中考數(shù)學(xué) 第二編 中檔題突破專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練篇 中檔題型訓(xùn)練（六）直角三角形的應(yīng)用試題

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中檔題型訓(xùn)練(六)　直角三角形的應(yīng)用 解直角三角形的應(yīng)用是河北中考的必考內(nèi)容之一，它通常以實(shí)際生活為背景，考查學(xué)生運(yùn)用直角三角形知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型的能力，解答這類(lèi)問(wèn)題的方法是運(yùn)用“遇斜化直”的數(shù)學(xué)思想，即通過(guò)作輔助線(斜三角形的高線)把它轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題，然后根據(jù)已知條件與未知元素之間的關(guān)系，利用解直角三角形的知識(shí)，列出方程來(lái)求解． 　仰角、俯角問(wèn)題 【例1】(2016張家口二模)學(xué)習(xí)“利用三角函數(shù)測(cè)高”后，某綜合實(shí)踐活動(dòng)小組實(shí)地測(cè)量了鳳凰山與中心廣場(chǎng)的相對(duì)高度AB，其測(cè)量步驟如下： (1)在中心廣場(chǎng)測(cè)點(diǎn)C處安置測(cè)傾器，測(cè)得此時(shí)山頂A的仰角∠AFH＝30； (2)在測(cè)點(diǎn)C與山腳B之間的D處安置測(cè)傾器(C，D與B在同一直線上，且C，D之間的距離可以直接測(cè)得)，測(cè)得此時(shí)山頂上紅軍亭頂部E的仰角∠EGH＝45； (3)測(cè)得測(cè)傾器的高度CF＝DG＝1.5 m，并測(cè)得CD之間的距離為288 m； 已知紅軍亭高度為12 m，請(qǐng)根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)求出鳳凰山與中心廣場(chǎng)的相對(duì)高度AB.(取1.732，結(jié)果保留整數(shù)) 【思路分析】 首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形．本題涉及多個(gè)直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造邊角關(guān)系，進(jìn)而可求出答案． 【學(xué)生解答】解：設(shè)AH＝x m, 在Rt△EHG中，∵∠EGH＝45， ∴GH＝EH＝AE＋AH＝(x＋12)m.易知 GF＝CD＝288 m, ∴HF＝GH＋GF＝x＋12＋288＝(x＋300)m. 在Rt△AFH中，∵∠AFH＝30， ∴AH＝HFtan∠AFH，即x＝(x＋300)， 解得x＝150(＋1)，∴AB＝AH＋BH≈409.8＋1.5＝411.3≈411(m). 答：鳳凰山與中心廣場(chǎng)的相對(duì)高度AB大約是411 m. 1．(2016張家界中考)如圖，某建筑物AC頂部有一旗桿AB，且點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，小明在地面D處觀測(cè)旗桿頂端B的仰角為30，然后他正對(duì)建筑物的方向前進(jìn)了20 m到達(dá)地面的E處，又測(cè)得旗桿頂端B的仰角為60，已知建筑物的高度AC＝12 m，求旗桿AB的高度．(結(jié)果精確到0.1 m，參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈1.41) 解：由題意得∠DBE＝∠BEC－∠BDE＝60－30＝30＝∠BDE，∴BE＝DE＝20.在Rt△BEC中，BC＝BEsin60＝20＝10≈17.3(m)，∴AB＝BC－AC＝17.3－12＝5.3(m)． 答：旗桿的高度是5.3 m. 2．(2016隨州中考)某班數(shù)學(xué)興趣小組利用數(shù)學(xué)活動(dòng)課時(shí)間測(cè)量位于烈山山頂?shù)难椎鄣裣窀叨?，已知烈山坡面與水平面的夾角為30，山高857.5尺，組員從山腳D處沿山坡向著雕像方向前進(jìn)1 620尺到達(dá)E點(diǎn)，在點(diǎn)E處測(cè)得雕像頂端A的仰角為60，求雕像AB的高度． 解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，EG⊥CD于點(diǎn)G, 在Rt△DEG中，∵DE＝1 620，∠D＝30， ∴EG＝DEsin30＝1 620＝810，又∵BC＝857.5，CF＝EG, ∴BF＝BC－CF＝47.5, 在Rt△BEF中，tan∠BEF＝＝tan30， ∴EF＝BF, 在Rt△AEF中，∠AEF＝60，設(shè)AB＝x, ∵tan∠AEF＝， ∴AF＝EFtan∠AEF, ∴AF＝3BF，∴x＋47.5＝347.5, ∴x＝95. 答：雕像AB的高度為95尺． 　方位角問(wèn)題 【例2】(2016石家莊二十八中二模)如圖所示，港口B位于港口O正西方向120 km處，小島C位于港口O北偏西60的方向．一艘游船從港口O出發(fā)，沿OA方向(北偏西30)以v km/h的速度駛離港口O，同時(shí)一艘快艇從港口B出發(fā)，沿北偏東30的方向以60 km/h的速度駛向小島C，在小島C用1 h加裝補(bǔ)給物資后，立即按原來(lái)的速度給游船送去． (1)快艇從港口B到小島C需要多長(zhǎng)時(shí)間？ (2)若快艇從小島C到與游船相遇恰好用時(shí)1h，求v的值及相遇處與港口O的距離． 【思路分析】(1)先由題意求得∠BCO＝90，解Rt△OBC，求得BC的長(zhǎng)，從而求得時(shí)間；(2)過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA于點(diǎn)D.設(shè)相遇處為E，在Rt△CDE中，用勾股定理得v的方程，解得兩個(gè)v值，分別求出OE的長(zhǎng)． 【學(xué)生解答】解：(1)∵∠BOC＝90－60＝30，∠CBO＝90－30＝60，∴∠BCO＝90，∴BC＝OBcos60＝120＝60(km)，∴快艇從港口B到小島C需要的時(shí)間為＝1(h)；(2)如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA于點(diǎn)D，設(shè)相遇處為點(diǎn)E，則OC＝OBcos30＝60(km)．在Rt△CDO中．∵∠COD＝30，∴CD＝OC＝30 km，OD＝OCcos30＝90(km)．∵DE＝(90－3v)km，CE＝60 km，∴CD2＋DE2＝CE2，即(30)2＋(90－3v)2＝602，解得v＝20或v＝40，∴當(dāng)v＝20時(shí)，OE＝320＝60(km)；當(dāng)v＝40時(shí)，OE＝340＝120(km)． 3．(2016臨沂中考)一艘輪船位于燈塔P的南偏西60方向，距離燈塔20海里的A處，它向東航行多少海里到達(dá)燈塔P南偏西45方向上的B處？(參考數(shù)據(jù)：≈1.732，結(jié)果精確到0.1) 解：過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，在Rt△ACP中，∠ACP＝90，∠APC＝60，PA＝20. ∵cos∠APC＝， sin∠APC＝，∴PC＝PAcos60＝20＝10，AC＝PAsin60＝20＝10，在Rt△BCP中，∠BCP＝90，∠BPC＝45，∴BC＝PC＝10，∴AB＝AC－BC＝10－10＝101.732－10≈7.3. 答：輪船向東航行約7.3海里到達(dá)燈塔P南偏西45方向上的B處． 4．(2016樂(lè)山中考)如圖，禁止捕魚(yú)期間，某海上稽查隊(duì)在某海域巡邏，上午某一時(shí)刻在A處接到指揮部通知，在他們東北方向距離12海里的B處有一艘捕魚(yú)船，正在沿南偏東75方向以每小時(shí)10海里的速度航行，稽查隊(duì)員立即乘坐巡邏船以每小時(shí)14海里的速度沿北偏東某一方向出發(fā)，在C處成功攔截捕魚(yú)船，求巡邏船從出發(fā)到成功攔截捕魚(yú)船所用的時(shí)間． 解：設(shè)巡邏船從出發(fā)到成功攔截所用時(shí)間為x小時(shí). 由題意，得∠ABC＝45＋75＝120，AB＝12，BC＝10x，AC＝14x，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，在Rt△ABD中，AB＝12，∠ABD＝60， ∴BD＝6，AD＝6，∴CD＝10x＋6.在Rt△ACD中，由勾股定理得：(14x)2＝(10x＋6)2＋(6)2，解此方程得x1＝2，x2＝－(不合題意舍去)． 答：巡邏船從出發(fā)到成功攔截所用時(shí)間為2小時(shí)． 　坡度、坡比問(wèn)題 【例3】(2016巴中中考)如圖，一水庫(kù)大壩的橫斷面為梯形ABCD，壩頂BC寬6 m，壩高20 m，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角為30，求壩底AD的長(zhǎng)度．(精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732.提示：坡度等于坡面的鉛垂高度與水平長(zhǎng)度之比) 【思路分析】分別過(guò)點(diǎn)B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為E，F(xiàn)將梯形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形． 【學(xué)生解答】解：如圖，分別過(guò)點(diǎn)B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，由題意知BE＝CF＝20，BC＝EF＝6，∠D＝30，在Rt△ABE中，i＝＝，即＝，∴AE＝50，在Rt△CDF中，tan30＝，即＝，∴DF＝20≈34.6，∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋34.6＝90.6(m)． 答：壩底AD的長(zhǎng)度為90.6 m. 5．(2016石家莊二十八中二模)為鄧小平誕辰110周年獻(xiàn)禮，廣安市政府對(duì)城市建設(shè)進(jìn)行了整改，如圖，已知斜坡AB長(zhǎng)60 m，坡角(即∠BAC)為45，BC⊥AC，現(xiàn)計(jì)劃在斜坡中點(diǎn)D處挖去部分斜坡，修建一個(gè)平行于水平線CA的休閑平臺(tái)DE和一條新的斜坡BE.(下面兩個(gè)小題結(jié)果都保留根號(hào)) (1)若修建的斜坡BE的坡比為∶1，求休閑平臺(tái)DE的長(zhǎng)是多少米？ (2)一座建筑物GH距離A點(diǎn)33 m遠(yuǎn)(即AG＝33 m)，小亮在D點(diǎn)測(cè)得建筑物頂部H的仰角(即∠HDM)為30.點(diǎn)B，C，A，G，H在同一個(gè)平面內(nèi)，點(diǎn)C，A，G在同一條直線上，且HG⊥CG，建筑物GH高為多少米？ 解：(1)∵FM∥CG，∴∠BDF＝∠BAC＝45，斜坡AB長(zhǎng)60m，D是AB的中點(diǎn)，∴BD＝30m，∴DF＝BDcos∠BDF＝30＝30(m)，BF＝DF＝30 m．∵斜坡BE的坡比為∶1，∴＝，解得EF＝10 m，∴DE＝DF－EF＝(30－10)m.答：休閑平臺(tái)DE的長(zhǎng)是(30－10)m； (2)設(shè)GH＝x m，則MH＝GH－GM＝(x－30)m，DM＝AG＋AP＝33＋30＝63(m)，在Rt△DMH中，tan30＝，即＝，解得x＝30＋21，∴建筑物GH高為(30＋21)m. 6．(2015重慶中考)某水庫(kù)大壩的橫截面是如圖所示的四邊形ABCD，其中AB∥CD，大壩頂上有一瞭望臺(tái)PC，PC正前方有兩艘漁船M，N.觀察員在瞭望臺(tái)頂端P處觀測(cè)到漁船M的俯角α為31，漁船N的俯角β為45.已知MN所在直線與PC所在直線垂直，垂足為點(diǎn)E，且PE長(zhǎng)為30 m. (1)求兩漁船M，N之間的距離；(結(jié)果精確到1 m) (2)已知壩高24 m，壩長(zhǎng)100 m，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25，為提高大壩防洪能力，請(qǐng)施工隊(duì)將大壩的背水坡通過(guò)填筑土石方進(jìn)行加固，壩底BA加寬后變?yōu)锽H，加固后背水坡DH的坡度i＝1∶1.75，施工隊(duì)施工10天后，為盡快完成加固任務(wù)，施工隊(duì)增加了機(jī)械設(shè)備，工作效率提高到原來(lái)的2倍，結(jié)果比原計(jì)劃提前20天完成加固任務(wù)，施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑土石方多少立方米？(參考數(shù)據(jù)：tan31≈0.60，sin31≈0.52) 解：(1)在直角△PEN中，EN＝PE＝30 m，ME＝＝50 m，則MN＝EM－EN＝20(m)．答：兩漁船M、N之間的距離是20 m；(2)過(guò)點(diǎn)D作DN′⊥AH于點(diǎn)N′.由題意得：tan∠DAB＝4，tanH＝.在Rt△DAN′中，AN′＝＝＝6(m)，在Rt△DHN′中，HN′＝＝＝42(m)．故AH＝HN′－AN′＝42－6＝36(m)．S△ADH＝AHDN′＝432(m2)．故需要填筑的土石方是V＝SL＝432100＝43 200(m3)．設(shè)原計(jì)劃平均每天填筑x m3，則原計(jì)劃天完成，則增加機(jī)械設(shè)備后，現(xiàn)在平均每天填筑2x m3.根據(jù)題意，得：10x＋2x＝43 200，解得x＝864.經(jīng)檢驗(yàn)，x＝864是原方程的解． 答：施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑土石方864 m3.