《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》說(shuō)課稿

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第 1 頁(yè) 共 6 頁(yè) 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 說(shuō)課稿 1 教材分析 1 1 地位與作用 本節(jié)內(nèi)容為人教版 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū) A 版必修 1 第三章 函數(shù)的應(yīng) 用 第一節(jié) 函數(shù)與方程 的第一課時(shí) 主要內(nèi)容是函數(shù)零點(diǎn)概念 函數(shù)零點(diǎn)與相應(yīng)方 程根的關(guān)系 函數(shù)零點(diǎn)存在性定理 是一節(jié)概念課 新課標(biāo)教材新增了二分法 也因而設(shè)置了本節(jié)課 所以本節(jié)課首先是為 用二分法 求方程的近似解 打基礎(chǔ) 零點(diǎn)概念與零點(diǎn)存在性定理的是二分法的必備知識(shí) 之前的教材雖然沒(méi)有設(shè)置本節(jié)內(nèi)容 但方程的根與函數(shù)的關(guān)系從來(lái)是重要且無(wú)法回 避的 所以將本節(jié)課直接編入教材很有必要 本節(jié)課也就不僅為二分法的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備 而且為方程與函數(shù)提供了零點(diǎn)這個(gè)連接點(diǎn) 從而揭示了兩者之間的本質(zhì)聯(lián)系 這種聯(lián)系 正是 函數(shù)與方程思想 的理論基礎(chǔ) 用函數(shù)的觀點(diǎn)研究方程 本質(zhì)上就是將局部的問(wèn) 題放在整體中研究 將靜態(tài)的結(jié)果放在動(dòng)態(tài)的過(guò)程中研究 這為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)與 不等式等其它知識(shí)的聯(lián)系奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ) 從研究方法而言 零點(diǎn)概念的形成和零點(diǎn)存在性定理的發(fā)現(xiàn) 符合從特殊到一般的 認(rèn)識(shí)規(guī)律 有利于培養(yǎng)學(xué)生的概括歸納能力 也為數(shù)形結(jié)合思想提供了廣闊的平臺(tái) 1 2 教學(xué)重點(diǎn) 基于上述分析 確定本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是 了解函數(shù)零點(diǎn)概念 掌握函數(shù)零點(diǎn)存在性 定理 2 學(xué)情分析 2 1 學(xué)生具備必要的知識(shí)與心理基礎(chǔ) 通過(guò)前面的學(xué)習(xí) 學(xué)生已經(jīng)了解一些基本初等函數(shù)的模型 具備一定的看圖識(shí)圖能 力 這為本節(jié)課利用函數(shù)圖象 判斷方程根的存在性提供了一定的知識(shí)基礎(chǔ) 方程是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容 用所學(xué)的函數(shù)知識(shí)解決方程問(wèn)題 擴(kuò)充方程的種類 這是學(xué)生樂(lè)于接受的 故而學(xué)生具備心理與情感基礎(chǔ) 2 2 學(xué)生缺乏函數(shù)與方程聯(lián)系的觀點(diǎn) 高一學(xué)生在函數(shù)的學(xué)習(xí)中 常表現(xiàn)出不適 主要是數(shù)形結(jié)合與抽象思維尚不能勝 任 具體表現(xiàn)為將函數(shù)孤立起來(lái) 認(rèn)識(shí)不到函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的核心地位 例如一元二次方程根的分布問(wèn)題 學(xué)生自然會(huì)想到韋達(dá)定理 而不是看二次函數(shù)的 圖象 函數(shù)與方程相聯(lián)系的觀點(diǎn)的建立 函數(shù)應(yīng)用的意識(shí)的初步樹(shù)立 就成了本節(jié)課必 須承載的任務(wù) 2 3 直觀體驗(yàn)與準(zhǔn)確理解定理的矛盾 從方程根的角度理解函數(shù)零點(diǎn) 學(xué)生并不會(huì)覺(jué)得困難 而用函數(shù)來(lái)確定方程根的個(gè) 數(shù)和大致范圍 則需要適應(yīng) 換言之 零點(diǎn)存在性定理的獲得與應(yīng)用 必須讓學(xué)生從一 定量的具體案例中操作感知 通過(guò)更多的舉例來(lái)驗(yàn)證 第 2 頁(yè) 共 6 頁(yè) 定理只為零點(diǎn)的存在提供充分非必要條件 所以定理的逆命題 否命題都不成立 在函數(shù)連續(xù)性 簡(jiǎn)單邏輯用語(yǔ)未學(xué)習(xí)的情況下 學(xué)生對(duì)定理的理解常常不夠深入 這就 要求教師引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)各種成立與不成立的情況 從正面 反面 側(cè)面等不同的角度審 視定理的條件與適用范圍 2 4 教學(xué)難點(diǎn) 基于上述分析 確定本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)是 對(duì)零點(diǎn)存在性定理的準(zhǔn)確理解 3 1 知識(shí)與技能目標(biāo) 1 了解函數(shù)零點(diǎn)的概念 能夠結(jié)合具體方程 如二次方程 說(shuō)明方程的根 函數(shù) 的零點(diǎn) 函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)三者的關(guān)系 2 理解函數(shù)零點(diǎn)存在性定理 了解圖象連續(xù)不斷的意義及作用 知道定理只是函數(shù) 存在零點(diǎn)的一個(gè)充分條件 了解函數(shù)零點(diǎn)可能不止一個(gè) 3 能利用函數(shù)圖象和性質(zhì)判斷某些函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù) 及所在區(qū)間 3 2 過(guò)程與方法目標(biāo) 1 經(jīng)歷 類比 歸納 應(yīng)用 的過(guò)程 感悟由具體到抽象的研究方法 培養(yǎng)歸納概 括能力 2 初步體會(huì)函數(shù)方程思想 能將方程求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題 3 3 情感 態(tài)度和價(jià)值觀目標(biāo) 1 體會(huì)函數(shù)與方程的 形 與 數(shù) 動(dòng) 與 靜 整體 與 局部 的內(nèi)在聯(lián) 系 2 體驗(yàn)規(guī)律發(fā)現(xiàn)的快樂(lè) 4 過(guò)程分析 4 1 教學(xué)結(jié)構(gòu)設(shè) 4 2 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 一 創(chuàng)設(shè)情境 感知概念 1 實(shí)例引入 解方程 1 2 x 4 2 2 x x 意圖 通過(guò)純粹靠代數(shù)運(yùn)算無(wú)法解決的方程 引起學(xué)生認(rèn)知沖突 激起探求的熱情 2 一元二次方程的根與二次函數(shù)圖象之間的關(guān)系 填空 方程 x2 2x 3 0 x2 2x 1 0 x2 2x 3 0 根 x1 1 x 2 3 x1 x2 1 無(wú)實(shí)數(shù)根 函數(shù) y x2 2x 3 y x2 2x 1 y x2 2x 3 第 3 頁(yè) 共 6 頁(yè) 圖象 4 2 2 4 3 1 1 2 O x y 4 2 2 4 3 1 1 2 O x y 4 2 2 3 1 1 2 O x y 圖象與 x 軸 的交點(diǎn) 兩個(gè)交點(diǎn) 1 0 3 0 一個(gè)交點(diǎn) 1 0 沒(méi)有交點(diǎn) 問(wèn)題 1 從該表你可以得出什么結(jié)論 歸納 判別式 0 0 0 方程 ax2 bx c 0 a 0 的根 兩個(gè)不相等的實(shí) 數(shù)根 x1 x 2 有兩個(gè)相等的 實(shí)數(shù)根 x1 x2 沒(méi)有實(shí)數(shù)根 函數(shù) y ax2 bx c a 0 的圖象 O x y x1 x2 O y xx1 O x y 函數(shù)的圖象與 x 軸 的交點(diǎn) 兩個(gè)交點(diǎn) x1 0 x2 0 一個(gè)交點(diǎn) x1 0 無(wú)交點(diǎn) 問(wèn)題 2 一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象之間有怎樣的關(guān)系 學(xué)生討論 得出結(jié)論 一元二次方程的根就是函數(shù)圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 意圖 通過(guò)回顧二次函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)和相應(yīng)方程的根的關(guān)系 為一般函數(shù)及相應(yīng) 方程關(guān)系作準(zhǔn)備 3 一般函數(shù)的圖象與方程根的關(guān)系 問(wèn)題 3 其他的函數(shù)與方程之間也有類似的關(guān)系嗎 請(qǐng)舉例 師生互動(dòng) 在學(xué)生提議的基礎(chǔ)上 老師加以改善 現(xiàn)場(chǎng)在幾何畫(huà)板下展示類似如下 函數(shù)的圖象 y 2x 4 y 2x 8 y ln x 2 y x 1 x 2 x 3 比較函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)和相應(yīng)方程的根的關(guān)系 從而得出一般的結(jié)論 方程 f x 0 有幾個(gè)根 y f x 的圖象與 x 軸就有幾個(gè)交點(diǎn) 且方程的根就是交點(diǎn)的 橫坐標(biāo) 意圖 通過(guò)各種函數(shù) 將結(jié)論推廣到一般函數(shù) 為零點(diǎn)概念做好鋪墊 二 辨析討論 深化概念 4 函數(shù)零點(diǎn) 概念 對(duì)于函數(shù) y f x 把使 f x 0 的實(shí)數(shù) x 叫做函數(shù) y f x 的零點(diǎn) 第 4 頁(yè) 共 6 頁(yè) 即興練習(xí) 函數(shù) f x x x2 16 的零點(diǎn)為 D A 0 0 4 0 B 0 4 C 4 0 0 0 4 0 D 4 0 4 設(shè)計(jì)意圖 及時(shí)矯正 零點(diǎn)是交點(diǎn) 這一誤解 說(shuō)明 函數(shù)零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn) 而是具體的自變量的取值 求函數(shù)零點(diǎn)就是求方程 f x 0 的根 5 歸納函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系 問(wèn)題 4 函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根有什么共同點(diǎn)和區(qū)別 1 聯(lián)系 數(shù)值上相等 求函數(shù)的零點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化成求對(duì)應(yīng)方程的根 存在性一致 方程 f x 0 有實(shí)數(shù)根 函數(shù) y f x 的圖象與 x 軸有交點(diǎn) 函數(shù) y f x 有零點(diǎn) 2 區(qū)別 零點(diǎn)對(duì)于函數(shù)而言 根對(duì)于方程而言 以上關(guān)系說(shuō)明 函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系 函數(shù)問(wèn)題有時(shí)可轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題 同 樣 有些方程問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題來(lái)求解 這正是函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ) 練習(xí) 求下列函數(shù)的零點(diǎn) 2 2 1 34 2 lg 4 fxxfxx 設(shè)計(jì)意圖 使學(xué)生熟悉零點(diǎn)的求法 即求相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根 三 實(shí)例探究 歸納定理 6 零點(diǎn)存在性定理的探索 問(wèn)題 5 在怎樣的條件下 函數(shù) y f x 在區(qū)間 a b 上一定有零 點(diǎn) 探究 1 觀察二次函數(shù) f x x 2 2x 3 的圖象 在區(qū)間 2 1 上有零點(diǎn) f 2 f 1 f 2 f 1 0 或 在區(qū)間 2 4 上有零點(diǎn) f 2 f 4 0 或 2 觀察函數(shù)的圖象 在區(qū)間 a b 上 有 無(wú) 零點(diǎn) f a f b 0 或 在區(qū)間 b c 上 有 無(wú) 零點(diǎn) f b f c 0 或 在區(qū)間 c d 上 有 無(wú) 零點(diǎn) f c f d 0 或 意圖 通過(guò)歸納得出零點(diǎn)存在性定理 7 零點(diǎn)存在性定理 如果函數(shù) y f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線 并且有 f a f b 0 那 么 函數(shù) y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)有零點(diǎn) 即存在 c a b 使得 f c 0 這個(gè) c 也就是方 程 f x 0 的根 即興練習(xí) 下列函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)是否存在零點(diǎn) 1 f x log 2x x 2 2 f x e x 1 4x 4 x 0 1 1 意圖 通過(guò)簡(jiǎn)單的練習(xí)適應(yīng)定理的使用 四 正反例證 熟悉定理 a b c x y O d 2 2 4 1 O 1 2 2 3 4 3 1 1 y x 第 5 頁(yè) 共 6 頁(yè) 8 定理辨析與靈活運(yùn)用 例 1 判斷下列結(jié)論是否正確 若不正確 請(qǐng)使用函數(shù)圖象舉出反例 1 已知函數(shù) y f x 在區(qū)間 a b 上連續(xù) 且 f a f b 0 則 f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)有且 僅有一個(gè)零點(diǎn) 2 已知函數(shù) y f x 在區(qū)間 a b 上連續(xù) 且 f a f b 0 則 f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)沒(méi)有 零點(diǎn) 3 已知函數(shù) y f x 在區(qū)間 a b 滿足 f a f b 0 則 f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)存在零點(diǎn) 請(qǐng)一位學(xué)生板書(shū)反例 其他學(xué)生補(bǔ)充評(píng)析 例如 a bO x y a bO x y a bO x y 歸納 定理不能確零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 定理中的 連續(xù)不斷 是必不可少的條件 不滿足 定理?xiàng)l件時(shí)依然可能有零點(diǎn) 意圖 通過(guò)對(duì)定理中條件的改變 將幾種容易產(chǎn)生的誤解正面給出 在第一時(shí)間加以糾 正 從而促進(jìn)對(duì)定理本身的準(zhǔn)確理解 9 練習(xí) 1 已知函數(shù) f x 的圖象是連續(xù)不斷的 有如下的 x f x 對(duì)應(yīng)值表 x 1 2 3 4 5 6 7 f x 23 9 7 11 5 12 26 那么函數(shù)在區(qū)間 1 6 上的零點(diǎn)至少有 C A 5 個(gè) B 4 個(gè) C 3 個(gè) D 2 個(gè) 2 方程 x 3 3x 5 0 的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為 A 2 0 B 0 1 C 0 1 D 1 2 意圖 一方面促進(jìn)對(duì)定理的活用 另一方面為突破后面的例題鋪設(shè)臺(tái)階 六 總結(jié)整理 提高認(rèn)識(shí) 1 一個(gè)關(guān)系 函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系 函數(shù) 方程 零點(diǎn) 根 數(shù) 值 存在性 個(gè) 數(shù) 2 兩種思想 函數(shù)方程思想 數(shù)形結(jié)合思想 3 三種題型 求函數(shù)零點(diǎn) 判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù) 求零點(diǎn)所在區(qū)間 第 6 頁(yè) 共 6 頁(yè)