高一數(shù)學必修1知識點總結：第二章基本初等函數(shù)

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高中數(shù)學必修1知識點總結 第二章 基本初等函數(shù) 〖2.1〗指數(shù)函數(shù) 2.1.1指數(shù)與指數(shù)冪的運算 （1）根式的概念 ①如果，且，那么叫做的次方根．當是奇數(shù)時，的次方根用符號表示；當是偶數(shù)時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號表示；0的次方根是0；負數(shù)沒有次方根． ②式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．當為奇數(shù)時，為任意實數(shù)；當為偶數(shù)時，． ③根式的性質：；當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時， ． （2）分數(shù)指數(shù)冪的概念 ①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：且．0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0．②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是：且．0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義． 注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)． （3）分數(shù)指數(shù)冪的運算性質 ① ② ③ 2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質 （4）指數(shù)函數(shù) 函數(shù)名稱 指數(shù)函數(shù) 定義 0 1 0 1 函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù) 圖象 定義域 值域 （0,+∞） 過定點 圖象過定點（0,1），即當x=0時，y=1． 奇偶性 非奇非偶 單調性 在上是增函數(shù) 在上是減函數(shù) 函數(shù)值的 變化情況 y＞1(x＞0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＜0) y＞1(x＜0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＞0) 變化對 圖象的影 響 在第一象限內，越大圖象越高，越靠近y軸； 在第二象限內，越大圖象越低，越靠近x軸． 在第一象限內，越大圖象越高，越靠近y軸； 在第二象限內，越小圖象越低，越靠近x軸． 〖2.2〗對數(shù)函數(shù) 【2.2.1】對數(shù)與對數(shù)運算 （1） 對數(shù)的定義 ①若，則叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù)． ②負數(shù)和零沒有對數(shù)．③對數(shù)式與指數(shù)式的互化：． （2）幾個重要的對數(shù)恒等式:　　 ，，． （3）常用對數(shù)與自然對數(shù)：常用對數(shù)：，即；自然對數(shù)：，即（其中…）． （4）對數(shù)的運算性質 如果，那么 ①加法： ②減法： ③數(shù)乘： ④ ⑤ ⑥換底公式： 【2.2.2】對數(shù)函數(shù)及其性質 （5）對數(shù)函數(shù) 函數(shù)名稱 對數(shù)函數(shù) 定義 函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù) 圖象 0 1 0 1 定義域 值域 過定點 圖象過定點，即當時，． 奇偶性 非奇非偶 單調性 在上是增函數(shù) 在上是減函數(shù) 函數(shù)值的 變化情況 變化對 圖象的影響 在第一象限內，越大圖象越靠低，越靠近x軸 在第四象限內，越大圖象越靠高，越靠近y軸 在第一象限內，越小圖象越靠低，越靠近x軸 在第四象限內，越小圖象越靠高，越靠近y軸 (6)反函數(shù)的概念 設函數(shù)的定義域為，值域為，從式子中解出，得式子．如果對于在中的任何一個值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對應，那么式子表示是的函數(shù)，函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作，習慣上改寫成． （7）反函數(shù)的求法 ①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式中反解出； ③將改寫成，并注明反函數(shù)的定義域． （8）反函數(shù)的性質 ①原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關于直線對稱． ②函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域． ③若在原函數(shù)的圖象上，則在反函數(shù)的圖象上． ④一般地，函數(shù)要有反函數(shù)則它必須為單調函數(shù)． 〖2.3〗冪函數(shù) （1）冪函數(shù)的定義 一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中為自變量，是常數(shù)． （2）冪函數(shù)的圖象 （3）冪函數(shù)的性質 ①圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象．冪函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限(圖象關于軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱)；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限． ②過定點：所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過點． ③單調性：如果，則冪函數(shù)的圖象過原點，并且在上為增函數(shù)．如果，則冪函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，在第一象限內，圖象無限接近軸與軸． ④奇偶性：當為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)．當（其中互質，和），若為奇數(shù)為奇數(shù)時，則是奇函數(shù)，若為奇數(shù)為偶數(shù)時，則是偶函數(shù)，若為偶數(shù)為奇數(shù)時，則是非奇非偶函數(shù)． ⑤圖象特征：冪函數(shù)，當時，若，其圖象在直線下方，若，其圖象在直線上方，當時，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方． 〖補充知識〗二次函數(shù) （1）二次函數(shù)解析式的三種形式 ①一般式：②頂點式： ③兩根式： （2）求二次函數(shù)解析式的方法 ①已知三個點坐標時，宜用一般式． ②已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大（小）值有關時，常使用頂點式． ③若已知拋物線與軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求更方便． （3）二次函數(shù)圖象的性質 ①二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為頂點坐標是 ②當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當時，；當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當時，． ③二次函數(shù)當時，圖象與軸有兩個交點． （4）一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關系定理（韋達定理）的運用，下面結合二次函數(shù)圖象的性質，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布． 設一元二次方程的兩實根為，且．令，從以下四個方面來分析此類問題：①開口方向： ②對稱軸位置： ③判別式： ④端點函數(shù)值符號． ①k＜x1≤x2 ②x1≤x2＜k ③x1＜k＜x2 af(k)＜0 ④k1＜x1≤x2＜k2 ⑤有且僅有一個根x1（或x2）滿足k1＜x1（或x2）＜k2 f(k1)f(k2)0，并同時考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合 ⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2 此結論可直接由⑤推出． （5）二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值 設在區(qū)間上的最大值為，最小值為，令． （Ⅰ）當時（開口向上） ①若，則 ②若，則 ③若，則 x y 0 > a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) x y 0 > a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) x y 0 > a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) x y 0 > a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) ①若，則 ②，則 x y 0 > a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) (Ⅱ)當時(開口向下) ①若，則 ②若，則 ③若，則 x y 0 < a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) x y 0 < a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) x y 0 < a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) ①若，則 ②，則． x y 0 < a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) x y 0 < a O a b x 2 - = p q f(p) f(q) 8