《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》教學(xué)設(shè)計(jì)及教學(xué)反思

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方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 教學(xué)設(shè)計(jì)及教學(xué)反思 一 背景分析 1 學(xué)習(xí)任務(wù)分析 函數(shù)與方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容 既是初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ) 又是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué) 的連接紐帶 在新課程教學(xué)中有著不可替代的重要位置 為什么要引進(jìn)函數(shù)的零點(diǎn) 原因是 要用函數(shù)的觀點(diǎn)統(tǒng)帥中學(xué)數(shù)學(xué) 把解方程問(wèn)題納入到函數(shù)問(wèn)題中 引入函數(shù)的零點(diǎn) 解方程的 問(wèn)題就變成了求函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題 就本章而言 本節(jié)通過(guò)對(duì)二次函數(shù)的圖象的研究判斷一元二次方程根的存在性以及根 的個(gè)數(shù)的判斷建立一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的零點(diǎn)的聯(lián)系 然后由特殊到一般 將其推廣到一般方程與相應(yīng)的函數(shù)的情形 它既揭示了初中一元二次方程與相應(yīng)的二次函 數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系 也引出對(duì)函數(shù)知識(shí)的總結(jié)拓展 之后將函數(shù)零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系在利用 二分法解方程中 3 1 2 加以應(yīng)用 通過(guò)建立函數(shù)模型以及模型的求解 3 2 更全面地體 現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系 逐步建立起函數(shù)與方程的聯(lián)系 即體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想 又滲透 了數(shù)形結(jié)合的思想 總之 本節(jié)課滲透著重要的數(shù)學(xué)思想 特殊到一般的歸納思想 方程與 函數(shù) 和 數(shù)形結(jié)合 的思想 教好本節(jié)課可以為學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)打下一個(gè)良好基礎(chǔ) 因此教好 本節(jié)是至關(guān)重要的 2 學(xué)生情況分析 學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的圖象和性質(zhì) 理解了函數(shù)圖象與性質(zhì)之間的 關(guān)系 尤其熟悉二次函數(shù) 并且已經(jīng)具有一定的數(shù)形結(jié)合思想 這為理解函數(shù)的零點(diǎn)提供了直 觀認(rèn)識(shí) 并為判定零點(diǎn)是否存在和求出零點(diǎn)提供了支持 學(xué)生有一定的方程知識(shí)的基礎(chǔ) 熟悉 從特殊到一般的歸納方法 這為深入理解函數(shù)的零點(diǎn)及方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的聯(lián)系提供了依 據(jù) 但學(xué)生對(duì)于函數(shù)與方程之間的聯(lián)系缺乏一定的認(rèn)識(shí) 對(duì)于綜合應(yīng)用函數(shù)圖象與性質(zhì)尚不 夠熟練 這些都給學(xué)生在聯(lián)系函數(shù)與方程 發(fā)現(xiàn)函數(shù)零點(diǎn)的存在性事造成了一定的難度 又加上函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定方法表述較為抽象難以概括 因此教學(xué)中盡可能提供學(xué)生動(dòng) 手實(shí)踐的機(jī)會(huì) 讓學(xué)生親身體驗(yàn)中掌握知識(shí)與方法 充分利用學(xué)生熟悉的二次函數(shù)圖象和 一元二次方程通過(guò)直觀感受發(fā)現(xiàn)并歸納出函數(shù)零點(diǎn)的概念 在函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定方法 的教學(xué)時(shí)應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境 激發(fā)學(xué)生的思維引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察 計(jì)算 作 圖 思考理解問(wèn)題的本質(zhì) 二 教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 1 結(jié)合 課程標(biāo)準(zhǔn) 對(duì)本節(jié)的要求 制定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為 1 以二次函數(shù)的圖象與對(duì)應(yīng)的一元二次方程的關(guān)系為突破口 探究方程的根與函數(shù)的 零點(diǎn)的關(guān)系 2 掌握在某區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點(diǎn)的判定方法 學(xué)會(huì)在某區(qū)間上圖象連續(xù)的 函數(shù)存在零點(diǎn)的判定方法 3 讓學(xué)生在探究過(guò)程中體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣 體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想 從特殊到一般的 歸納思想 培養(yǎng)學(xué)生的辨證思維以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力 2 教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)設(shè)計(jì) 重點(diǎn) 函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的關(guān)系 連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法 難點(diǎn) 發(fā)現(xiàn)與理解方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系 探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)存在零點(diǎn)的方法 三 教學(xué)程序設(shè)計(jì) 四 教學(xué)媒體設(shè)計(jì) 根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)以及學(xué)生學(xué)習(xí)的需要 教學(xué)媒體設(shè)計(jì)如下 1 多媒體輔助教學(xué) 在對(duì)某區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點(diǎn)的判定方法的探究過(guò)程中 利用小馬過(guò)河的形象實(shí) 例把抽象的判定定理還原到具體的可觀察可操作的層面上來(lái) 弱化純粹的邏輯推理 把 數(shù) 轉(zhuǎn)化到了 形 多媒體使用也為學(xué)生提供了更廣闊的思維空間 提高了探究活動(dòng)的質(zhì)量 同時(shí) 為有效的 指導(dǎo)學(xué)生活動(dòng) 在教學(xué)中也使用了實(shí)物投影儀 展示學(xué)生所做的練習(xí) 并在此過(guò)程中隊(duì)學(xué) 生進(jìn)行針對(duì)性的評(píng)價(jià) 2 設(shè)計(jì)合理的板書 為對(duì)本課有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí) 教學(xué)時(shí)將重要內(nèi)容進(jìn)行板書 如 五 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 一 設(shè)問(wèn)激疑 創(chuàng)設(shè)情境 問(wèn)題 1 求下列方程的根 1 2 3 設(shè)計(jì)意圖 從學(xué)生較為熟悉的方程 一元一次 一元二次方程 出發(fā) 再提出稍微難一點(diǎn)的 方程符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律 進(jìn)而使學(xué)生認(rèn)識(shí)到有些復(fù)雜的方程用以前的解題方法求解很不 方便 需要尋求新的解決方法 讓學(xué)生帶著問(wèn)題學(xué)習(xí) 激發(fā)學(xué)生的求知欲 二 啟發(fā)引導(dǎo) 初步探究 問(wèn)題 2 作出下列二次函數(shù)的圖象 1 y x2 2x 3 2 y x2 2x 1 3 y x2 2x 3 以上各函數(shù)圖象與相應(yīng)方程的根有何關(guān)系 設(shè)計(jì)意圖 與問(wèn)題 1 聯(lián)系起來(lái)結(jié)合一次 二次函數(shù)圖象 判斷方程根的存在性及根的個(gè)數(shù) 為理解函數(shù)的零點(diǎn) 了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系作準(zhǔn)備 充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性 問(wèn)題 3 二次函數(shù) y ax2 bx c a 0 的圖象與 x 軸交點(diǎn)和相應(yīng)一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根有何關(guān)系 設(shè)計(jì)意圖 把具體的結(jié)論推廣到一般情況 向?qū)W生滲透 從最簡(jiǎn)單 最熟悉的問(wèn)題入手解決 較復(fù)雜問(wèn)題 的思維方法 培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力 由此的出結(jié)論 二次函數(shù)圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根 三 形成概念 歸納 方程 f x 0 的實(shí)數(shù)根就是函數(shù) y f x 圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 定義 對(duì)于函數(shù) y f x 我們把使 f x 0 的實(shí)數(shù) x 叫做函數(shù) y f x 的零點(diǎn) 由此引出課題 等價(jià)關(guān)系 設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生從熟悉的環(huán)境中發(fā)現(xiàn)新知識(shí) 并與原有的知識(shí)形成聯(lián)系 利用方程與函 數(shù)的聯(lián)系 培養(yǎng)學(xué)生觀察 歸納的能力 并滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想 辨析練習(xí) 練習(xí) 1 判斷下列說(shuō)法的正誤 函數(shù) 的零點(diǎn)是 1 0 3 0 x 1 x 3 1 和 3 設(shè)計(jì)意圖 利用辨析練習(xí) 來(lái)加深學(xué)生對(duì)概念的理解 目的要學(xué)生明確零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù) 不是一個(gè)點(diǎn) 例 1 求函數(shù) 的零點(diǎn) 設(shè)計(jì)意圖 鞏固函數(shù)零點(diǎn)的求法 滲透二次函數(shù)以外的函數(shù)零點(diǎn)情況 進(jìn)一步體會(huì)方程與 函數(shù)的關(guān)系 練習(xí) 2 利用函數(shù)圖象 判斷下列函數(shù)又沒(méi)有零點(diǎn) 并確定函數(shù)零點(diǎn)的所在的大致區(qū)間 1 2 設(shè)計(jì)意圖 培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)轉(zhuǎn)化應(yīng)用能力 并給學(xué)生實(shí)踐動(dòng)手的機(jī)會(huì) 為下面函數(shù)零點(diǎn)存 在性判定作鋪墊 四 討論探究 揭示定理 探究 在什么情況下 函數(shù) f x 在區(qū)間 a b 一定存在零點(diǎn)呢 問(wèn)題 4 如果把函數(shù)比作一部電影 那么函數(shù)的零點(diǎn)就像是電影的一個(gè)瞬間 一個(gè)鏡頭 有時(shí)我們會(huì)忽略一些鏡頭 但是我們?nèi)匀荒芡茰y(cè)出被忽略的片斷 現(xiàn)在我有兩組鏡頭 下 圖 哪一組能一定曾渡過(guò)河 設(shè)計(jì)意圖 在學(xué)生尚缺乏一定數(shù)學(xué)知識(shí)的提前下 為學(xué)生充分理解這個(gè)抽象的判定方法提供了有利得 條件 這個(gè)問(wèn)題以學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ) 并帶有一定的趣味性和開(kāi)放性 留給學(xué)生充分的空 間 試圖催生學(xué)生的深層思維 通過(guò)學(xué)生自身思維碰撞揭示結(jié)論 對(duì)突破教材的難點(diǎn)又重 要的意義 問(wèn)題 5 將河流抽象成 x 軸 將前后的兩個(gè)位置視為 A B 兩點(diǎn) 請(qǐng)問(wèn)當(dāng) A B 與 x 軸怎樣 的位置關(guān)系時(shí) AB 間的一段連續(xù)不斷的函數(shù)圖象與 x 軸一定會(huì)有交點(diǎn) A B 問(wèn)題 6 A B 與 x 軸的位置關(guān)系 如何用數(shù)學(xué)符號(hào) 式子 來(lái)表示 最佳答案 用 f a f b 0 來(lái)表示 注意過(guò)程中的引導(dǎo) 設(shè)計(jì)意圖 1 將現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型 進(jìn)行合情推理 將原來(lái)學(xué)生只認(rèn)為靜態(tài)的函數(shù)圖 象 理解為一種動(dòng)態(tài)的過(guò)程 2 由原來(lái)的圖象語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言 培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和提取有效信息的能力 體驗(yàn) 語(yǔ)言轉(zhuǎn)化的過(guò)程 問(wèn)題 7 僅滿足 f a f b 0 可以確定有零點(diǎn)嗎 辨析練習(xí) 判斷下列函數(shù)是否有零點(diǎn) 設(shè)計(jì)意圖 看似一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題卻從直觀上能揭示問(wèn)題的本質(zhì) 為學(xué)生充分理解這個(gè)抽象 的判定方法提供了有利得條件 使得問(wèn)題變得形象化 問(wèn)題 8 那么在怎樣的條件下 函數(shù) y f x 一定有零點(diǎn) 設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)小組討論完成探究 教師恰當(dāng)輔導(dǎo) 引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想出函數(shù)零點(diǎn)存在性 的判定方法 這樣設(shè)計(jì)既符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn) 也讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般過(guò)程 1 定理 如果函數(shù) y f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線 并且有 f a f b 0 那么 函數(shù) y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)有零點(diǎn) 即存在 c a b 使 f c 0 這個(gè) c 也就是方程 f x 0 的根 2 說(shuō)明 1 若函數(shù) y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)有零點(diǎn) 不一定能得出 f a f b 0 的結(jié)論 也就是說(shuō)上述定理不可逆 2 此定理只能判定零點(diǎn)的存在性 既不能判定有多少個(gè)實(shí)根 也不能得出零點(diǎn)的具體值 3 判定零點(diǎn)存在性的方法 1 利用定理 2 利用圖象 反饋練習(xí) 練習(xí) 1 觀察下表 分析函數(shù)在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn) x 2 1 0 1 2 y 109 10 1 8 107 練習(xí) 2 若函數(shù) y 5x2 7x 1 在區(qū)間 a b 上的圖象是連續(xù)不斷的曲線 且函數(shù) y 5x2 7x 1 在 a b 內(nèi)有零點(diǎn) 則 f a f b 的值 A 大于 0 B 小于 0 C 無(wú)法判斷 D 等于零 設(shè)計(jì)意圖 1 通過(guò)反饋練習(xí) 使學(xué)生初步運(yùn)用定理來(lái)解決 函數(shù)零點(diǎn)存在或所在區(qū)間 這一類問(wèn)題 2 引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象的單調(diào)性以及在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間的零點(diǎn)情況 得出相應(yīng)的結(jié)論 為后 面的定理應(yīng)用作好鋪墊 總結(jié) 函數(shù) y f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線 1 f a f b 0 函數(shù) y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)有零點(diǎn) 2 函數(shù) y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)有零點(diǎn) f a f b 0 五 觀察感知 例題學(xué)習(xí) 例 2 已知函數(shù) f x lnx 2x 6 1 是否存在零點(diǎn) 若存在零點(diǎn)則有幾個(gè) 2 指出函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間 設(shè)計(jì)意圖 例 2 原題為 求函數(shù) f x lnx 2x 6 的零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 改為問(wèn)題序列以追問(wèn)的形式 出現(xiàn) 問(wèn)題由淺入深形成序列 即使對(duì)本節(jié)課知識(shí)的應(yīng)用 也是對(duì)下節(jié)課二分法的一個(gè)鋪 墊 同時(shí)考慮了學(xué)生的實(shí)際情況 留給學(xué)生解決問(wèn)題的不同思考途徑 這樣就抓住了教學(xué) 的關(guān)鍵且分層預(yù)設(shè)問(wèn)題有利于學(xué)生思維深刻性的培養(yǎng) 六 知識(shí)應(yīng)用 嘗試練習(xí) 1 判斷下列方程有沒(méi)有根 有幾個(gè)根 1 x 2 3x 5 0 2 x 2 4x 4 2 利用函數(shù)的圖象 指出下列函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間 1 f x x3 3x 5 2 f x 2x ln x 2 3 3 f x ex 1 4x 4 設(shè)計(jì)意圖 對(duì)新知識(shí)的理解需要一個(gè)不斷深化完善的過(guò)程 通過(guò)練習(xí) 進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的 小結(jié) 可使學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)思想方法在解題中的地位和應(yīng)用 同時(shí)反映教學(xué)效果 便于教師進(jìn)行查漏補(bǔ)缺 七 反思小結(jié) 培養(yǎng)能力 問(wèn)題 8 1 你能說(shuō)說(shuō)二次函數(shù)的零點(diǎn)與一元二次方程的根的聯(lián)系嗎 2 如果函數(shù)圖象在區(qū)間 a b 上是連 續(xù)不斷的 那么在什么條件下 函數(shù)在 a b 內(nèi)有 零點(diǎn) 設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)師生共同反思 優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu) 把課堂教學(xué)傳授的知識(shí)較快轉(zhuǎn)化為 學(xué)生的素質(zhì) 回顧小結(jié) 1 本節(jié)課你學(xué)到了那些知識(shí) 1 函數(shù)零點(diǎn)的定義 2 等價(jià)關(guān)系 3 函數(shù)的零點(diǎn)或相應(yīng)方程的根的存在性以及個(gè)數(shù)的判斷 2 本節(jié)課滲透了什么數(shù)學(xué)思想方法 八 課后作業(yè) 自主學(xué)習(xí) 1 教材 92 頁(yè)習(xí)題 3 1 A 組 第二題 2 求函數(shù) 的零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 并指出其零點(diǎn)所在的大致區(qū)間 設(shè)計(jì)意圖 鞏固學(xué)生所學(xué)的新知識(shí) 將學(xué)生的思維向外延伸 激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維 達(dá)到熟 練使用零點(diǎn)定理的目的 沒(méi)有圖像的情況下 同時(shí)為下一節(jié)課作好鋪墊 六 教學(xué)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì) 1 本節(jié)課的教學(xué)通過(guò)提出問(wèn)題 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題 經(jīng)歷思考交流概括歸納概念 由問(wèn)題 的提出進(jìn)一步加深理解 這一過(guò)程能夠培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題 分析問(wèn)題 解決問(wèn)題的能力 2 加強(qiáng)過(guò)程性評(píng)價(jià) 創(chuàng)設(shè)公平 平等 寬松 積極向上的課堂環(huán)境 這就要求對(duì)學(xué)生的語(yǔ) 言行為及時(shí)地給予肯定性的表?yè)P(yáng)和鼓勵(lì) 充分暴露思維 及時(shí)矯正 調(diào)整思路 3 通過(guò)練習(xí)來(lái)檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的效果 并在講評(píng)中肯定有點(diǎn) 指出不足 4 通過(guò)作業(yè)反饋信息 再次對(duì)本節(jié)課做出評(píng)價(jià) 以便查漏補(bǔ)缺 七 教學(xué)反思 1 逐層鋪墊 降低難度 由具體到一般 建立一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的零點(diǎn)的聯(lián)系 然后將其推廣到 一般方程與相應(yīng)的函數(shù)的情形 2 恰當(dāng)使用信息技術(shù) 恰當(dāng)?shù)厥褂枚嗝襟w和計(jì)算器 讓學(xué)生直觀形象地理解問(wèn)題 了解知識(shí)的形成過(guò)程 3 采用 啟發(fā) 探究 討論 教學(xué)模式 精心設(shè)置一個(gè)個(gè)問(wèn)題鏈 給每個(gè)學(xué)生提供思考 創(chuàng)造 表現(xiàn)和成功的機(jī)會(huì)