注：一般地，需求量隨價格上漲而減少。因此，通常需求函數(shù)是價格的單調減少函數(shù)。 價格函數(shù)反映商品需求和價格的關系。 2 供給函數(shù) 一般地，商品供給量隨商品價格的上漲而增加。因此，商品供給函數(shù)是商品價格的單調增加函數(shù)。 3 總成本函數(shù)（單調增加函數(shù)） 注：生產成本包括固定成本和可變成本。 4 收入函數(shù)利潤函數(shù) 總收入和平均收入，其中是商品的價格函數(shù)，它們均是出售商品數(shù)量的函數(shù)。 總利潤和平均利潤，均是產量的函數(shù) 注：利潤函數(shù)出現(xiàn)的三種情況： （1） 有盈余生產 （2） 虧損生產 （3） 無盈虧生產，此時的產量稱為無盈虧點（保本點）。 經濟函數(shù)的應用 例1 生產某種產品的固定成本為1萬元，每生產一個該產品所需費用為20元，若該產品出售的單價為30元，試求： (1) 生產x件該種產品的總成本和平均成本； (2) 售出x件該種產品的總收入； (3) 若生產的產品都能夠售出，則生產x件該種產品的利潤是多少？ 解：（1）生產x件該種產品的總成本為： 平均成本為 （2）售出x件該種產品的總收入為 （3）生產x件該種產品的利潤為 四、練習 生產某種產品的固定成本為3萬元，每生產一個該產品所需費用為10元，若該產品出售的單價為50元，試求： 1、生產x件該種產品的總成本和平均成本； 2、售出x件該種產品的總收入； 3、若生產的產品都能夠售出，則生產x件該種產品的利潤是多少？ 五、歸納小結 本次課的重要性在于引導學生，在經濟分析中使用數(shù)學方法往往能夠簡化實際問題，能夠更方便快捷的解決實際問題。 課后作業(yè)： 1、生產某種產品的固定成本為5萬元，每生產一個該產品所需費用為10元，若該產品出售的單價為30元，試求： (4) 生產x件該種產品的總成本和平均成本； (5) 售出x件該種產品的總收入； 若生產的產品都能夠售出，則生產x件該種產品的利潤是多少？ 2、預習第二章“極限” 反 思 錄： 備 課 教 案 第 四 周 星期三 課 題 極限的概念 所需課時 2 教學目的 1.理解極限的概念，函數(shù)左極限與右極限的概念。 2.熟練掌握和時f(x)的極限存在的充要條件 3.理解無窮大、無窮小的概念， 4.掌握無窮大的判定方法和無窮小的概念及性質，會用無窮小量的性質求極限 重 點 函數(shù)極限與數(shù)列極限的概念；無窮大量與無窮小量的概念及性質. 難 點 1.函數(shù)極限的定義 2.無窮大量與無窮小量的概念和性質及其應用 教學過程： 一、組織教學 點名、組織課堂紀律 二、復習引入 一、導入新課 1.寫出下列函數(shù)的復合過程 （1） （2） 思考：若，當無限的靠近1時，值怎樣變化？ 二、講授新課 （一）函數(shù)的極限 （1）定義 函數(shù)y=f(x)，當自變量x無限接近于某個目標時（一個數(shù)x，或+或—），因變量y無限接近于一個確定的常數(shù)A，則稱函數(shù)f(x)以A為極限。 規(guī)定： x從x的左右兩側無限接近于x,記x x x從x的左兩側無限接近于x,記x x x從x的右兩側無限接近于x,記x x x無限增大時，用記號x + x無限減小時，用記號x — 無限增大時，用記號x （2）點x的鄰域 N(x，)=(x—，x+)，其中很小的正數(shù)， X的去心鄰域N(，)=. 1、 x x時函數(shù)的極限 舉例說明：x 1時，函數(shù)無限接近于多少？ 觀察：當：x 1時，f(x)=x+1，無限接近2 當：x 1時，g(x)=，無限接近2 f(x)在x=1有定義，g(x)在x=1處無定義 定義1 如果當x x時,函數(shù)無限趨近于一個確定的常數(shù), 則稱為函數(shù)當 x x時的極限,記作f(x)=A或 (當 x x時).此時也稱存在。如果當x x時, 函數(shù)不趨近于任何一個確定的常數(shù),則稱不存在。 如 ： ，又如= 2 注意 ： f(x)=在 處無定義, 但當 時,函數(shù)f(x)=無限趨近于一個確定的常數(shù)2,所以=2。 結論：函數(shù)當 x x時的極限是否存在，與在點處是否有定義無關. 如上舉例f(x)=在 處無定義, 但 = 2. 定義2 右極限 當x x，有 定義3 左極限 當x x，有 函數(shù)的左極限和右極限統(tǒng)稱為函數(shù)的單側極限。 定理1 [極限存在的充分必要條件] 函數(shù) 當時的極限存在的充分必要條件是，當時的左右極限都存在并且相等.即 注：求分段函數(shù)的極限的方法就是計算它在指定點的左極限和右極限是否存在并且是否相等。 例如：判斷下列函數(shù)在指定點的是否存在極限 ⑴ （當時） ⑵ （當時） 解：⑴ ∵ ， ∴ 函數(shù)在指定點的極限不存在。 ⑵ ∵， ∴ 函數(shù)在指定點的極限=0 定理2 f(x)=Af(x)=f(x)=A （二）數(shù)列的極限 定義4 對于數(shù)列{}，如果當n無限增大時，通項無限接近于某個確定的常數(shù)A，則稱A為數(shù)列的極限，或稱數(shù)列{}收斂于A，記為=A或A（n） 定理3 [單調數(shù)列極限存在定理] 單調增加(上升)數(shù)列： 單調減少(下降)數(shù)列： 單調增加數(shù)列和單調減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調數(shù)列。 [單調有界原理]：單調有界數(shù)列必有極限。 （三）極限的性質 1、唯一性 若，，則 2、有界性 若，則存在的某一去心鄰域 N(，)，在N(，)內函數(shù)有界. 3、保號性 若且，則存在某個去心鄰域 N(，)，在N(，)內 4、夾逼準則 這個定理稱為夾逼定理，它同樣適用于的情況 在這個公式里x趨近于哪個數(shù)是非常重要的，x趨近于不同的數(shù),極限是不同的。 （四）關于極限的幾點說明 1． 一個變量前加上記號“l(fā)im”后，是個確定值。 例：正n邊形面積，= 圓面積 2． 關于“x”的理解：只要求在的充分小鄰域有定義。與在點和遠離點有無意義無關。 例：在求分段函數(shù)的極限時尤為重要。 3． 常數(shù)函數(shù)的極限等于其本身。即：C=C （五）無窮小量與無窮大量 1、無窮小量概念 定義5 極限為0的量稱為無窮小量，簡稱無窮小； 注：1、無窮小量不是很小的數(shù),它也是極限的概念。 2、數(shù)零是唯一可作為無窮小的常數(shù)。 3、無窮小指量的變化狀態(tài)，而不是量的大小。 2、 一個量無論多么小，都不能是無窮小，零唯一例外。 當x→a（或∞）時，如果函數(shù)f(x)的極限為0，則稱當x→a（或∞）時，f(x)是無窮小量。 若數(shù)列{}的極限為0，則{}是無窮小量。 例如：，所以，當x→0時，sin x 是無窮小量。 同樣，當x→0時 (>0)，1-cosx，arcsinx 等都是無窮小量。 當x→+∞時， ，所以{}是無窮小量. 定理4 極限與無窮小之間的關系： 無窮小量的性質 定理5 有限個無窮小量的代數(shù)和是無窮小量。 例如，當x→0時，x+sinx也是無窮小量 定理6 無窮小量與有界量之積是無窮小量。 例如，當x→0時，xsinx也是無窮小量。 推論1：任一常數(shù)與無窮小量之積是無窮小量。 例如，當x→0時，3sinx也是無窮小量。 推論2：有限個無窮小量之積是無窮小量。（注：兩個無窮小之商未必是無窮?。? 2、無窮大量 當x→（或∞）時，如果函數(shù)f(x)的絕對值無限增大，則稱當x→（或∞）時，f(x)是無窮大量。記作 f(x)=∞,或f(x)→∞。 定義6 若（或）,則稱為當（或 ）時的無窮大量,簡稱無窮大。 如=，表示當 時, 為無窮大. 關于無窮大量幾點說明: 1.無窮大量不是一個很大的數(shù),它是極限的概念; 2.無窮大量的實質是極限不存在,為了表示記作 或 . 3.若數(shù)列{}當n→+∞時，它項的絕對值無限增大，則{}是無窮大量。 4.如果當x→（或∞）時，函數(shù)f(x)是無窮大量，那么就是當x→（或∞）時的無窮小量，反過來，如果當x→（或∞）時，函數(shù)f(x)是非零無窮小量，那么就是當x→（或∞）時的無窮大量。 即⑴無窮大量的倒數(shù)是無窮小量。⑵無窮小量(非零)的倒數(shù)是無窮大量。(3)無窮大必無界，但反之不真。 因此，證明一個變量是無窮小量的方法就是證明它的極限為0， 證明一個變量是無窮大量的方法就是證明它倒數(shù)是無窮小量。 四、練習 判斷下列函數(shù)在指定點的是否存在極限 ⑴ （當時） ⑵ （當時） 五、歸納小結 理解極限的概念，函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關系；熟練掌握和時f(x)的極限存在的充要條件，理解無窮大、無窮小的概念，掌握無窮大的判定方法和無窮小的概念及性質，會用無窮小量的性質求極限. 課后作業(yè)： 反 思 錄： 備 課 教 案 第 四 周 星期五 課 題 極限的運算（一） 所需課時 2 教學目的 掌握函數(shù)極限的運算法則及其推論，能運用運算法則求極限 重 點 函數(shù)極限的運算法則及其推論 難 點 函數(shù)極限的運算法則的靈活運用 教學過程： 一、組織教學 點名、組織課堂紀律 二、復習引入 一、導入新課 1、函數(shù)極限是怎樣定義的？函數(shù)極限存在的充要條件是什么？ 2、無窮小的性質有哪些？ 二、講授新課 （一）極限的運算法則 設在同一變化過程中（此處省略了自變量的變化趨勢，下同）及都存在，則有下列運算法則： 法則1、[f(x)g(x)]= f(x) g(x) 法則2、[f(x) g(x)]= f(x) g(x) 法則3、=（g(x)0） 提示：法則的證明不作要求. (1)直接代入求值 例1 求(3x-4x+1) 解：(3x-4x+1)=32-42+1=5 例2 求 解：== - 例3 求 解：=== 小結：時，可直接代入（若代入后令分母為零?？上燃s分后再代入） 舉例：1、6x 2、（6x+5） 3、 4、 5、 6、 （2）型 例4 求 解：== 小結：時，型的極限，可用分子分母中x的最高次冪除之 課堂練習1、計算 （3）-型，型， 例5 求下列函數(shù)極限 1、（-） 2、 3、 解：1、（-）= ===1 2、= === 3、==0 小結：1題可看成直接代值的特殊情況 2題是“型”經?？赏ㄟ^分母、分子有理化解決 3題是無窮小與有界量的積為無窮小 四、練習 求下列極限 1、 2、 3、 五、歸納小結 掌握函數(shù)極限的運算法則及其推論，能運用運算法則求極限。特別情形：時，型的極限，可用分子分母中x的最高次冪除之；型經?？赏ㄟ^分母、分子有理化解決；無窮小與有界量的積為無窮小. 課后作業(yè)： 求下列極限 (1) (2) (3) 反 思 錄： 備 課 教 案 第 五 周 星期三 課 題 極限的運算（二） 所需課時 2 教學目的 1.掌握兩個重要極限，會運用兩個重要極限求極限 2.理解高階、低階、同階及等價無窮小量的定義 3.掌握判定等價無窮小量的充要條件及常用等價無窮小量 4.會運用等價無窮小量求函數(shù)的極限 重 點 1.兩個重要極限及其應用 2.高階、低階、同階和等價無窮小的定義與判定及其應用 難 點 1.兩個重要極限的應用 2.等價無窮小量的判定及其在極限運算中的應用 教學過程： 一、組織教學 點名、組織課堂紀律 二、復習引入 考察極限 觀察：當x0時函數(shù)的變化趨勢 x(弧度) 0.50 0.10 0.05 0.04 0.03 0.02 ... 0.9585 0.9983 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 ... 當x取正值趨近于0時，1，即=1； 當x取負值趨近于0時，-x0, -x>0, sin(-x)>0．于是 ． 三、講授新課 （二）兩個重要極限 1 =1 特點：①它是“”型 ② （三角形代表同一變量） 思考：嗎？ 例1 求 解： ==2 注：1 ==0 例2 求 解： ==1 例3 求 解： =[]= （復習二倍角） ==2=1-2 = = 例4 求 解：原式==[]=[]= 注：1、乘積的極限寫成極限的乘積時，必須每個乘積的極限存在。 2、非弦函數(shù)化有弦函數(shù) 課堂練習（一）求下列極限 1、 2、 3、 4、 5、 6、 考察極限（1+） 觀察：當x+時函數(shù)的變化趨勢 x 1 2 10 1000 10000 100000 100000 ... 2 2.25 2.594 2.717 2.7181 2.7182 2.71828 ... 當x取正值并無限增大時，是逐漸增大的，但是不論x如何大，的值總不會超過3．實際上如果繼續(xù)增大x．即當x+時，可以驗證是趨近于一個確定的無理數(shù)e＝2.718281828...． 當x-時，函數(shù)有類似的變化趨勢，只是它是逐漸減小而趨向于e． 2 （1+） = e 特點：（１） (1+無窮小) ，即1型； （２）“無窮小”與“無窮大”的解析式互為倒數(shù)， 推廣：① ② 例5 （1+） 解：原式=[]= 例6 （1+） 解：原式=[（1+）（1+）]=（1+）（1+）= 例7 （1+） 解：原式=（1+）= 例8 （1） 解：原式=[1+（）]= [1+]= 例9 （） 解：原式=（）=(1)=(1+) =(1+)(1+)= e 課堂練習（二） 習作題1（4）—（8） （三）無窮小的比較 例：當x0時，=3x，=x， = 但=0 = = 為了比較無窮小趨于零的快慢，引入無窮小階 定義：設某一極限過程中，與都是無窮小，且 = C （1）若C=0，則稱是比高階的無窮小，記成=0（） 也稱是比低階的無窮小。（2）若C0，則稱與是同階無窮小。 特別：若C=1，則稱與是等價無窮小，記為～ 等價無窮小在求兩個無窮小之比的極限時有重要作用。 常用的幾個等價無窮小代換： 當時，有～ x tanx～x arcsinx～x arctanx～x cosx～ ln(1+x) ～x ～x ～ 例10 求 解：== 例11 求 解：== 例12 求 解：== 例13 解：=== 注：1用等價代換時，必須對分子或分母的整體替換（或對分子、分母的因式進行替換） 2分子或分母中若有“+”“-”號連接的各部分不能分別作替換。 四、練習 求下列式子的極限： （1+） （1+） 五、歸納小結 掌握兩個重要極限，會運用兩個重要極限求極限，理解高階、低階、同階及等價無窮小量的定義，掌握判定等價無窮小量的充要條件及常用等價無窮小量，會運用等價無窮小量求函數(shù)的極限。特別地，用等價代換時，必須對分子或分母的整體替換（或對分子、分母的因式進行替換），分子或分母中若有“+”“-”號連接的各部分不能分別作替換。 課后作業(yè)： 求下列極限 (1) (2) (3) (4) 反 思 錄： 備 課 教 案 第 五 周 星期五 課 題 函數(shù)的連續(xù)性 所需課時 2 教學目的 1.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型。 2.了解連續(xù)函數(shù)的性質和初等函數(shù)的連續(xù)性， 3.了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質（有界性、最大值、最小值定理和介值定理），并會應用這些性質。 重 點 1.函數(shù)連續(xù)性的有關概念及其應用 2.間斷點及其分類 難 點 1．點連續(xù)性及復合函數(shù)連續(xù)性的概念及其應用 2．函數(shù)的連續(xù)性的判定 教學過程： 一、組織教學 點名、組織課堂紀律 二、復習引入 微積分學中研究種種不同性質的函數(shù)，其中有一類重要的函數(shù)，就是連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)反映了自然界中普遍存在的連續(xù)變化現(xiàn)象，如氣溫的變化，河水的流動等等。 三、講授新課 （一）函數(shù)連續(xù)性的定義 1、點連續(xù) 定義1 設y=f(x)在點的某鄰域上有定義，如果自變量的增量趨于零時，對應的函數(shù)增量也趨于零，即 則稱f(x)在點是連續(xù)的。 易知：0 即，于是有 定義2 設函數(shù)y=f(x)在點的某鄰域內有定義，若，則稱函數(shù)f(x)在點處連續(xù)，f(x)在點連續(xù)，必須滿足三個條件： （1） f(x)在點的一個鄰域內有定義 （2） 存在 （3） 上述極限值等于函數(shù)值 只有一個條件不滿足，則點就是函數(shù)f(x)的間斷點。 2、函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念 在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)，稱為在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)，該區(qū)間也稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。若連續(xù)區(qū)間包括端點，那么函數(shù)在右端點連續(xù)是左連續(xù)，在左端點連續(xù)是右連續(xù)。 定義3（間斷點的分類）：設是的一個間斷點，如果： （1）的左右極限都存在，稱為第一類間斷點，當 ，則稱為的跳躍間斷點 （2）的左右極限都存在，稱為第一類間斷點，當存在，但不等于，則稱為的可去間斷點 （3）除（1）（2）以外的，稱為的第二類間斷點，當=，稱為的無窮間斷點。 例1 設，討論f(x)在x=1處的連續(xù)性 解：f(1)=1 f(x)= =1 f(x)= (x+1)=2 即f(x)不存在 x=1是第一類間斷點，且為跳躍間斷點。 例2 設，討論f(x)在x=0處的連續(xù)性。 解：f(0)=1 x=0是第一類間斷點，且為可去間斷點。 例3 在x=1是什么間斷點。 解：函數(shù)在x=1處沒有定義，且= 則x=1為f(x)的無窮間斷點。 注：連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連綿不斷的曲線。 （二）初等函數(shù)的連續(xù)性 1、初等函數(shù)的連續(xù)性 1）基本初等函數(shù)在其定義域內是連續(xù)的，一切初等函數(shù)在定義域區(qū)間上是連續(xù)的。 2）分段函數(shù)，討論分段點 2、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 若f(x)在點連續(xù)，則 即求連續(xù)函數(shù)的極限，可歸結為計算函數(shù)值. 例4 求極限] 解：在處連續(xù) =ln(sin)=ln1=0 注：基本初等函數(shù)均連續(xù) 3、復合函數(shù)求極限的方法 定理1 設有復合函數(shù)，若=a，而函數(shù)f(u)在u=點連續(xù)，則= 例5 求極限 解：=，復合函數(shù)是由lnu和u=組成，又=e，在u=e點lnu連續(xù)。 = =-2 ， x=1為可去間斷點。 =（不存在） x=2為無窮間斷點。 （2），x=0 不存在，為第二類間斷點 （3），x=1 =2 為第一類間斷點，為跳躍間斷點。 2、復合函數(shù)求極限（利用函數(shù)的連續(xù)性求極限） 1） 2） 3） 3、根存在 1）證明方程至少有一個根介于1和2之間。 設f(x)= ，在（）連續(xù) 又f(1)=1-3-1=-3<0 f(2)=2 根據(jù)介值定理，至少存在一點，使得）=0 顯然即為方程的根。 四、練習 1．設，討論f(x)在x=1處的連續(xù)性 ２．設，討論f(x)在x=0處的連續(xù)性。 五、歸納小結 理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型，了解連續(xù)函數(shù)的性質和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質（有界性、最大值、最小值定理和介值定理），并會應用這些性質。 課后作業(yè)： 求下列極限 (1) (2) (3) （4） （5） （6） 反 思 錄： 備 課 教 案 第 六 周 星期三 課 題 導數(shù)的概念（一） 所需課時 2 教學目的 1.理解導數(shù)的概念，理解導數(shù)的幾何意義與基本物理意義。 2.理解函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系。 3.了解函數(shù)可導的充要條件：存在 重 點 導數(shù)的概念及其幾何意義 難 點 導數(shù)的幾何意義 教學過程： 一、組織教學 點名、組織課堂紀律 二、復習引入 （一）兩個實例 1． 變速直線運動的瞬時速度 一個質點在一條直線上運動,所經過的路程是時間的函數(shù). 如果質點是作勻速直線運動,質點的運動速度等于路程與時間之比,即 如果質點是作變速直線運動,它的速度隨時間變化而變化.現(xiàn)討論質點在某一時刻時的速度,即瞬時速度． 質點從時刻到這段時間間隔內,質點從位置移動到,質點經過的路程為: 質點的平均速度為： . 當較小時,平均速度可近似地表示質點在時刻的速度.且越小,這種近似程度也越好. 令,如果存在,則稱平均速度的極限為質點在 時刻的瞬時速度,即. 2. 切線問題 切線的一般定義：設有曲線:及上的一點（圖3－１）,在點 外另取上一點,作割線,當點沿曲線逐漸趨于點時,割線繞 點旋轉,而逐漸趨于極限位置,直線就稱為曲線在點處的切線．這 里極限位置的含義：只要弦長趨于零,也趨于零． 圖3-1 圖3-2 設是曲線上的一點（圖3－２）,則．在點外另取上 一點,割線的斜率為: 其中為割線的傾角，當點沿曲線趨于點時，，如果存在,則此極限就是切線的斜率,其中是切線的傾角． 上面兩個實際問題,雖然其實際意義不同,但解決問題的方法相同.都歸結為求函數(shù)增量與自變量增量之比的極限: 或 , 其中 ,稱為自變量增量, ,稱為相應于自變量增量的函數(shù)增量. 在物理學、化學、生物學、經濟學等科學領域中,還有許多實際問題,如線密度、 電流、反應速度等,都可歸結為函數(shù)對于自變量的變化率即函數(shù)的導數(shù). 三、講授新課 1、導數(shù)的概念 （1）函數(shù) 在點處的導數(shù) 設函數(shù)在點處的某一鄰域內有定義，當自變量X在點處有增量,仍在該鄰域內時，相應地，函數(shù)有增量， 若 極限 存在，則稱在點處可導，并稱此極限值為在處的導數(shù)，記為，也可記為，，即 若極限不存在，則稱在點處不可導。 （2）函數(shù)y=f(x)的導函數(shù) 如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間I上的每一點都可導，就稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間I上可導，這時，都對應f(x)的一個確定的導數(shù)值，這樣就成了一個新的函數(shù)成為函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)，簡稱導數(shù)，記作 ,,, 或.顯然，y=f(x)在點處的導數(shù)，就是導函數(shù)在處的函數(shù)值，即= 2、左導數(shù)與右導數(shù) （1）函數(shù)在點處的左導數(shù) （2）函數(shù)在點處的右導數(shù) 定理 y=在點可導 例1 求函數(shù)在任意點x處的導數(shù)，并求 解：在x處給自變量一個增量，相應函數(shù)增量為, 于是 ， ；即； 則 一般地，（為任意實數(shù)） 注：求得先求，再將x用代替。 3、導數(shù)的幾何意義 函數(shù)在點的導數(shù)在幾何上表示曲線在點（，）處切線的斜率。 （1）若存在，則曲線在點（，）切線方程為 當時，則過（）的法線方程為： 當 時，法線方程 （2）若，則切線垂直于 軸，切線方程： 例2 求拋物線在點（1，1）處的切線方程和法線方程。 解： 切線斜率 切線方程：即 法線方程：即 4、可導與連續(xù)關系：可導連續(xù) 設函數(shù)在點處可導，有 又 即 故 所以。 即 在可導，那么在處必連續(xù)，但反過來不一定成立，即在處 連續(xù)的函數(shù)未必在可導。 例3 ，雖然在=0處連續(xù)，但在該點不可導。 例4 討論 在點=0的連續(xù)性與可導性。 解： 即 又 當 四、練習 討論 在點=0的連續(xù)性與可導性。 五、歸納小結 理解導數(shù)的概念，理解導數(shù)的幾何意義與基本物理意義，理解函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系，即連續(xù)是可導的必要面非充分條件，了解函數(shù)可導的充要條件：存在 課后作業(yè)： 1、設 A 。 A、左右導數(shù)都存在 B、左導數(shù)存在，右導數(shù)不存在 C、右導數(shù)存在，左導數(shù)不存在 D、都不存在 2、若（為常數(shù)），試判斷下列命題是否正確。[全部] （1）在點 處可導； （2）在點 處連續(xù)； （3）= ； 反 思 錄： 備 課 教 案 第 六 周 星期五 課 題 導數(shù)的概念（二） 所需課時 2 教學目的 1.掌握用導數(shù)定義求函數(shù)的導數(shù)的三步曲，會求函數(shù)的導數(shù) 2.理解導數(shù)的變化率的概念，會用導數(shù)（變化率）描述一些簡單的實際問題 3.培養(yǎng)學生學以致用的觀念 重 點 用導數(shù)定義求函數(shù)的導數(shù) 難 點 用導數(shù)（變化率）描述一些簡單的實際問題 教學過程： 一、組織教學 點名、組織課堂紀律 二、復習引入 1.如何定義函數(shù)在某點可導？ 2.函數(shù)可導的幾何意義是什么？ 三、講授新課 1、變化率模型 科學技術中常把導數(shù)稱為變化率。 因此，對于一個未賦予具體含義的一般函來說，通常把 稱 在上平均變化率。 平均變化率當時的極限 或 稱在處的變化率。它反映了函數(shù)隨著自變量的變化而變化的快慢程度。 切線的斜率是曲線上的縱坐標對橫坐標的變化率。 例1（電流模型）設在[ 0,]這段時間內通過導線橫截面的電荷為，求 時刻的電流. 解：（1）若電流恒定 （2）若電流不恒定，平均電流 故 時刻電流 例2（細桿的線密度模型）設一質量非均勻分布的細桿放在上，在[0，] 上的質量是的函數(shù) ，求桿上的線密度。 解：如果細桿質量分布是均勻的，則長度為的一段的質量為，那么它的線密度為 反之，不能直接用此公式. 利用導數(shù)定義的思想來求細桿的平均線密度，則 平均線密度 故 細桿在處的線密度，即 例3（邊際成本模型）在經濟學中，邊際成本定義為產量增加一個單位時所增加的總成本。 解：設一產品產量為單位時，總成本為C=C（x），稱C（x）為總成本函數(shù)，簡稱為總成本函數(shù)。當產量由x變?yōu)?時，總成本函數(shù)改變量為 這時，總成本的平均變化率為 它表示產量由x變到時，在平均意義下的邊際成本。 當總成本函數(shù)C（x）可導時，其變化率 表示該產品產量為x時的邊際成本，即邊際成本是總成本函數(shù)關于產量的導數(shù)。 例4（化學反應速度模型）在化學反應中一物質的濃度N和時間t的關系為N=N（t）， 求：在t時刻物質的瞬時反應速度。 解：當時間以 變到時，濃度的平均變化率為 令時，該物質在時刻的瞬時反應速度為： 2、求導舉例 求導三步曲：（1）求增量 （2）算比值 （3）定極限： 例5 求函數(shù)的導數(shù)（c為常數(shù)） 解：（1） （2） （3） 即 即常數(shù)的導數(shù)等于0。 例6 求函數(shù)的導數(shù) 解：（1） （2） （3） 即 類似可得 例7 求函數(shù) 解：(1) (3) = 即 特別 四、練習 1. 五、歸納小結 掌握用導數(shù)定義求函數(shù)的導數(shù)的三步曲，會求函數(shù)的導數(shù)，理解導數(shù)的變化率的概念，會用導數(shù)（變化率）描述一些簡單的實際問題. 課后作業(yè)： 1、求下列函數(shù)的導數(shù) (1) (2) (3) (4) (5) 2、求下列函數(shù)的導數(shù) (1) (2) (3) (4) 反 思 錄： 備 課 教 案 第 七 周 星期三 課 題 求導法則（一） 所需課時 2 教學目的 1.掌握導數(shù)的四則運算法則和基本初等函數(shù)的求導公式 2.掌握復合函數(shù)求導法則 重 點 導數(shù)的四則運算法則 難 點 復合函數(shù)求導法則 教學過程： 一、組織教學 點名、組織課堂紀律 二、復習引入 1.函數(shù)可導是怎樣定義的？ 2.極限的四則運算法則是什么？ 思考：函數(shù)的導數(shù)是否有相同的運算法則呢？ 三、講授新課 1、函數(shù)的和、差、積、商的求導的法則 定理1 設函數(shù)u=u(x)與v=v(x)在點x處可導，則u(x)v(x),u(x)v(x),也在點x處可導，且有以下法則： （1）= (2) =+u(x),特別= (c為常數(shù)) (3) 特別，當u(x)=c (c為常數(shù))時， 有 例1 設y=求 解： = = 例2 求y=tanx的導數(shù)。 小結：非弦函數(shù)先化弦 類似可得： 例3 已知y=sec x，求. 解:(非弦函數(shù)化成弦函數(shù)) 類似可得: 例4 設f(x)=,求 . 解: 2、復合函數(shù)求導法則: 思考：設y=，如何求？ ① y=可看成由復合而成。 又 ② 綜上所述，復合函數(shù)的導數(shù)等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù). 定理 如果在點x處可導，函數(shù)y=f(u)在對應的點處可導，那么復合函數(shù)也在點x處可導，且有或 證 設自變量x有增量，則相應的中間變量有增量，從而有增量（） 在x處可導 在x處連續(xù)，可知時，必有又已知， 則有 即 或 以上法則也可用于多次復合的情形。 例如：設都可導，則或記為 例5 的導數(shù)。 分析：可看作復合而成 解： 例6 求的導數(shù)。 分析：此函數(shù)可看作由與復合而成 解： 四、練習 求下列函數(shù)的導數(shù) （1） （2）y= （3） （4） （5） 五、歸納小結 掌握導數(shù)的四則運算法則和基本初等函數(shù)的求導公式，掌握復合函數(shù)求導法則。求復合函數(shù)求