高中數(shù)學 第一章 統(tǒng)計 1_2_1 簡單隨機抽樣教案 北師大版必修31

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2．1　簡單隨機抽樣 教學分析　　　　　 教科書是以問題1來引入簡單隨機抽樣，通過實例介紹了抽簽法和隨機數(shù)表法(產生隨機數(shù)法)． 值得注意的是為了使學生獲得簡單隨機抽樣的經驗，教學中要注意增加學生實踐的機會．例如，用抽簽法決定班里參加某項活動的代表人選，用隨機數(shù)法從全年級同學中抽取樣本計算平均身高，等等． 三維目標　　　　　 1．能從現(xiàn)實生活或其他學科中推出具有一定價值的統(tǒng)計問題，提高學生分析問題的能力． 2．理解隨機抽樣的必要性和重要性，提高學生學習數(shù)學的興趣． 3．學會用抽簽法和隨機數(shù)法抽取樣本，培養(yǎng)學生的應用能力． 重點難點　　　　　 教學重點：理解隨機抽樣的必要性和重要性，用抽簽法和隨機數(shù)法抽取樣本． 教學難點：抽簽法和隨機數(shù)法的實施步驟． 課時安排　　　　　 1課時 導入新課　　　　　 抽樣的方法很多，每個抽樣方法都有各自的優(yōu)越性與局限性，針對不同的問題應當選擇適當?shù)某闃臃椒ǎ旅嫖覀儗W習簡單隨機抽樣，教師點出課題：簡單隨機抽樣． 推進新課　　　　　 1．在1936年美國總統(tǒng)選舉前，一份頗有名氣的雜志《Literary Digest》的工作人員做了一次民意測驗．調查蘭頓(A.Landon)(當時任堪薩斯州州長)和羅斯福(F.D.Roosevelt)(當時的總統(tǒng))中誰將當選下一屆總統(tǒng)．為了了解公眾意向，調查者通過電話簿和車輛登記簿上的名單給一大批人發(fā)了調查表(注意在1936年電話和汽車只有少數(shù)富人擁有)．通過分析收回的調查表，顯示蘭頓非常受歡迎，于是此雜志預測蘭頓將在選舉中獲勝． 實際選舉結果正好相反，最后羅斯福在選舉中獲勝，其數(shù)據(jù)如下： 候選人 預測結果% 選舉結果% Roosevelt 43 62 Landon 57 38 你認為預測結果出錯的原因是什么？由此可以總結出什么教訓？ 2．假設你作為一名食品衛(wèi)生工作人員，要對某食品店內的一批小包裝餅干進行衛(wèi)生達標檢驗，你準備怎樣做？顯然，你只能從中抽取一定數(shù)量的餅干作為檢驗的樣本．那么，應當怎樣獲取樣本呢？ 3．請總結簡單隨機抽樣的定義． 4．生產實踐中，往往是從一大批袋裝牛奶中抽樣，也就是說總體中的個體數(shù)是很大的．你能從這個例子出發(fā)說明一下抽樣的必要性嗎？ 討論結果： 1．預測結果出錯的原因是：在民意測驗的過程中，即抽取樣本時，抽取的樣本不具有代表性.1936年擁有電話和汽車的美國人只是一小部分，那時大部分人還很窮．其調查的結果只是富人的意見，不能代表窮人的意見． 由此可以看出，抽取樣本時，要使抽取出的樣本具有代表性，否則調查的結果與實際相差較大． 2．要對這批小包裝餅干進行衛(wèi)生達標檢查，只能從中抽取一定數(shù)量的餅干作為檢驗的樣本，用樣本的衛(wèi)生情況來估計這批餅干的衛(wèi)生情況．如果對這批餅干全部檢驗，那么費時費力，等檢查完了，這批餅干可能就超過保質期了，再就是會破壞這批餅干的質量，導致無法出售． 獲取樣本的方法是：將這批小包裝餅干放入一個不透明的袋子中，攪拌均勻，然后不放回地抽取(這樣可以保證每一袋餅干被抽到的可能性相等)，這樣就可以得到一個樣本．通過檢驗樣本來估計這批餅干的衛(wèi)生情況．這種抽樣方法稱為簡單隨機抽樣． 3．一般地，設一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時，總體內的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫作簡單隨機抽樣．最常用的簡單隨機抽樣方法有兩種：抽簽法和隨機數(shù)法． 4．如果普查，那么費時費力，等檢查完了，牛奶的保質期可能就到了，況且檢查牛奶具有破壞性，每袋牛奶檢查時必須拆開，這樣檢查就會得不償失，沒有什么意義了． 1．抽簽法是大家最熟悉的，也許同學們在做某種游戲，或者選派一部分人參加某項活動時就用過抽簽法．例如，高一(2)班有45名學生，現(xiàn)要從中抽出8名學生去參加一個座談會，每名學生的機會均等．我們可以把45名學生的學號寫在小紙片上，揉成小球，放到一個不透明袋子中，充分攪拌后，再從中逐個抽出8個號簽，從而抽出8名參加座談會的學生． 請歸納抽簽法的定義，并總結抽簽法的步驟． 2．你認為抽簽法有什么優(yōu)點和缺點？當總體中的個體數(shù)很多時，用抽簽法方便嗎？ 3．隨機數(shù)法是利用隨機數(shù)表或隨機骰子或計算機產生的隨機數(shù)進行抽樣．我們僅學習隨機數(shù)表法即利用隨機數(shù)表產生的隨機數(shù)進行簡單隨機抽樣的方法． 怎樣利用隨機數(shù)表產生樣本呢？下面通過例子來說明． 假設我們要考察某公司生產的500 g袋裝牛奶的質量是否達標，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進行檢驗．利用隨機數(shù)表抽取樣本時，可以按照下面的步驟進行． 第一步，先將800袋牛奶編號，可以編為000,001，…，799. 第二步，在隨機數(shù)表中任選一個數(shù)．例如選出第8行第7列的數(shù)7(為了便于說明，下面摘取了隨機數(shù)表的第6行至第10行．) 16 22 77 94 39　49 54 43 54 82　17 37 93 23 78　87 35 20 96 43　84 26 34 91 64 84 42 17 53 31　57 24 55 06 88　77 04 74 47 67　21 76 33 50 25　83 92 12 06 76 63 01 63 78 59　16 95 55 67 19　98 10 50 71 75　12 86 73 58 07　44 39 52 38 79 33 21 12 34 29　78 64 56 07 82　52 42 07 44 38　15 51 00 13 42　99 66 02 79 54 57 60 86 32 44　09 47 27 96 54　49 17 46 09 62　90 52 84 77 27　08 02 73 43 28 第三步，從選定的數(shù)7開始向右讀(讀數(shù)的方向也可以是向左、向上、向下等)，得到一個三位數(shù)785，由于785<799，說明號碼785在總體內，將它取出；繼續(xù)向右讀，得到916，由于916＞799，將它去掉．按照這種方法繼續(xù)向右讀，又取出567,199,507，…，依次下去，直到樣本的60個號碼全部取出．這樣我們就得到一個容量為60的樣本． 請歸納隨機數(shù)表法的步驟． 4．當N＝100時，分別以0,3,6為起點對總體編號，再利用隨機數(shù)表抽取10個號碼．你能說出從0開始對總體編號的好處嗎？ 5．請歸納隨機數(shù)表法的優(yōu)點和缺點． 討論結果： 1．一般地，抽簽法就是把總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個容量為n的樣本． 抽簽法的步驟是： (1)將總體中所有個體從1～N編號； (2)將所有編號1～N寫在形狀、大小相同的號簽上； (3)將號簽放在一個不透明的容器中，攪拌均勻； (4)從容器中每次抽取一個號簽，并記錄其編號，連續(xù)抽取n次； (5)從總體中將與抽取到的簽的編號相一致的個體取出． 2．抽簽法的優(yōu)點是簡單易行，缺點是當總體的容量非常大時，費時、費力，如果標號的簽攪拌得不均勻，會導致抽樣不公平．因此說當總體中的個體數(shù)很多時，用抽簽法不方便，這時用隨機數(shù)法． 3．隨機數(shù)表法的步驟： (1)將總體中個體編號； (2)在隨機數(shù)表中任選一個數(shù)作為開始； (3)規(guī)定從選定的數(shù)讀取數(shù)字的方向； (4)開始讀取數(shù)字，若不在編號中，則跳過，若在編號中則取出，依次取下去，直到取滿為止； (5)根據(jù)選定的號碼抽取樣本． 4．從0開始編號時，號碼是00,01,02，…，99；從3開始編號時，號碼是003,004，…，102；從6開始編號時，號碼是006,007，…，105.所以以3,6為起點對總體編號時，所編的號碼是三位，而從0開始編號時，所編的號碼是兩位，在隨機數(shù)表中讀數(shù)時，讀取兩位比讀取三位要省時，所以從0開始對總體編號較好． 5．綜上所述可知，簡單隨機抽樣有操作簡便易行的優(yōu)點，在總體個數(shù)不多的情況下是行之有效的．但是，如果總體中的個體數(shù)很多時，對個體編號的工作量太大，即使用隨機數(shù)表法操作也并不方便快捷．另外，要想“攪拌均勻”也非常困難，這就容易導致樣本的代表性差． 思路1 例 總體由80個個體組成，利用隨機數(shù)表隨機地選取10個樣本． 解：具體做法如下： 第一步　將總體中的每個個體進行編號：00,01，…，79； 第二步　由于總體是一個兩位數(shù)的編號，每次要從隨機數(shù)表中選取兩列組成兩位數(shù)． 從隨機數(shù)表中任意一個位置，比如，從教科書隨機數(shù)表中第6列和第7列這兩列的第4行開始選數(shù)，由上至下分別是： 82,52,90,91,19,11,07,60,76,62,18,19,87,21,33,46,08，…其中19重復出現(xiàn)，82,90,91,87超過79，不能選?。@樣選取的10個樣本的編號分別為52,19,11,07,60,76,62,18,21,33. 點評：利用隨機數(shù)表抽取樣本時，讀取數(shù)字后，重復的不再取，不在編號內的數(shù)字不取. 變式訓練 要從某廠生產的30臺機器中隨機抽取3臺進行測試，寫出用抽簽法抽取樣本的過程． 分析：由于總體容量和樣本容量都較小，所以用抽簽法． 解：抽簽法，步驟： 第一步　將30臺機器編號，號碼是01,02，…，30； 第二步　將號碼分別寫在一張紙條上，揉成團，制成號簽； 第三步　將得到的號簽放入不透明的袋子中，并充分攪勻； 第四步　從袋子中依次抽取3個號簽，并記錄上面的編號； 第五步　所得號碼對應的3臺機器就是要抽取的樣本. 思路2 例1 某車間工人加工一種軸共100件，為了了解這種軸的直徑，要從中抽取10件軸在同一條件下測量，如何采用簡單隨機抽樣的方法抽取樣本？ 分析：因為簡單隨機抽樣有兩種方法：抽簽法和隨機數(shù)表法，所以有兩種思路． 解：方法一(抽簽法)： (1)將100件軸編號為1,2，…，100； (2)做好大小、形狀相同的號簽，分別寫上這100個號碼； (3)將這些號簽放在一個不透明的容器內，攪拌均勻； (4)逐個抽取10個號簽； (5)然后測量這10個號簽對應的軸的直徑的樣本． 方法二(隨機數(shù)表法)： (1)將100件軸編號為00,01，…，99； (2)在隨機數(shù)表中選定一個起始位置，如取第22行第1個數(shù)開始； (3)規(guī)定讀數(shù)的方向，如向右讀； (4)依次選取10個為61,11,60,98,09,65,73,52,68,47， 則這10個號簽相應的個體即為所要抽取的樣本． 點評：本題主要考查簡單隨機抽樣的步驟．抽簽法的關鍵是為了保證每個個體被抽到的可能性相等而必須攪拌均勻，當總體中的個體無差異，并且總體容量較小時，用抽簽法；用隨機數(shù)表法讀數(shù)時，所編的號碼是幾位，讀數(shù)時相應地取連續(xù)的幾個數(shù)字，當總體中的個體無差異，并且總體容量較多時，用隨機數(shù)表法. 變式訓練 下列抽樣的方式屬于簡單隨機抽樣的有________． ①從無限多個個體中抽取50個個體作為樣本； ②從1 000個個體中一次性抽取50個個體作為樣本； ③將1 000個個體編號，把號簽放在一個足夠大的不透明的容器內攪拌均勻，從中逐個抽取50個個體作為樣本； ④箱子里共有100個零件，從中選出10個零件進行質量檢驗，在抽樣操作中，從中任意取出一個零件進行質量檢驗后，再把它放回箱子； ⑤福利彩票用搖獎機搖獎． 解析：①中，很明顯簡單隨機抽樣是從有限多個個體中抽取，所以①不屬于；②中，簡單隨機抽樣是逐個抽取，不能是一次性抽取，所以②不屬于；很明顯③屬于簡單隨機抽樣；④中，抽樣是放回抽樣，但是簡單隨機抽樣是不放回抽樣，所以④不屬于；很明顯⑤屬于簡單隨機抽樣． 答案：③⑤ 2 人們打橋牌時，從洗好的撲克牌中隨機確定一張為起始牌，這時按次序搬牌時，對任何一家來說，都是從52張牌中抽取13張牌，問這種抽樣方法是否是簡單隨機抽樣？ 解：簡單隨機抽樣的實質是逐個地從總體中隨機抽取樣本，而這里只是隨機確定了起始張，其他各張牌雖然是逐張起牌，但是各張在誰手里已被確定，所以不是簡單隨機抽樣． 點評：判斷簡單隨機抽樣時，要緊扣簡單隨機抽樣的特征：逐個、不放回抽取且保證每個個體被抽到的可能性相等. 1．一個總體中共有200個個體，用簡單隨機抽樣的方法從中抽取一個容量為20的樣本，則某一特定個體被抽到的可能性是________． 答案： 2．為了檢驗某種產品的質量，決定從40件產品中抽取10件進行檢查，如何用簡單隨機抽樣抽取樣本？ 解：方法一(抽簽法)： (1)將這40件產品編號為1,2，…，40； (2)做好大小、形狀相同的號簽，分別寫上這40個號碼； (3)將這些號簽放在一個不透明的容器內，攪拌均勻； (4)逐個抽取10個號簽； (5)然后對這10個號簽對應的產品檢驗． 方法二(隨機數(shù)表法)： (1)將40件產品編號，可以編為00,01,02，…，38,39； (2)在教科書隨機數(shù)表中任選一個數(shù)作為開始，例如從第8行第5列的數(shù)6開始； (3)從選定的數(shù)6開始向右讀下去，得到一個兩位數(shù)字號碼61，由于61＞39，將它去掉；繼續(xù)向右讀，得到98，同樣去掉；繼續(xù)下去，又得到71,64,41,48,70,86,28,88,85,19, 16,20,74,77,01,11,16,30,24,04，從中去掉大于39的號碼．至此，10個樣本號碼已經取滿，于是，所要抽取的樣本號碼是28,19,16,20,01,11,16,30,24,04. 現(xiàn)有一批編號為10,11，…，99,100，…，600的元件，打算從中抽取一個容量為6的樣本進行質量檢驗．如何用隨機數(shù)法設計抽樣方案？ 分析：重新編號，使每個號碼的位數(shù)相同． 解：方法一： 第一步　將元件的編號調整為010,011,012，…，099,100，…，600； 第二步　在隨機數(shù)表中任選一數(shù)作為開始，任選一方向作為讀數(shù)方向．比如，選第6行第7個數(shù)“0”，向右讀； 第三步　從數(shù)“0”開始，向右讀，每次讀取三位，凡不在010～600中的數(shù)跳過去不讀，前面已經讀過的也跳過去不讀，依次可得到370,016,203,503,211,491； 第四步　以上這6個號碼所對應的6個元件就是所要抽取的對象. 方法二： 第一步　將每個元件的編號加100，重新編號為110,111,112，…，199,200，…，700； 第二步　在隨機數(shù)表中任選一數(shù)作為開始，任選一方向作為讀數(shù)方向．比如，選第8行第1個數(shù)“2”，向右讀； 第三步　從數(shù)“2”開始，向右讀，每次讀取三位，凡不在110～700中的數(shù)跳過去不讀，前面已經讀過的也跳過去不讀，依次可得到274,164,414,207,477,116； 第四步　這6個號碼分別對應原來的174,64,314,107,377,16.這些號碼對應的6個元件就是要抽取的對象． 1．簡單隨機抽樣是一種最簡單、最基本的抽樣方法，抽樣有兩種選取個體的方法：放回和不放回，我們在抽樣調查中用的是不放回抽樣，常用的簡單隨機抽樣方法有抽簽法和隨機數(shù)法． 2．抽簽法的優(yōu)點是簡單易行，缺點是當總體的容量非常大時，費時、費力，又不方便，如果標號的簽攪拌得不均勻，會導致抽樣不公平，隨機數(shù)表法的優(yōu)點與抽簽法相同，缺點是當總體容量較大時，仍然不是很方便，但是比抽簽法公平，因此這兩種方法只適合總體容量較小的抽樣類型． 3．簡單隨機抽樣每個個體入樣的可能性都相等，均為，但是這里一定要將每個個體入樣的可能性、第n次每個個體入樣的可能性、特定的個體在第n次被抽到的可能性這三種情況區(qū)分開來，避免在解題中出現(xiàn)錯誤． 課本本節(jié)練習． 本節(jié)教學設計以課程標準的要求為指導，重視引導學生參與到教學中，體現(xiàn)了學生的主體地位．同時，根據(jù)高考的要求，適當拓展了教科書，做到了用教科書，而不是教教科書． 統(tǒng)計小議 我們在接觸一個新事物時，往往很喜歡詢問：這是什么東西？對我們有什么用呢？我們現(xiàn)在也不妨來問一問，統(tǒng)計是什么東西，能幫助我們什么呢？統(tǒng)計可以說是數(shù)學的一支，是用來研究數(shù)據(jù)現(xiàn)象的． 我們在這里可能面對兩個問題，第一個問題是這堆數(shù)據(jù)從哪里來的，就是說，這個現(xiàn)象是真的現(xiàn)象嗎？怎樣找出“數(shù)據(jù)”呢？第二個問題是這堆數(shù)據(jù)在說什么？它對我們的生活有什么特別意義呢？這些無疑都是統(tǒng)計的問題，研究數(shù)據(jù)也是為了解決這類問題，所以，我們學統(tǒng)計的時候，難免要同時照顧兩方面的困難：一方面是本質問題，統(tǒng)計能告訴我們那是什么社會現(xiàn)象；另一方面是技巧問題，怎樣才能把社會現(xiàn)象的本質弄清楚，整理好，使人明白．要解決這兩種困難，于是建立了統(tǒng)計學，學習統(tǒng)計學的主要目標也在于研究這兩種困難，從這兩種困難的解決過程中，了解統(tǒng)計的結構關系．或者可以說，統(tǒng)計的整個結構就是在考慮這兩種困難的解答途徑中建立的． 在進一步提出觀點時，我們不妨先指出高等統(tǒng)計，雖然是從這種困難的研究中出發(fā)，但高等統(tǒng)計還有別的難題，例如作統(tǒng)計推論、下判斷和預測的時候，我們還牽涉到應用一些信仰，一些原則，甚至一些經濟理論等問題，這里姑且不先說明，機會到了我們再提出來檢驗和分辨清楚． 我們回到最原始的開始，假如我們要明白一個社會現(xiàn)況，或者是社會上存在著的一種現(xiàn)象，一定得要了解它的含義，那么該怎么辦呢？前者例如想知道目前社會的財富分配的情形如何？后者如世界連年干旱，糧食歉收的現(xiàn)象所引起的饑荒情形．這些切身而重要的問題，應用統(tǒng)計技巧無疑是一個很好的途徑． 我們提出一個“統(tǒng)計測度”的觀念．一方面希望用它來答復上面的兩種困難，另一方面也可以用來作為整個統(tǒng)計結構的支柱． 因此，所謂“統(tǒng)計測度”，就是在面對著一堆原始累積的資料、數(shù)據(jù)、現(xiàn)象……時我們要用一兩個簡單的統(tǒng)計量表達它的本質特性，這些統(tǒng)計量便是統(tǒng)計測度．統(tǒng)計學要做的事，便是把這些測度找出來，用它解釋原來母體的現(xiàn)象的意義．不過，我們也得知道，這些測度也有它的極限，它并不能表達多過它本身所含的統(tǒng)計意義，尤其得注意它的樣本里面的代表性和隨機性的困難條件．