高中數(shù)學 第四章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第1節(jié) 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入（第2課時）學案 北師大版選修1-21

《高中數(shù)學 第四章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第1節(jié) 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入（第2課時）學案 北師大版選修1-21》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學 第四章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第1節(jié) 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入（第2課時）學案 北師大版選修1-21（4頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1.2　復數(shù)的有關(guān)概念 1．理解復數(shù)的有關(guān)概念及兩個復數(shù)相等的充要條件． 2．了解復平面的概念，理解并掌握復數(shù)的幾何意義． 1．a(chǎn)＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)的充要條件為________． 【做一做1】 復數(shù)4－3a－a2i與復數(shù)a2＋4ai相等，則實數(shù)a的值為(　　)． A．1 B．1或－4 C．－4 D．4 由復數(shù)相等的概念，我們就可以進行復數(shù)的運算、變形，使用時要注意搞清楚復數(shù)的實部、虛部分別是什么．特別地，a＋bi＝0?a＝b＝0. 2．當用直角坐標平面內(nèi)的點來表示復數(shù)時，我們稱這個直角坐標平面為______，x軸稱為______，y軸稱為______． 【做一做2】 復數(shù)z＝3－4i在復平面內(nèi)的對應點關(guān)于虛軸的對稱點對應的復數(shù)為(　　)． A．z′＝3＋4i B．z′＝－3＋4i C．z′＝－3－4i D．z′＝3－4i 表示實數(shù)的點都在實軸上，表示純虛數(shù)的點都在虛軸上． 3．任一個復數(shù)z＝a＋bi與復平面內(nèi)的點________一一對應，也與平面向量________是一一對應的． 【做一做3】 若復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點位于復平面的第四象限，則b＋ai對應的點位于復平面的第__________象限． 建立了復平面，就可以把復平面內(nèi)的點與復數(shù)建立對應關(guān)系，就可以用復平面內(nèi)的點來表示復數(shù)，也可以把復數(shù)與復平面內(nèi)的向量聯(lián)系起來，即可以用復平面內(nèi)的向量表示復數(shù)． 4．設(shè)復數(shù)z＝a＋bi在復平面內(nèi)對應的點是Z(a，b)，點Z到原點的距離|OZ|叫作________________，記作|z|，顯然__________． 【做一做4】 若2＋ai＝b－i，其中a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則復數(shù)z＝a＋bi的模等于(　　)． A．1 B．2 C. D．5 復數(shù)z的模是一個非負實數(shù)，兩個不都是實數(shù)的復數(shù)不能比較大小，但是它們的?？梢员容^大小． 答案：1. 【做一做1】 C　由題意，得解得a＝－4. 2．復平面　實軸　虛軸 【做一做2】 C 3．Z(a，b)　O＝(a，b) 【做一做3】 二　由題意，知a＞0，b＜0，則點(b，a)位于第二象限． 4．復數(shù)z的?；蚪^對值　|z|＝ 【做一做4】 C　2＋ai＝b－i?a＝－1，b＝2，則|z|＝＝. 1．復數(shù)與復平面內(nèi)的向量的對應關(guān)系 剖析：復平面內(nèi)的點Z(a，b)與平面向量是一一對應的，故一個復數(shù)z＝a＋bi與復平面內(nèi)的向量＝(a，b)也是一一對應的，它們的關(guān)系如圖所示．根據(jù)復數(shù)相等的定義和向量相等的定義可知，在復平面內(nèi)有無數(shù)個相等的向量與復數(shù)z對應，但從原點出發(fā)的只有一個． 2．復數(shù)的模的幾何意義 剖析：復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模的幾何意義就是復數(shù)z＝a＋bi所對應的點Z(a，b)到原點的距離．其中|z|＝r的軌跡就是以原點為圓心、以r為半徑的圓，當r＝1時為單位圓，復數(shù)的模是實數(shù)的絕對值的概念的推廣，當復數(shù)z為實數(shù)時，|z|就是實數(shù)的絕對值． 題型一 復數(shù)相等 【例題1】 已知(2x－3y)＋(x－y＋1)i＝(x－y)＋(3x－4y)i，求實數(shù)x，y的值． 分析：根據(jù)復數(shù)相等的定義，將等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x，y的方程組來求解． 反思：兩個復數(shù)相等的充要條件是實部與實部相等，虛部與虛部相等，這樣就把復數(shù)方程轉(zhuǎn)化為實數(shù)方程組了．做題時要注意未知量的取值范圍是實數(shù)還是復數(shù)，以便能夠分清復數(shù)的實部和虛部． 題型二 復數(shù)的幾何意義 【例題2】 已知復數(shù)x2－6x＋5＋(x－2)i在復平面內(nèi)對應的點在第三象限內(nèi)，求實數(shù)x的取值范圍． 分析：復數(shù)z與復平面內(nèi)的點一一對應，由實部與虛部的符號決定復數(shù)對應的點位于第幾象限． 反思：復數(shù)z＝a＋bi在復平面內(nèi)對應著唯一的點Z(a，b)．根據(jù)點的位置可以確定實數(shù)x的取值范圍． 題型三 復數(shù)的模的計算 【例題3】 已知z1＝x2＋i，z2＝(x2＋a)i，對于任意x∈R，有|z1|＞|z2|成立，試求實數(shù)a的取值范圍． 分析：復數(shù)z與復平面內(nèi)的向量對應，|z|的幾何意義是復數(shù)z對應的點到原點O的距離． 反思：復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝為非負實數(shù)，可以比較大?。}目中的不等式對任意x∈R都成立，即恒成立．要注意不等式的類型，不確定時要分類討論，考慮問題要全面細心． 題型四 復數(shù)的模的幾何意義 【例題4】 已知復數(shù)z滿足|z|2－3|z|＋2≤0，說明復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點形成的圖形． 分析：復數(shù)z的模|z|≥0，可化簡不等式，得到|z|的范圍．而|z|＝r表示的是以原點為圓心、以r為半徑的圓，從而可知復數(shù)z對應的點形成的圖形． 反思：復數(shù)z的模|z|就是z在復平面內(nèi)對應的向量的長度||，也就是z對應的點Z到原點的距離，所以|z|＝r所表示的圖形就是以原點為圓心，以r為半徑的圓，那么|z|＞r就表示圓外的點，|z|＜r表示圓內(nèi)的點．若有等號，則包括邊界；若沒有等號，則不包括邊界． 答案：【例題1】 解：由復數(shù)相等的定義，得 解得 【例題2】 解：∵x為實數(shù)， ∴x2－6x＋5和x－2都是實數(shù)． 又∵復數(shù)x2－6x＋5＋(x－2)i在復平面內(nèi)對應的點在第三象限內(nèi)， ∴∴ ∴實數(shù)x的取值范圍是{x|1＜x＜2，x∈R}． 【例題3】 解：|z1|＝， |z2|＝＝|x2＋a|. ∵|z1|＞|z2|，∴＞|x2＋a|?x4＋x2＋1＞x4＋2ax2＋a2. ∴(1－2a)x2＋1－a2＞0恒成立． ∴當1－2a＝0，即a＝時， 0＋1－＞0恒成立，符合題意． 當 即－1＜a＜時，(1－2a)x2＋1－a2＞0恒成立． 綜上，a的取值范圍為. 【例題4】 解：由|z|2－3|z|＋2≤0，得1≤|z|≤2，即 ∴復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點形成的圖形為以原點為圓心，分別以1和2為半徑的圓所圍成的圓環(huán)面，包括邊界． 1當＜m＜1時，復數(shù)z＝(3m－2)＋(m－1)i在復平面上對應的點位于(　　)． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：D　∵＜m＜1，∴3m－2＞0，m－1＜0. ∴點Z(3m－2，m－1)在第四象限． 2設(shè)復數(shù)a＋bi＝－1＋3i，那么a＋b等于(　　)． A．－2 B．2 C．－2i D．2i 答案：B 3設(shè)z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－3)(m∈R)，若z對應的點在直線x－2y＋1＝0上，則m＝______. 答案：　由已知，得log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，即log22(m2－3m－3)＝log2(m－3)2， ∴2m2－6m－6＝m2－6m＋9. ∴m2＝15.∴m＝. 代入原方程檢驗知，m＝適合． 4設(shè)z∈C，則滿足不等式1＜|z|≤3的點Z的集合是什么圖形？ 答案：分析：由|z|＝r對應的圖形，解答不等式對應的點的集合表示的圖形． 解：不等式1＜|z|≤3，即|z|＝1和|z|＝3分別對應著以原點為圓心，以1和3為半徑的圓，則1＜|z|≤3表示的是以原點為圓心，分別以1和3為半徑的圓所圍成的圓環(huán)面，不包括內(nèi)邊界，包括外邊界． 5如果復數(shù)z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值． 答案：分析：利用復數(shù)的模的幾何意義進行求解． 解：|z＋i|＋|z－i|可看作是z到－i與i的距離的和， ∴z的軌跡為以－i與i對應的兩點A，B為端點的線段AB，如圖所示．|z＋i＋1|是復數(shù)z對應的點Z到－1－i的對應點C(－1，－1)的距離，線段AB上點到－1－i的對應點C(－1，－1)的距離的最小值為1. ∴|z＋i＋1|的最小值為1.