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高考小題限時練1
1.若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i是虛數(shù)單位),則a,b的值分別等于( )
A.3,-2 B.3,2
C.3,-3 D.-1,4
答案 A
解析 ∵(1+i)+(2-3i)=3-2i=a+bi,
∴a=3,b=-2,故選A.
2.(2016山東)設(shè)集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},則A∪B等于( )
A.(-1,1) B.(0,1)
C.(-1,+∞) D.(0,+∞)
答案 C
解析 ∵A={y|y>0},B={x|-1
b,B必為銳角,所以B=.
4.某氣象站天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為80%,則5次預(yù)報中至少有4次準(zhǔn)確的概率約為( )
A.0.2 B.0.41
C.0.74 D.0.67
答案 C
解析 5次預(yù)報中至少有4次準(zhǔn)確這一事件是下面兩個互斥事件之和:5次預(yù)報,恰有4次準(zhǔn)確;5次預(yù)報都準(zhǔn)確.故5次預(yù)報,至少有4次準(zhǔn)確的概率為C0.840.2+C0.850.20≈0.74.故選C.
5.點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)P為C上一點(diǎn).若|PF|=4,則△POF的面積為( )
A.2 B.2 C.2 D.4
答案 C
解析 由題意易知拋物線的焦點(diǎn)為F(,0),|OF|=.過P點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于點(diǎn)M,則|PM|=4.
點(diǎn)F在線段PM上的射影記為點(diǎn)F′,則|F′M|=2,故|F′P|=2.在Rt△PF′F中,由勾股定理可知,|F′F|=2,故S△POF=2=2.
6.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若=a1+a200,且A,B,C三點(diǎn)共線(該直線不過點(diǎn)O),則S200等于( )
A.100 B.101
C.200 D.201
答案 A
解析 因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以a1+a200=1,
所以S200=200=100.
7.某空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為( )
A.12+4 B.18+8
C.28 D.20+8
答案 D
解析 由三視圖可得該幾何體是平放的直三棱柱,該直三棱柱的底面是腰長為2的等腰直角三角形、側(cè)棱長為4,所以表面積為222+422+42=20+8,故選D.
8.若(-)n的二項(xiàng)展開式中的第5項(xiàng)是常數(shù),則自然數(shù)n的值為( )
A.6 B.10
C.12 D.15
答案 C
解析 ∵Tk+1=C()n-k(-)k=C(-1)k2kx,
∴T5=C24x.∵n-12=0,∴n=12.
9.(2016四川)秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個實(shí)例,若輸入n,x的值分別為3,2,則輸出v的值為( )
A.9 B.18 C.20 D.35
答案 B
解析 初始值n=3,x=2,程序運(yùn)行過程如下:
v=1;
i=2,v=12+2=4;
i=1,v=42+1=9;
i=0,v=92+0=18.
i=-1,跳出循環(huán),輸出v=18,故選B.
10.(2016課標(biāo)全國丙)小敏打開計算機(jī)時,忘記了開機(jī)密碼的前兩位,只記得第一位是M,I,N中的一個字母,第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字,則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 第一位是M,I,N中的一個字母,第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字,所以總的基本事件的個數(shù)為15,密碼正確只有一種,概率為,故選C.
11.(2016浙江)命題“?x∈R,?n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )
A.?x∈R,?n∈N*,使得n<x2
B.?x∈R,?n∈N*,使得n<x2
C.?x∈R,?n∈N*,使得n<x2
D.?x∈R,?n∈N*,使得n<x2
答案 D
解析 原命題是全稱命題,條件為?x∈R,結(jié)論為?n∈N*,使得n≥x2,其否定形式為特稱命題,條件中改量詞,并否定結(jié)論,只有D選項(xiàng)符合.
12.函數(shù)f(x)=xcos x2在區(qū)間[0,4]上的零點(diǎn)個數(shù)為( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案 C
解析 由f(x)=xcos x2=0,得x=0或cos x2=0.
又x∈[0,4],所以x2∈[0,16].
由于cos(+kπ)=0(k∈Z),
而在+kπ(k∈Z)的所有取值中,只有,,,,滿足在[0,16]內(nèi),故零點(diǎn)個數(shù)為1+5=6.
13.若圓x2+y2=r2(r>0)上有且只有兩個點(diǎn)到直線x-y-2=0的距離為1,則實(shí)數(shù)r的取值范圍是________.
答案 (-1,+1)
解析 注意到與直線x-y-2=0平行且距離為1的直線方程分別是x-y-2+=0和x-y-2-=0,要使圓上有且只有兩個點(diǎn)到直線x-y-2=0的距離為1,需滿足在兩條直線x-y-2+=0和x-y-2-=0中,一條與該圓相交且另一條與該圓相離,所以0),PA⊥平面AC,BC邊上存在點(diǎn)Q,使得PQ⊥QD,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
答案 [2,+∞)
解析 如圖,連接AQ.
∵PA⊥平面AC,∴PA⊥QD,又PQ⊥QD,PQ∩PA=P,∴QD⊥平面PQA,于是QD⊥AQ,∴在線段BC上存在一點(diǎn)Q,使得QD⊥AQ,等價于以AD為直徑的圓與線段BC有交點(diǎn),
∴≥1,a≥2.
15.已知函數(shù)f(x)=x2+mx+ln x是單調(diào)遞增函數(shù),則m的取值范圍是________.
答案 [-2,+∞)
解析 依題意知,x>0,f′(x)=,
令g(x)=2x2+mx+1,x∈(0,+∞).
當(dāng)-≤0時,g(0)=1>0恒成立,
∴m≥0時,g(x)>0恒成立,
當(dāng)->0時,則Δ=m2-8≤0,∴-2≤m<0,
綜上,m的取值范圍是m≥-2.
16.(2016課標(biāo)全國乙)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5個工時;生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3個工時,生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg,乙材料90 kg,則在不超過600個工時的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為________元.
答案 216 000
解析 設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件,B產(chǎn)品y件,根據(jù)所耗費(fèi)的材料要求、工時要求等其他限制條件,得線性約束條件為
目標(biāo)函數(shù)z=2 100x+900y.
作出可行域?yàn)閳D中的四邊形,
包括邊界,頂點(diǎn)為(60,100),(0,200),(0,0),(90,0),在(60,100)處取得最大值,zmax=2 10060+900100=216 000(元).
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