數(shù)值分析ex4-5《數(shù)值分析》習(xí)題課I.ppt

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《數(shù)值分析》習(xí)題課I,誤差與有效數(shù)字二分法、牛頓迭代法不動點迭代與收斂階典型例題與習(xí)題,具有n位有效數(shù)字,則絕對誤差滿足,2/18,相對誤差滿足,如果一個浮點數(shù),1.設(shè)x*是f(x)=0在[a,b]內(nèi)的唯一根,且f(a)f(b)0,r>0使得,則稱數(shù)列{xn}r階收斂.,且對任意x0∈[a,b],迭代格式產(chǎn)生的序列{xn}收斂到不動點x*,誤差滿足,4/18,數(shù)列加速收斂原理,定理2.6設(shè)x*是的不動點,且,而則p階收斂,5/18,例1.設(shè)x1=1.21,x2=3.65,x3=9.81都具有三位有效位數(shù),試估計數(shù)據(jù)：x1(x2+x3)的誤差限。,解：由|e(x1)|≤0.510-2，|e(x2)|≤0.510-2，|e(x3)|≤0.510-2所以,|e(x2+x3)|≤10-2|e(x1(x2+x3))|≤(1.21+0.513.46)10-2=7.9410-2,Ex1.若要x1(x2+x3)的誤差限為0.510-2,問數(shù)據(jù)x1,x2,x3應(yīng)該具有幾位有效數(shù)?,6/18,例2.設(shè)計算球體V允許其相對誤差限為1%,問測量球半徑R的相對誤差限最大為多少?,解：由球體計算公式分析誤差傳播規(guī)律,故當(dāng)球體V的相對誤差限為1%時，測量球半徑R的相對誤差限最大為0.33%。,?,?,相對誤差傳播規(guī)律,Ex2.對z=f(x,y),若允許其相對誤差為1%,問應(yīng)該對x,y如何限制?,7/18,例3.采用迭代法計算，取x0=2,(k=0，1，2，……),若xk具有n位有效數(shù)字，求證xk+1具有2n位有效數(shù)字。,8/18,思考：反問題？,1-8序列{yn}滿足遞推關(guān)系yn=10yn-1–1(n=1,2,)若取y0=√2≈1.41(三位有效數(shù)字).遞推計算y10時誤差有多大？計算過程穩(wěn)定嗎？,解:取x0=1.41,則e(x0)≤0.005e(xn)=10e(xn-1)(n=1,2,,10),e(x10)=10e(x9)==1010e(x0),|e(x10)|=1010|e(x0)|≤0.5108,計算過程不穩(wěn)定！,9/18,1-12利用級數(shù)可計算出無理數(shù)?的近似值。由于交錯級數(shù)的部分和數(shù)列Sn在其極限值上下擺動，故截斷誤差將小于第一個被舍去的項的絕對值|an+1|。試分析，為了得到級數(shù)的三位有效數(shù)字近似值，應(yīng)取多少項求和。,解:由部分和,,10/18,2-6應(yīng)用牛頓迭代法于方程x3–a=0,導(dǎo)出求立方根的迭代公式,并討論其收斂性。,解：令f(x)=x3–a，則牛頓迭代公式,故立方根迭代算法二階收斂,11/18,例4.設(shè)a為正實數(shù)，試建立求1/a的牛頓迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法運算，并考慮迭代公式的收斂。,xn+1=xn(2–axn)，(n=0，1，2……),所以,當(dāng)|1–ax0|<1時，迭代公式收斂。,解:建立方程,利用牛頓迭代法，得,12/18,例5.若x*是f(x)=0的二重根,分析牛頓迭代法的收斂性？,解:由于f(x)=(x–x*)2g(x),Ex.若x*是f(x)=0的m重根,試分析牛頓迭代法的收斂性,13/18,練習(xí)1將割線法修改為單點迭代公式,試分析該算法的收斂性.,14/18,練習(xí)2設(shè)計多項式乘積(卷積)算法,Pn(x)=a1xn+a2xn-1++anx+an+1,Pm(x)=b1xm+b2xm-1++bmx+bm+1,用[a1a2anan+1]表示Pn(x)用[b1b2bmbm+1]表示Pm(x),Pn+m(x)=c1xn+m+c2xn+m-1++cn+mx+cn+m+1,用[c1c2cn+mcn+m+1]表示Pn(x)Pm(x),15/18,練習(xí)3在計算機上對調(diào)和級數(shù)自左至右做求和計算,當(dāng)n很大時，Sn將不隨n的增加而增加。試說明原因。,16/18,練習(xí)4分析下列方程，確定方程的全部隔根區(qū)間,17/18,(1)xsinx=1；(2)sinx–e-x=0；(3)x=tanx；(4)x2–e-x=0,練習(xí)5對于復(fù)變量z=x+iy的復(fù)值函數(shù)f(z)應(yīng)用牛頓迭代公式,時為避開復(fù)數(shù)運算,令zn=xn+iynf(zn)=An+iBn，f’(zn)=Cn+iDn,證明,18/18,